本書是希望在中學數學和高等數學之間搭一座橋梁.以中學數學為起點，逐步展示高等數學的基本思想和方法，便于大學新生快速適應高度抽象的高等數學.反過來，介紹如何把握高等數學的高觀點，更好地服務于中學數學的教與學.
本書用數學分析、線性代數和高等幾何等現代數學的思想方法解釋和理解中學數學，力求用通俗易懂的語言，深入淺出地揭示現代數學的思想方法，找出現代數學與中學數學的結合點，從高觀點來引領初等數學，指導中學數學教學.
本書案例翔實，思想新穎，方法簡明，可啟迪讀者的思維，開闊讀者的視野，提高讀者提出問題、分析問題與解決問題的能力，適合高中學生、教師、師范生，以及數學教育研究者參考.
彭翕成，華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心工程師，畢業于華中師范大學，立志于從事數學文化傳播和數學教育技術的普及。已百余篇，出版著作多部。
前言(ⅰ)
1一題多解架構初等、高等數學橋梁(1)
1.1代數(2)
1.2幾何(11)
1.3三角(21)
1.4不等式(31)
1.5雜題(49)
2初等數學問題高等數學解答(54)
2.1代數(54)
2.2幾何(55)
2.3三角(76)
2.4不等式(79)
2.5雜題(80)
3不等式與函數(86)
3.1不等式篇(86)
3.1.1均值不等式的引入和證明(86)
3.1.2從課本上的簡單不等式談起——從初等數學到高等數學(87)
3.1.3小學題？中學題？大學題？(89)
3.1.4解讀神證明(89)
3.1.5也說Nesbitt不等式(94)
3.1.6均值不等式的隔離(96)
3.1.7答正切函數不等式猜想(97)
3.1.8一個對數不等式的五種證法(99)
3.1.9變式教學與數學背景(101)
3.1.10三角不等式的證明——從用導數到不用導數(105)
3.1.11高等數學思想指導完善初等數學錯漏(108)
3.2函數篇(111)
3.2.1從常系數到變系數——從羅增儒教授的無奈談起(111)
3.2.2以康托函數為背景的函數題(113)
3.2.3三次方程判別式問題兩例(117)
3.2.4三次方程和韋達定理(121)
3.2.5洛必達法則及其替代品(122)
3.2.6十五歲的圖靈如何推導級數形式的反正切公式(123)
3.2.7從f(x y)=f(x) f(y)說開去(124)
3.2.8對開方迭代式的認識過程(126)
4線性代數(128)
4.1線性組合和線性無關(128)
4.1.1漫談線性組合(128)
4.1.2已知根式解尋求原方程(131)
4.2行列式解題(134)
4.2.1行列式解代數問題舉例(134)
4.2.2行列式與面積(138)
4.2.3從“經過已知三點的一元二次函數”談起(141)
4.2.4圓方程、三角形五心、圓冪定理(145)
4.2.5海倫公式與托勒密定理的行列式統一公式(150)
4.2.6行列式與射影定理(152)
4.2.7行列式解幾何題舉例 (156)
5雜篇(165)
5.1認識的深入(165)
5.1.1不一樣的加法和乘法(165)
5.1.2從乘法是加法的簡便運算談起(166)
5.1.3漫談1 2 3 4 … n(167)
5.1.4向量 (170)
5.1.5結構與同構(173)
5.1.6什么是距離(175)
5.1.7值多種定義以及分段函數定義缺陷(179)
5.1.8無處不在的一一對應(180)
5.1.9一定是斐波那契數列嗎？(183)
5.2初等數學、高等數學面面觀(186)
5.2.1特殊與一般——《吉米多維奇數學分析習題集》一題(186)
5.2.2談談循環論證(187)
5.2.3根式方程有理化(191)
5.2.4包絡線與賦范空間的一點小應用(194)
5.2.5學貴有疑——《數學解題的特殊方法》一題(197)
5.2.6證明sin2x cos2x=1——《陶哲軒實分析》一題(198)
5.2.7平方差公式的三角擴展(200)
5.2.8從代數恒等式到三角恒等式(203)
5.2.9例證法：從代數式到三角式(207)
5.2.10勾股定理的三維推廣(212)
5.2.11一道多情形幾何題的多種證明(214)
5.2.12初等、高等數學不同視角一題多解更顯風采(219)
5.2.13你也可以做幻方(223)
5.2.14劍橋大學的一道經典名題(225)
5.2.15從高考題談迭代(227)
5.2.16微積分新概念的教學腳步何妨慢一點(229)
5.2.17高等數學的“敗筆”(232)
5.2.18不好的高等數學解法舉例(234)
5.2.19陳省身沒做出來的數學題(238)
5.2.20相信付出才有回報(239)
參考文獻(242)
