日韩偷拍一区二区,国产香蕉久久精品综合网,亚洲激情五月婷婷,欧美日韩国产不卡

一 數理邏輯與數學基礎

符號體系[symbolism] 由一系列符號和它們的組合規則構成的集合體。它常被用來替代自然語言對某些知識體系進行描述、分析和研究。使用符號體系來研究數學能使邏輯分析和推導更加嚴格和清晰，并能避免自然語言中的一語多義現象。(執筆：金人麟校閱：史念東)

數理邏輯[mathematical logic] 又稱盈號邏輯。數學的一個分支。處l-數學和哲學(特別是數學哲學)的交叉部分。數理邏輯一方面使用形式邏輯的思想方法研究數學及數學推理的基本原則和規律；另一方面使用數學工具來表示和研究形式邏輯的性質和結構。包含了很多分支和研究方向，其中主要的分支為模型論、證明論、集合論和遞歸論(即可計算理論)。這四個分支的發展都和哥德爾(K.Godcl)在20世紀30年代完成的工作有著密切的聯系。

數理邏輯是伴隨著數學公理化進程而4i斷發展的。在19世紀后期到20世紀初，弗雷格(G.Fre.ge)和羅素(B. Russell)致力于用符號邏輯替代自然語言來描述數學原理和數學推理，他們發展了命題演算和謂詞演算，使得數學更加系統化和嚴格化，從而使得數學和邏輯成為一體。他們的工作也使得人們更加了解了數學攤導中邏輯語義和邏輯語法的差別。這推動了數學公理化的進程。但在此發展中產生了對數學公理化過J：樂觀的傾向，即認為終可以找到一個相容的、完備的公理系統使得所有的數學定理，包括這個公理系統的相容性，都成為這個公理系統的推論。這就是所謂的希爾伯特計劃。但是這個傾向卻被哥德爾所否定。

哥德爾關于一階邏輯的完備性定理表明數學中基于語法上的推導和基于語義上的推理是等價的。基于語法上的推導是一個按照一定規則進行的機械過程，它不依賴于原因、結果以及中問過程的具體含義；基于語義下的推理則通過對每一語句在每個數學結構(模型)中的語義解釋和真假值來確立原因和結果的關系。哥德爾完備性定理深刻地揭示出數學理論中語法形式推導和語義內容分析推理之間的一致性；也因此展現了模型在數學推理中的作用，促進了模型論的發展。

哥德爾小性定理成功地應用數學推理來分析邏輯的內涵和其局限性，并證明了希爾伯特計劃的不可行性，即對于任意一個相容的、包含了弱算術公理的、可判定的公理系統，總存在一個語句使其不能從該公理系統出發來證明或反證。這成為數理邏輯另一分支證明論的起點。

為了解決在引進了無限集合后產生的各種超出當時想象的問題，糜托爾(G.Cantor)建立了樸素集合論。但在羅素發現了著名的羅素悖論后，對樸素集合論進行改造就迫在眉睫。在策梅洛(E.Zermelo)、弗倫克爾(A.Fraenkel)及其他數學家的努力下，集合論的公理系統如策梅洛一弗倫克爾公理系統，在數理邏輯的框架下得以建立。策梅洛一弗倫克爾公理系統的引入避免了羅素悖論。因為策梅洛弗倫克爾公理系統是作為整個數學的基礎理論而引進的，它的相容性就得到數學家們的重視。哥德爾對集合論發展的貢獻存在于兩個方面。一方面，哥德爾第二不性定理證明了從任意一個相容的、包含了算術公理的、可判定的公理系統出發不可能證明其自身的相容性。所以在策梅洛一弗倫克爾公理系統中不可能證明該系統的相容性，從而使人們避免了在策梅洛弗倫克爾公理系統內尋找本系統相容性的無謂努力。另.-方面，哥德爾引入了可構造性和可構造域，從而建立了選擇公理和連續統假設與策梅洛弗倫克爾公理系統的相對相容性。這和以后科恩(P.Cohen)利用力迫法證明的非選擇公理以及非連續統假設與策梅洛一弗倫克爾公理系統相對相容的結果一起成了現代公理集合論的獨立性證明的樣本。

哥德爾不性定理證明中的一個重要步驟是分析可證明語句的計算復雜性。哥德爾證明了在一個相容的、包含了弱算術公理的、可判定的公理系統中，所有可證明語句的集合是不可判定的，所以一定存在一個不在該集合中的語句使得此語句的否定也不在該集合中。為了完善對可判定性的描述，丘奇(A.Church)、圖靈(A.M.Turing)等提煉出遞歸函數和圖靈可計算性等概念。對這些概念的深入研究促發了遞歸論的產生和發展。

數理邏輯足一個廣泛的領域，以下四個分支并不包含所有數理邏輯的內容。另外如多值邏輯、模糊邏輯、模態邏輯等，都是數理邏輯有趣的組成部分。(執筆：金人麟校閱：史念東)

符號邏輯[symbolic logic] 即數理邏輯。

1.1模型論

模型論bnodel theory] 數理邏輯的一個分支，它豐要研究形式語言及其在模型中的語義解釋之間的關系。例如，群論公理是形式語言中有關一個乘法符號.和一個常元符號e的三個語句，即。關于群論公理的一個模型則是一個具體的群，如整數加群、正方形可逆矩陣乘法群、n個元素上的置換群等。群論公理在一個群，如可逆矩陣乘法群中的解釋可以敘述為：①e是一個右單位矩陣；②對每個可逆矩陣都存在一個右逆矩陣；③矩陣乘法滿足結合律。模型論中的基本定理有哥德爾完備性定理、緊致性定理、勒文海姆一斯科倫定理等。

從20世紀初以來，模型論得到了蓬勃發展，而且模型論的純理論研究和其在其他數學領域中的應用已經相互交織在一起。穩定性理論是模型論中的一個藁要研究方向。它從初的對理論和模型的分類研究，發展出了很多方法和技巧。這些方法和技巧被應用于解決代數及代數幾何中的問題。強極小理論和序極小理論也是模型論中有趣的研究領域。分析利用強極小和序極小模型中可定義集的良好性質，代數閉域、實數域和其他數學結構中的很多新的有趣的現象被揭示出來。非標準分析也是模型論的一部分。利用模型論中的緊致性定理，人們可以構造一個實數域的擴張，使在其中存在無窮大和無窮小的正實數。這些無窮人和無窮小數可以作為工具來幫助人們發現數學中新的現象和定理。模型論中還有很多有趣的研究領域，如抽象模型論、有限模型論、概率模型論、遞歸模型論等。(執筆：金人麟校閱：史念東)

穩定性理論[stability theory] 見模型論。

邏輯演算[logical calculus] 各種邏輯形式系統的總稱。如命題演算、謂詞演算等都是邏輯演算。有時邏輯演算還指邏輯推導的一些法則。各種彤式語言可被用于描述各種不同的知識系統，但是邏輯推導的法則應該獨立于這些系統的個性。比如從“甲是真”和“甲推出乙”可以推出“乙是真”，就是邏輯演算的一個法則。(執筆：金人麟校閱：史念東)

邏輯符號[logical symbol] 在形式語言中用以表示一些邏輯聯結詞的符號。例如一(其語義一般為“不”或“否定”)，一(其語義一般為“如果 ，那么 ”或“推出”)，一(其語義一般為“當日.僅當”或“等價于”)，(其語義一般為“和”或“合取”)，V(其語義一般為“或”或“析取”)，等等。(執筆：金人麟校閱：史念東)

形式語言[formal language] 各種有嚴格定義的人.f=語言的總稱。每一種形式語言都包括一個預先設定的詞匯表和一些組成公式或語句的形成規則或語法規則。形式語占是人類自然語言的抽象化和理想化。用形式語言來討論數學和邏輯問題可以避免自然語言中一詞多義或一語多義現象帶來的不確定性。(執筆：金人麟校閱：史念東)

符號語言[symbolic language] 一種形式語言。其詞匯表是由4些符號組成。例如命題邏輯所使用的符號語言詞匯表包含了等符號，其中Ai，A2， 被稱為命題符號。(執筆：金人麟校閱：史念東)

形成規則[formation rule] 一些在形式語言中組成公式的語法規則。例如命題邏輯中的形成規則包含了以下法則：“對每個正整數k，Ak是一個公式”，“如果p是一個公式，那么-p就是一個公式”，“如果p和q是兩個公式，那么p—q，p—q，pAg，pVq也都足公式”。(執筆：金人麟校閱：史念東)

出現[occurrence] 數理邏輯術語。指一個變元或一個子式在表達式中的存在形式。如果一個符號或一串符號被用在了一個公式中的某個部位，這個符號或這串符號就被稱為在這個公式中在這個部位的一次“出現”。例如在公式(A2A(A2一Ai))- Ai中符號Ai“出現”了兩次。(執筆：金人麟校閱：史念東)

規矩公式[well-formed formula] 曾稱良構公式，義稱合式公式。指形式語言中按照一定的形成規則而構造出來的符號序列(表達式)。(執筆：金人麟校閱：史念東)

良構公式[weH-formed formula] 規矩公式的舊稱。

合式公式[well-formed formula] 即規矩公式。

轄域[scope] 謂詞邏輯用語。一個量詞(如全稱量詞Vx)的轄域指的是謂詞邏輥公式中這個量詞的作用范圍。例如，在公式中帶下劃線的部分是個全稱量詞的轄域。(執筆：金人麟校閱：史念東)

邏輯運算[logical operation] 邏輯量(邏輯變量或邏輯常量)之間的運算。當邏輯符號被賦弘實際意義時，它們可被看成一種運算。例如，在0-1布爾代數中通常可定義，所以可以被看作一個在0-1布爾代數中的二元運算。這樣的運算可以被推廣到所有(有限或無限)0-1序列上。這些和邏輯符號對應的運算被稱為邏輯運算。(執筆：金人麟校閱：史念東)

矢列式[scqucnt] 形式為A—B的公式。在某些邏輯系統中A可以是一個公式或一串公式。(執筆：金人麟校閱：史念東)

語法[syntax] 在形式語言中，指的是語言、公式和語句組成的規則以及對規則的研究。這些規則通常獨立于公式和語句的具體意義。在命題邏輯和謂詞邏輯中基于一個公理系統上的。一個形式證明可以被定義為按照一些規則構造的一個有著有限個公式的序列，而這樣的構造是機械的，不依賴于公理系統和所要證明結論的具體意義。這樣的證明被稱為一個語法上的證明。(執筆：金人麟校閱：史念東)

語義[scmantics] 在形式語言中，指的足語言、公式和語句在一定的環境或模型巾的含義以及對語言中公式、語句及其含義之間關系的研究。在命題邏輯和謂詞邏輯中，如果對每一個使公式p取真值的模型，公式q在其中都取真值，那么可以稱q是p的邏輯結果。這樣的從p到q的推論被稱為是一個語義上的推論。這是因為這樣的推論涉及了公式p和q在模型中的意義。(執筆：金人麟校閱：史念東)

解釋[interpretation] 0在形式語言中，指為一個符號、一個公式或一組公式在一個環境或一個模型中賦予特定的意義。例如，在集合論中符號∈在全集域中的解釋為“屬于”，語句在全集域中的解釋為“如果集合A和B含有相同的元素，那么A和B就是相同的集合”。

在謂詞邏輯中還有 處用到詞語“解釋”，即.個理論在另一個理論中的解釋。假設孔和Ti足在各自語言Co和Li中的理論。如果Co中的每個符號都可用Li中的公式在孔中來定義，全稱量詞Vx在死意義下的全域也可以用Li中的公式在2j中來定義，那么Co中的公式都可以在以上的定義下自然地翻譯成Li中的公式。如果To昀語句的翻譯都是Ti的推論，那么To的翻譯就可被稱為To在Ti中的一個解釋。例如佩亞諾公理系統可以在策梅洛一弗倫克爾公理系統中得到解釋。(執筆：金人麟校閱：史念東)

論題[thesis] 被很多證據支持的、其真實性有待被證明的命題。在數理邏輯巾著名的論題可能是.丘奇圖靈論題。丘奇論題提出每一個可有效計算的函數都是遞歸的。圖靈論題提出每一個可有效計算的函數都是圖靈可計算的，即計算可由圖靈機來完成。因為可有效計算性是一個沒有嚴格定義的直覺概念，丘奇論題和圖靈論題不被認為是定理，而是論題。丘奇論題和圖靈論題被證明是等價的。(執筆：金人麟校閱：史念東)

歸納證明[proof by induction] 數學中一種廣泛應用的證明方法。例如，在數學中為了證明具有秩序或有秩偏序的全域中每一元素都有某一性質，可以先證明每一個極小元有這個性質，再證明對任意一個元素，如果每個