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第1章 四大群落的數(shù)學宮殿

第1章 四大群落的數(shù)學宮殿

1.1 從《0的爭論》到0的宏論

我國當代作家葉永烈是"科學寓言"創(chuàng)作的高手,他寫過一篇有趣的寓

言《0的爭論》.下面是其中的片段:

意想不到,一個小小的"0",掀起了一起軒然大波……

風波是由一位化學家引起的.他寫了一本關(guān)于氧氣的書,封面上印著一

個巨大的"O".

化學家在書中寫道:"O是氧的化學符號.沒有氧就沒有生命,O是一

切生物的命根子."

數(shù)學家對此提出異議,認為0明明是什么都沒有的0!一切從0開始,

沒有0就沒有一切!

英文教師對此加以否定,肯定O是英文字母,也就是OK中的O,沒有

OK,世界哪里還有詩意.

運動員的見解更加新穎:他指出這是運動場中的跑道.任何一個運動場

里,都有一個巨大的"0"!

天文學家也許更為高瞻遠矚:他發(fā)現(xiàn)這是地球繞太陽公轉(zhuǎn),寒來暑往,

在浩瀚的太空中畫出的軌跡

……

以上爭論說明,同一對象從不同的角度可以有不同的結(jié)論.這些不同的

結(jié)論是人的認識不斷深化的結(jié)果,也是各學科工作者用學科語言對這個符號

的生動描述.

下面,我們從數(shù)學的角度談?wù)勅藗儗?0"這個符號的不斷深化認識的

歷程.

"0"是人們較早創(chuàng)造并較早使用的一個數(shù)學符號.

隨著數(shù)學科學的發(fā)展,人們在使用這個數(shù)學符號中逐漸認識了這個數(shù)學

符號的奇妙豐富內(nèi)涵,并且有"橫看成嶺側(cè)成峰"的數(shù)學科學中的基礎(chǔ)學科

的奠基宏論.

首先,人們應(yīng)用這個符號"0"表示沒有,表示占據(jù)著一個空位.繼而,

應(yīng)用這個符號"0"表示一個數(shù),表示一個非常獨特的數(shù),即零,它既不是

正數(shù)也不是負數(shù),它小于一切正數(shù)而大于一切負數(shù),是正數(shù)與負數(shù)的界限

數(shù).人們又在初步的數(shù)字計算?數(shù)字應(yīng)用?數(shù)字教育中認識到這個數(shù)字的特

殊性質(zhì)及它的特殊運算性質(zhì):零是偶數(shù)?陰數(shù),零的相反數(shù)是它本身,零的

值是零,零沒有倒數(shù),零沒有對數(shù);零不能作除數(shù),零與其他數(shù)的和?

差不改變結(jié)果,零與其他數(shù)的積為零,零除以一個不為零的數(shù)商為零,零的

正數(shù)次冪得零,零的正數(shù)方根是零,零的負數(shù)次?零次冪及零次方根均沒有

意義;1的對數(shù)為零,兩個相反數(shù)的和為零,若干個數(shù)的乘積為零時,其中

至少有一個因數(shù)為零;等等.

在數(shù)學學科發(fā)展成數(shù)學科學的過程中,數(shù)學知識?數(shù)學計算?數(shù)學應(yīng)

用?數(shù)學教育相互依存?水乳交融,它們從不同的側(cè)面,以不同的基點,對

數(shù)學科學各分支的理論建設(shè)作出貢獻.

進而,在數(shù)學科學輝煌發(fā)展的過程中,又使得人們認識了這個符號"0"

的數(shù)學基礎(chǔ)地位?數(shù)學計算作用?數(shù)學應(yīng)用功能?數(shù)學教育意義.

在數(shù)學基礎(chǔ)研究中,"0"是代數(shù)學中的方程與方程組中不可缺少的元

素,"0"是數(shù)論中模 m的一個剩余類,"0"是近世代數(shù)加群中的一個元素,

"0"是微積分學中一切無窮小變量的極限,等等.在現(xiàn)代數(shù)學中,零涉及了

眾多的概念:零元?零元素?零多項式?零次多項式?零向量?零矩陣……

有了這些概念,數(shù)學基礎(chǔ)理論的研究內(nèi)容豐富多彩.

例如,對于式子 ax2+bx+c=0(其中 a,b,c∈R),若視這個式子右

端的符號"0"為零多項式,則x可取任意實數(shù),而 a?b?c只能取實數(shù)零.

若視這個式子右端的符號"0"為數(shù)字0,則這個式子為方程,x的值由 a?

b?c確定,且 x的值至多有兩個不同;若有三個或三個以上的 x的值使得這

個方程式成立,則這個方程式又變成零多項式了.

這也說明,數(shù)學中的一些基本對象,有時可以同提并論,但卻不能等量

齊觀.基礎(chǔ)數(shù)學的理論就是這樣在研究數(shù)學基礎(chǔ)知識的基點上發(fā)展起來的.

在數(shù)學計算研究中,"0"是計數(shù)的起點,用"0"與不用"0"表示事

物的"無"與"有",計數(shù)就是從無到有,由少到多;"0"是數(shù)軸的原點,

"0"是解析幾何中坐標軸的原點坐標,有了坐標,數(shù)就是點,點就是數(shù),變

動的點就是變動的數(shù),變動的數(shù)就是變動的點,于是變數(shù)與圖形結(jié)合在一塊

了,幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題了,這也就奠定了今天幾何定理機器證明

的基礎(chǔ);"0"是布爾代數(shù)中兩種狀態(tài)之一的表示,正因為如此,這為電器電

子屏上的數(shù)碼表示找到了切入點,采用7條小光管組成的"日"字狀態(tài)表示

數(shù)碼:把小光管亮時狀態(tài)用"1"表示,不亮時狀態(tài)用"0"表示,一個由

"0"和"1"組成的7個字的數(shù)組來表示光管的一種狀態(tài),就得到一個7位

的二進制數(shù),根據(jù)這些二進數(shù)設(shè)計出7條小光管的電路就可以表示出10個

不同數(shù)碼0,1,…,9,這就是電器電子屏中的數(shù)碼表示.由此也加速了計

算機的迅猛換代,計算數(shù)學的高度發(fā)展也就成為必然.

在數(shù)學應(yīng)用研究中,用"湊零"以達到數(shù)字運算的簡便,用"添零"

表兩個相反符號式的代數(shù)和達到代數(shù)式的巧妙變形,"0"是概率論中不可能

事件的概率,"0"是模糊數(shù)學中一個特殊隸屬度,"0"是組合數(shù)學圖論中

(0,1)聯(lián)絡(luò)矩陣的兩虎將之一;"0"是數(shù)字化時代常用的一個重要數(shù)碼,

隨著人類生活質(zhì)量的提高?生產(chǎn)力的發(fā)展和科學文化的進步,數(shù)碼的應(yīng)用迅

速介入一切領(lǐng)域.因而,當今社會日趨數(shù)學化,以至于高技術(shù)就是數(shù)學技

術(shù),一門科學現(xiàn)代化的水平近似地可以用該學科的研究與表述當中所消耗的

數(shù)學含量來度量,從而,應(yīng)用數(shù)學的強大陣營中的眾多分支讓人目不暇接.

在其他學科應(yīng)用研究中,《0的爭論》片段中已呈現(xiàn)了一部分,它還有

廣泛的應(yīng)用.例如,在音樂的簡譜中它是休止符……

在數(shù)學教育研究中,"0"對素質(zhì)教育?文化教育都有重要意義.

在《0的爭論》片段中體現(xiàn)了對人的科學探索精神?數(shù)學理性精神的引

導;數(shù)0占據(jù)著數(shù)位,多一個"0"或少一個"0",數(shù)據(jù)就會擴大10倍或縮

小10倍,差之毫厘,謬以千里就是這么來的,這要求人們具有細心?嚴謹

的科學態(tài)度;"0"也可告誡人們要有一種戒驕戒躁的美德:一切從零開始!

也告誡人們:在身體條件允許下,用"0"表示自己的學習或工作成績,應(yīng)

追求這個符號占據(jù)自己人生道路的密度."0"展示了素質(zhì)教育的功能.

在自然數(shù)理論的教育中,"0"有著特殊的意義.根據(jù)1996年頒布的

《中華人民共和國國家標準?物理學科和技術(shù)中使用的數(shù)學符號》的規(guī)定:

及時個自然數(shù)已經(jīng)不再是1,而是0,所以我國所有的數(shù)學出版物,包括大?

中?小學數(shù)學教材,都要或?qū)⒁炎匀粩?shù)集合記為

N={0,1,2,3,…},

正整數(shù)集合才記為N+={1,2,3,4,…}

這就意味著:一切要從零開始!

為什么要把"0"作為自然數(shù)呢?數(shù)(shù)是數(shù)(shǔ)出來的,所要

數(shù)的對象從無到有,由少到多,因為多了才需要數(shù)(shǔ),由數(shù)(shǔ)才

產(chǎn)生1,2,3等自然數(shù).所以,無論從序數(shù)(先后順序)的觀點,還是從基

數(shù)(多少)的觀點來看,把"0"放在"1"之前,"一切從零開始"都是很

自然的事情.

這也說明,為了數(shù)學教育的需要,要對有關(guān)數(shù)學知識進行整合改造或再

創(chuàng)造.顯然,這就提示了研究教育數(shù)學的必要.

在此,也讓我們領(lǐng)會到了《0的爭論》片段中,數(shù)學家的言論是多么地

深刻!

綜上,也使我們看到了:人們對于數(shù)"0"的認識與研究是整個數(shù)學科

學發(fā)展的一個縮影.

如果把數(shù)學科學比作巍峨雄偉的宮殿,是吸引人們前往觀光的旅游勝

地,則需要我們首先對這個宮殿作一個大致的介紹,這個宮殿現(xiàn)由四大群落

殿組成:

從數(shù)學基礎(chǔ)到基礎(chǔ)數(shù)學,

從數(shù)學計算到計算數(shù)學,

從數(shù)學應(yīng)用到應(yīng)用數(shù)學,

從數(shù)學教育到教育數(shù)學.

顯然,研究基礎(chǔ)數(shù)學是為了更好地呈現(xiàn)數(shù)學的基礎(chǔ)地位,研究計算數(shù)學

是為了更好地發(fā)展數(shù)學計算的作用,研究應(yīng)用數(shù)學是為了更好地突出數(shù)學應(yīng)

用的功能,研究教育數(shù)學是為了更好地展示數(shù)學教育的意義.

1.2 從數(shù)學基礎(chǔ)到基礎(chǔ)數(shù)學

"日"字是一個比較典型的象形文字.古日字的寫法是" "或" ",

外面圓圓的像個太陽,中間加上一橫線,按照《說文》的說法:"實也,太

陽之精不虧,從〇一" 即"〇,象其輪廓;一,象其中不虧" 古人觀察

到了"月有陰晴圓缺",但太陽則永遠不會有盈虧,所以要在〇中再加上一

橫,以象其實.隨著漢字書法的嬗變,外圍的輪廓也慢慢地"化圓為方"

了.所以,"日"字就成了今天的形狀.基礎(chǔ)數(shù)學學科的成長也有類似的

經(jīng)歷.

數(shù)學是人類最古老的精神文明之一.原始部落的人們每天都離不開數(shù)與

量的活動:氏族部落的成員經(jīng)常發(fā)生變化,增多或減少;每次狩獵歸來,需

計算獵物的多少,分配食物需將食物數(shù)量和部落成員加以比較.由于大江大

河經(jīng)常洪水泛濫,洪水退去后,人們需重新丈量土地 修建住所?堤壩和一

些建筑,需計算各種圖形的面積及物體的體積,從而漸漸地認識一些正整數(shù)

和簡單的幾何圖形.人類對自然界,乃至宇宙的認識,自始至終都是和數(shù)學

聯(lián)系在一起的.人類對自身的認識與教育,也是與數(shù)學分不開的.從古以

來,人們受教育的低要求就是"能寫?會算",這"算"就是數(shù)學.進入

20世紀以后,全世界的基礎(chǔ)教育都是以母語和數(shù)學為兩門最重要的課程來開

設(shè)的.因此,數(shù)學是人類生存的需要?教育的主體.也就是說,在人們的生

活?學習?工作中都要具備一定量的數(shù)學基礎(chǔ)知識,并隨著時代的前進,這

種數(shù)學基礎(chǔ)知識也越來越寬廣,越來越厚實.

數(shù)學的這種基礎(chǔ)地位,也就決定了人們對數(shù)學的學習與研究的重視程

度,因而人們?yōu)榇送度肓司薮蟮臒崆楹推D苦的奮斗.今天,寬廣?厚實的基

礎(chǔ)數(shù)學就是人類智慧與熱情的結(jié)晶.

基礎(chǔ)數(shù)學又分為公眾基礎(chǔ)數(shù)學與專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學.公眾基礎(chǔ)數(shù)學內(nèi)容將在

教育數(shù)學中的教材數(shù)學?文化數(shù)學等章節(jié)中介紹,在此主要介紹一點專業(yè)基

礎(chǔ)數(shù)學的有關(guān)內(nèi)容.

專業(yè)基礎(chǔ)數(shù)學中,又有純粹數(shù)學?核心數(shù)學等的稱呼.

純粹數(shù)學主要包括代數(shù)與數(shù)論?幾何與拓撲?分析學等幾大部分.核心

數(shù)學是指純粹數(shù)學的核心.

數(shù)學是一個整體,一些最有價值的數(shù)學問題?具有重大發(fā)展?jié)摿Φ臄?shù)學

基礎(chǔ)理論和方法構(gòu)成一個時期的"核心數(shù)學".從19世紀的數(shù)學來看,復數(shù)

理論因負數(shù)開方引起,伽羅瓦的群論來源于方程的根式解,羅巴切夫斯基的

非歐幾何學起始于對歐氏幾何的第五公設(shè)的研究,而數(shù)學分析的嚴密化進程

則源于無限小量之比的不確定性.這些數(shù)學內(nèi)部提出的問題深刻地反映了客

觀世界的數(shù)量關(guān)系,揭示了豐富的數(shù)學內(nèi)涵.另外,許多應(yīng)用性問題,也成

了核心數(shù)學的重大分支,例如,傅里葉從熱傳導提出的三角級數(shù)展開.傅里

葉分析?傅里葉變換?傅里葉算子?群上調(diào)和分析?非交換調(diào)和分析,其影

響至今不衰,始終是核心數(shù)學的重要組成部分.在20世紀的上半葉,相對

論和量子力學誕生,與之相應(yīng)的黎曼幾何?李群和泛函分析也屬于那時的核

心數(shù)學范圍.傳統(tǒng)的函數(shù)論?數(shù)論等基本的數(shù)學工具,仍然是那時核心數(shù)學

的一部分.此時,組合拓撲學,以一般理想論為代表的抽象代數(shù)等,雖然并

不和數(shù)學內(nèi)部需要相聯(lián)系,卻以旺盛的生命力迅速發(fā)展,也構(gòu)成核心數(shù)學的

中堅.另一方面,盛極一時的射影幾何學?特殊函數(shù)論?方程式論?四元數(shù)

解析等學科雖然是純粹數(shù)學,但漸漸淡出核心數(shù)學的范圍.到了20世紀下

半葉,電子計算機的出現(xiàn)導致數(shù)理邏輯?逼近論等學科的發(fā)展,與此同時,

微分幾何學受到拓撲學的影響產(chǎn)生了整體微分幾何,又和規(guī)范場論等數(shù)學物

理課題相結(jié)合,從非主流數(shù)學進入主流數(shù)學.微分方程求解歷來是核心數(shù)學

的重要部分,流形上的分析?多元復分析?動力系統(tǒng)?指標定理等成為世人

關(guān)注的數(shù)學課題,受數(shù)學內(nèi)部需要而發(fā)展的代數(shù)數(shù)論?代數(shù)幾何,更以

費馬大定理的證明而達到高潮.面向21世紀,基礎(chǔ)數(shù)學的發(fā)展將會更快.

非線性數(shù)學問題?離散數(shù)學問題?解析數(shù)論?代數(shù)數(shù)論?代數(shù)幾何?群與代

數(shù)及表示理論?流形與變形拓撲學?整體微分幾何?隨機分析和無窮維分析

以及應(yīng)用數(shù)學?計算數(shù)學的基礎(chǔ)理論等都將有更大發(fā)展.

核心數(shù)學的重大進展和其成果的實際應(yīng)用都是難以預計的.核心數(shù)學課

題一旦有所突破,常常會產(chǎn)生不可估量的影響.如伽羅瓦提出的群論,源于

代數(shù),后來擴展到幾何變換群?拓撲學中的同倫群和同調(diào)群?微分方程中的

李群?有限群和典型群?物理學中的對稱群?規(guī)范群,其覆蓋面幾乎是整個

數(shù)學.至于群論直接用于密碼編制,成為一種特殊的數(shù)學技術(shù),更是始料不

及了.

1.3 從數(shù)學計算到計算數(shù)學

德國著名數(shù)學家高斯幼年時代有一個膾炙人口的故事,當他還在念小學

一年級的時候,有24小時數(shù)學老師出了一道較復雜的計算題:

1+2+3+…+98+99