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33時域瞬態(tài)響應分析時域分析是重要的分析方法之一。本章要求學生了解系統(tǒng)在外加作用激勵下，根據(jù)所描述系統(tǒng)的數(shù)學模型，求出系統(tǒng)的輸出量隨時間變化的規(guī)律，并由此確定系統(tǒng)的性能，了解系統(tǒng)的時間響應及其組成； 掌握脈沖響應函數(shù)等概念，掌握一階、二階系統(tǒng)的典型時間響應和高階系統(tǒng)的時間響應以及主導極點的概念，尤其應熟練掌握一階及二階系統(tǒng)的階躍響應和脈沖響應的有關(guān)內(nèi)容。31圖3.1所示的阻容網(wǎng)絡(luò)中，ui(t)=［1(t)-1(t-30)］(V)。當t=4s時，輸出uo(t)約為多少?當t=30s時，輸出uo(t)又約為多少?解： Uo(s)Ui(s)=1sCR 1sC=1RCs 1=11×106×4×10-6s 1=14s 1uo(4)≈0.632(V)，uo(30)≈1(V)32某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Φ(s)=s 1s2 5s 6，試求其單位脈沖響應函數(shù)。解： Xo(s)Xi(s)=s 1s2 5s 6=-1s 2 2s 3其單位脈沖響應函數(shù)為xδ(t)=(-e-2t 2e-3t) 1(t)33某網(wǎng)絡(luò)如圖3.2所示，當t≤0-時，開關(guān)與觸點1接觸，當t≥0 時，開關(guān)與觸點2圖3.1圖3.2接觸。試求出輸出響應表達式，并畫出輸出響應曲線。解： Uo(s)Ui(s)=R 1CsR R 1Cs=RCs 12RCs 1=s 12s 1ui(t)=ui0 ui1=1 (-2) 1(t)(V)Uo1(s)=s 12s 1Ui1(s)=s 12s 1 -2s=1s 12-2s3時域瞬態(tài)響應分析控制工程基礎(chǔ)(第4版)習題解則uo1(t)=(e-t2-2) 1(t)(V)uo(t)=uo0 uo1=1 (e-t2-2) 1(t)(V)其輸出響應曲線如圖3.3所示。圖3.3圖3.434圖3.4所示的系統(tǒng)中，若忽略小的時間常數(shù)，可認為dydt=0.5ΔB(s-1)。其中，ΔB為閥芯位移，單位為cm，令a=b(ΔB在堵死油路時為零)。(1) 試畫出系統(tǒng)函數(shù)方塊圖，并求Y(s)X(s)； (2) 當x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4s)-1(t-40s)］(cm)時，試求t=0s、4s、8s、40s、400s時的y(t)值，ΔB(∞)為多少?(3) 試畫出x(t)和y(t)的波形。解： (1) 依題意可畫出如圖3.5所示的系統(tǒng)函數(shù)方塊圖，則圖3.5Y(s)X(s)=12×0.5s1 0.5s×12=14s 1(2) 該一階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為T=4(s)當x(t)=［0.5 1(t) 0.5 1(t-4)-1(t-40)］(cm)時，y(0)=0(cm)y(4)≈0.5×0.632=0.316(cm)y(8)≈0.5×0.865 0.5×0.632=0.749(cm)y(40)≈1(cm)y(400)≈0(cm)ΔB(∞)=0(cm)(3) x(t)和y(t)的波形如圖3.6(a)、(b)所示。圖3.635設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=4s(s 5)，試求該系統(tǒng)的單位階躍響應和單位脈沖響應。解： 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Xo(s)Xi(s)=4s(s 5)1 4s(s 5)=4s2 5s 4=4(s 1)(s 4)(1) 當xi(t)=1(t)時，Xi(s)=1sXo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)1s=1s-43s 1 13s 4則xo(t)=1(t)-43e-t 1(t) 13e-4t 1(t)(2) 當xi(t)=δ(t)時，Xi(s)=1Xo(s)=Xo(s)Xi(s)Xi(s)=4(s 1)(s 4)×1=43s 1-43s 4則xo(t)=43(e-t-e-4t) 1(t)36試求圖3.7所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并求出閉環(huán)阻尼比為0.5時所對應的K值。圖3.7解： Xo(s)Xi(s)=Ks(0.1s 1)1 Ks(0.1s 1)=10Ks2 10s 10K則ωn=10K2ζωn=2ζ10K=10解2×0.510K=10，得閉環(huán)阻尼比為0.5時所對應的K=10。37設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1s(s 1)，試求系統(tǒng)的上升時間、峰值時間、較大超調(diào)量和調(diào)整時間。當G(s)=Ks(s 1)時，試分析放大倍數(shù)K對單位階躍輸入產(chǎn)生的輸出動態(tài)過程特性的影響。解： (1) Xo(s)Xi(s)=1s(s 1)1 1s(s 1)=12s2 2×0.5×1s 12得ωn=1(rad/s)則ζ=0.5ωd=ωn1-ζ2=11-0.52=32(rad/s)θ=arccosζ=arccos0.5=π3(rad)所以tr=π-θωd=π-π332≈2.418(s)tp=πωd=π32≈3.628(s)Mp=e-ζπ1-ζ2=e-0.5π1-0.52≈16.3%ts≈3ωnζ=31×0.5=6(s)(進入5%誤差帶)(2) Xo(s)Xi(s)=Ks(s 1)1 Ks(s 1)=(K)2s2 2×12KKs (K)2得ωn=K(rad/s)ζ=12K則ωd=ωn1-ζ2=K1-12K2=4K-12(rad/s)θ=arccosζ=arccos12K(rad)則(Ⅰ) 當ζ=12K=1，即K=14時，系統(tǒng)為臨界阻尼，系統(tǒng)不產(chǎn)生振蕩。(Ⅱ) 當ζ=12K>1，即K<14時，系統(tǒng)為過阻尼，系統(tǒng)亦不產(chǎn)生振蕩。(Ⅲ) 當ζ=12K=0，即K=∞時，系統(tǒng)為零阻尼，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩。(Ⅳ) 當0<ζ<1，即142rad/s； (2) 0≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s； (3) 0≤ζ≤0.5，2rad/s≤ωn≤4rad/s；(4) 0.5≤ζ≤0.707，ωn≤2rad/s。解： (1) 所求區(qū)域為圖3.10(a)中陰影部分。圖3.10(2) 所求區(qū)域為圖3.10(b)中陰影部分。(3) 所求區(qū)域為圖3.10(c)中陰影部分。(4) 所求區(qū)域為圖3.10(d)中陰影部分。313設(shè)一系統(tǒng)如圖3.11(a)所示。圖3.11(1) 當控制器Gc(s)=1時，求單位階躍輸入時系統(tǒng)的響應，設(shè)初始條件為零，討論L和J對響應的影響。 (2) 設(shè)Gc(s)=1 Tds,J=1000，L=10，為使系統(tǒng)為臨界阻尼，求Td值。(3) 現(xiàn)在要求得到一個沒有過調(diào)的響應，輸入函數(shù)形式如圖3.11(b)所示。設(shè)Gc(s)=1，L和J參數(shù)同前，求K和t1。解： (1) Xo(s)Xi(s)=LJs21 LJs2=LJs2 LJ則Xo(s)=LJs2 LJ1s=1s-ss2 LJ2對上式進行拉氏反變換，得xo(t)=1(t)-cosLJt 1(t)由此可知，其單位階躍響應為等幅振蕩，當L增大、J減小時，角頻率ω增大。(2) Xo(s)Xi(s)=(1 Tds)LJs21 (1 Tds)LJs2=Tds 1JL2s2 Tds 1為使系統(tǒng)為臨界阻尼，需使ζ=1，即Td=2JL=2100010=20(3) 由(1)知Xo(s)Xi(s)=LJ2s2 LJ2當xi(t)=1(t)時xo(t)=1-cosLJt 1(t)所以t1=πωn1-ξ2=πLJ=π101000=10π另有K1-cosLJt (1-K)1-cosLJ(t-t1)=1將t=t1=10π，L=10，J=1000代入上式，得K1-cos101000×10π (1-K)1-cos101000×0=1解之，得K=0.5314圖3.12所示為宇宙飛船姿態(tài)控制系統(tǒng)方塊圖。假設(shè)系統(tǒng)中控制器的時間常數(shù)T=3s，圖3.12力矩與慣量比KJ=29rad/s2，試求系統(tǒng)阻尼比。

解： Xo(s)Xi(s)=K(Ts 1)1Js21 K(Ts 1)1Js2=KJ(Ts 1)s2 2×T2KJKJs KJ2則ζ=T2KJ=3229=22≈0.707315設(shè)一伺服電動機的傳遞函數(shù)為Ω(s)U(s)=KTs 1。假定電動機以恒定速度ω0轉(zhuǎn)動，當電動機的控制電壓u0突然降到0時，試求其速度響應方程式。解： 電動機的控制電壓如圖3.13所示。圖3.13Ω2(s)=KTs 1U2(s)=KTs 1-U0s=KU0s 1T-KU0s則ω2(t)=KU0(e-tT-1) 1(t)又有ω1(t)=ω0=KU0所以ω(t)=ω1(t) ω2(t)=ω0e-t/T 1(t)316對于圖3.14所示的系統(tǒng)，如果將階躍輸入θi作用于該系統(tǒng)，試確定表示角度位置θo的方程式。假設(shè)該系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，初始狀態(tài)為靜止。解： 依題意，有K［θi(t)-θo(t)］-D θ o(t)=Jθ o(t)得θo(s)θi(s)=KJs2 Ds K=KJ2s2 2×D21KJKJs KJ2則ωn=KJ，ζ=D2KJ所以,當θi(t)=a 1(t)時θo(t)=a1-e-ζωnt1-ζ2sin(ωn1-ζ2t arccosζ) 1(t)=a1-e-D2Jt1-D24KJsin4KJ-D22Jt arccosD2KJ 1(t)圖3.14圖3.15317某系統(tǒng)如圖3.15所示，試求單位階躍響應的較大超調(diào)量Mp、上升時間tr和調(diào)整