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第1章 四大群落的數學宮殿

第1章 四大群落的數學宮殿

1.1 從《0的爭論》到0的宏論

我國當代作家葉永烈是"科學寓言"創作的高手,他寫過一篇有趣的寓

言《0的爭論》.下面是其中的片段:

意想不到,一個小小的"0",掀起了一起軒然大波……

風波是由一位化學家引起的.他寫了一本關于氧氣的書,封面上印著一

個巨大的"O".

化學家在書中寫道:"O是氧的化學符號.沒有氧就沒有生命,O是一

切生物的命根子."

數學家對此提出異議,認為0明明是什么都沒有的0!一切從0開始,

沒有0就沒有一切!

英文教師對此加以否定,肯定O是英文字母,也就是OK中的O,沒有

OK,世界哪里還有詩意.

運動員的見解更加新穎:他指出這是運動場中的跑道.任何一個運動場

里,都有一個巨大的"0"!

天文學家也許更為高瞻遠矚:他發現這是地球繞太陽公轉,寒來暑往,

在浩瀚的太空中畫出的軌跡

……

以上爭論說明,同一對象從不同的角度可以有不同的結論.這些不同的

結論是人的認識不斷深化的結果,也是各學科工作者用學科語言對這個符號

的生動描述.

下面,我們從數學的角度談談人們對"0"這個符號的不斷深化認識的

歷程.

"0"是人們較早創造并較早使用的一個數學符號.

隨著數學科學的發展,人們在使用這個數學符號中逐漸認識了這個數學

符號的奇妙豐富內涵,并且有"橫看成嶺側成峰"的數學科學中的基礎學科

的奠基宏論.

首先,人們應用這個符號"0"表示沒有,表示占據著一個空位.繼而,

應用這個符號"0"表示一個數,表示一個非常獨特的數,即零,它既不是

正數也不是負數,它小于一切正數而大于一切負數,是正數與負數的界限

數.人們又在初步的數字計算?數字應用?數字教育中認識到這個數字的特

殊性質及它的特殊運算性質:零是偶數?陰數,零的相反數是它本身,零的

值是零,零沒有倒數,零沒有對數;零不能作除數,零與其他數的和?

差不改變結果,零與其他數的積為零,零除以一個不為零的數商為零,零的

正數次冪得零,零的正數方根是零,零的負數次?零次冪及零次方根均沒有

意義;1的對數為零,兩個相反數的和為零,若干個數的乘積為零時,其中

至少有一個因數為零;等等.

在數學學科發展成數學科學的過程中,數學知識?數學計算?數學應

用?數學教育相互依存?水乳交融,它們從不同的側面,以不同的基點,對

數學科學各分支的理論建設作出貢獻.

進而,在數學科學輝煌發展的過程中,又使得人們認識了這個符號"0"

的數學基礎地位?數學計算作用?數學應用功能?數學教育意義.

在數學基礎研究中,"0"是代數學中的方程與方程組中不可缺少的元

素,"0"是數論中模 m的一個剩余類,"0"是近世代數加群中的一個元素,

"0"是微積分學中一切無窮小變量的極限,等等.在現代數學中,零涉及了

眾多的概念:零元?零元素?零多項式?零次多項式?零向量?零矩陣……

有了這些概念,數學基礎理論的研究內容豐富多彩.

例如,對于式子 ax2+bx+c=0(其中 a,b,c∈R),若視這個式子右

端的符號"0"為零多項式,則x可取任意實數,而 a?b?c只能取實數零.

若視這個式子右端的符號"0"為數字0,則這個式子為方程,x的值由 a?

b?c確定,且 x的值至多有兩個不同;若有三個或三個以上的 x的值使得這

個方程式成立,則這個方程式又變成零多項式了.

這也說明,數學中的一些基本對象,有時可以同提并論,但卻不能等量

齊觀.基礎數學的理論就是這樣在研究數學基礎知識的基點上發展起來的.

在數學計算研究中,"0"是計數的起點,用"0"與不用"0"表示事

物的"無"與"有",計數就是從無到有,由少到多;"0"是數軸的原點,

"0"是解析幾何中坐標軸的原點坐標,有了坐標,數就是點,點就是數,變

動的點就是變動的數,變動的數就是變動的點,于是變數與圖形結合在一塊

了,幾何問題可以轉化為代數問題了,這也就奠定了今天幾何定理機器證明

的基礎;"0"是布爾代數中兩種狀態之一的表示,正因為如此,這為電器電

子屏上的數碼表示找到了切入點,采用7條小光管組成的"日"字狀態表示

數碼:把小光管亮時狀態用"1"表示,不亮時狀態用"0"表示,一個由

"0"和"1"組成的7個字的數組來表示光管的一種狀態,就得到一個7位

的二進制數,根據這些二進數設計出7條小光管的電路就可以表示出10個

不同數碼0,1,…,9,這就是電器電子屏中的數碼表示.由此也加速了計

算機的迅猛換代,計算數學的高度發展也就成為必然.

在數學應用研究中,用"湊零"以達到數字運算的簡便,用"添零"

表兩個相反符號式的代數和達到代數式的巧妙變形,"0"是概率論中不可能

事件的概率,"0"是模糊數學中一個特殊隸屬度,"0"是組合數學圖論中

(0,1)聯絡矩陣的兩虎將之一;"0"是數字化時代常用的一個重要數碼,

隨著人類生活質量的提高?生產力的發展和科學文化的進步,數碼的應用迅

速介入一切領域.因而,當今社會日趨數學化,以至于高技術就是數學技

術,一門科學現代化的水平近似地可以用該學科的研究與表述當中所消耗的

數學含量來度量,從而,應用數學的強大陣營中的眾多分支讓人目不暇接.

在其他學科應用研究中,《0的爭論》片段中已呈現了一部分,它還有

廣泛的應用.例如,在音樂的簡譜中它是休止符……

在數學教育研究中,"0"對素質教育?文化教育都有重要意義.

在《0的爭論》片段中體現了對人的科學探索精神?數學理性精神的引

導;數0占據著數位,多一個"0"或少一個"0",數據就會擴大10倍或縮

小10倍,差之毫厘,謬以千里就是這么來的,這要求人們具有細心?嚴謹

的科學態度;"0"也可告誡人們要有一種戒驕戒躁的美德:一切從零開始!

也告誡人們:在身體條件允許下,用"0"表示自己的學習或工作成績,應

追求這個符號占據自己人生道路的密度."0"展示了素質教育的功能.

在自然數理論的教育中,"0"有著特殊的意義.根據1996年頒布的

《中華人民共和國國家標準?物理學科和技術中使用的數學符號》的規定:

及時個自然數已經不再是1,而是0,所以我國所有的數學出版物,包括大?

中?小學數學教材,都要或將要把自然數集合記為

N={0,1,2,3,…},

正整數集合才記為N+={1,2,3,4,…}

這就意味著:一切要從零開始!

為什么要把"0"作為自然數呢?數(shù)是數(shǔ)出來的,所要

數的對象從無到有,由少到多,因為多了才需要數(shǔ),由數(shǔ)才

產生1,2,3等自然數.所以,無論從序數(先后順序)的觀點,還是從基

數(多少)的觀點來看,把"0"放在"1"之前,"一切從零開始"都是很

自然的事情.

這也說明,為了數學教育的需要,要對有關數學知識進行整合改造或再

創造.顯然,這就提示了研究教育數學的必要.

在此,也讓我們領會到了《0的爭論》片段中,數學家的言論是多么地

深刻!

綜上,也使我們看到了:人們對于數"0"的認識與研究是整個數學科

學發展的一個縮影.

如果把數學科學比作巍峨雄偉的宮殿,是吸引人們前往觀光的旅游勝

地,則需要我們首先對這個宮殿作一個大致的介紹,這個宮殿現由四大群落

殿組成:

從數學基礎到基礎數學,

從數學計算到計算數學,

從數學應用到應用數學,

從數學教育到教育數學.

顯然,研究基礎數學是為了更好地呈現數學的基礎地位,研究計算數學

是為了更好地發展數學計算的作用,研究應用數學是為了更好地突出數學應

用的功能,研究教育數學是為了更好地展示數學教育的意義.

1.2 從數學基礎到基礎數學

"日"字是一個比較典型的象形文字.古日字的寫法是" "或" ",

外面圓圓的像個太陽,中間加上一橫線,按照《說文》的說法:"實也,太

陽之精不虧,從〇一" 即"〇,象其輪廓;一,象其中不虧" 古人觀察

到了"月有陰晴圓缺",但太陽則永遠不會有盈虧,所以要在〇中再加上一

橫,以象其實.隨著漢字書法的嬗變,外圍的輪廓也慢慢地"化圓為方"

了.所以,"日"字就成了今天的形狀.基礎數學學科的成長也有類似的

經歷.

數學是人類最古老的精神文明之一.原始部落的人們每天都離不開數與

量的活動:氏族部落的成員經常發生變化,增多或減少;每次狩獵歸來,需

計算獵物的多少,分配食物需將食物數量和部落成員加以比較.由于大江大

河經常洪水泛濫,洪水退去后,人們需重新丈量土地 修建住所?堤壩和一

些建筑,需計算各種圖形的面積及物體的體積,從而漸漸地認識一些正整數

和簡單的幾何圖形.人類對自然界,乃至宇宙的認識,自始至終都是和數學

聯系在一起的.人類對自身的認識與教育,也是與數學分不開的.從古以

來,人們受教育的低要求就是"能寫?會算",這"算"就是數學.進入

20世紀以后,全世界的基礎教育都是以母語和數學為兩門最重要的課程來開

設的.因此,數學是人類生存的需要?教育的主體.也就是說,在人們的生

活?學習?工作中都要具備一定量的數學基礎知識,并隨著時代的前進,這

種數學基礎知識也越來越寬廣,越來越厚實.

數學的這種基礎地位,也就決定了人們對數學的學習與研究的重視程

度,因而人們為此投入了巨大的熱情和艱苦的奮斗.今天,寬廣?厚實的基

礎數學就是人類智慧與熱情的結晶.

基礎數學又分為公眾基礎數學與專業基礎數學.公眾基礎數學內容將在

教育數學中的教材數學?文化數學等章節中介紹,在此主要介紹一點專業基

礎數學的有關內容.

專業基礎數學中,又有純粹數學?核心數學等的稱呼.

純粹數學主要包括代數與數論?幾何與拓撲?分析學等幾大部分.核心

數學是指純粹數學的核心.

數學是一個整體,一些最有價值的數學問題?具有重大發展潛力的數學

基礎理論和方法構成一個時期的"核心數學".從19世紀的數學來看,復數

理論因負數開方引起,伽羅瓦的群論來源于方程的根式解,羅巴切夫斯基的

非歐幾何學起始于對歐氏幾何的第五公設的研究,而數學分析的嚴密化進程

則源于無限小量之比的不確定性.這些數學內部提出的問題深刻地反映了客

觀世界的數量關系,揭示了豐富的數學內涵.另外,許多應用性問題,也成

了核心數學的重大分支,例如,傅里葉從熱傳導提出的三角級數展開.傅里

葉分析?傅里葉變換?傅里葉算子?群上調和分析?非交換調和分析,其影

響至今不衰,始終是核心數學的重要組成部分.在20世紀的上半葉,相對

論和量子力學誕生,與之相應的黎曼幾何?李群和泛函分析也屬于那時的核

心數學范圍.傳統的函數論?數論等基本的數學工具,仍然是那時核心數學

的一部分.此時,組合拓撲學,以一般理想論為代表的抽象代數等,雖然并

不和數學內部需要相聯系,卻以旺盛的生命力迅速發展,也構成核心數學的

中堅.另一方面,盛極一時的射影幾何學?特殊函數論?方程式論?四元數

解析等學科雖然是純粹數學,但漸漸淡出核心數學的范圍.到了20世紀下

半葉,電子計算機的出現導致數理邏輯?逼近論等學科的發展,與此同時,

微分幾何學受到拓撲學的影響產生了整體微分幾何,又和規范場論等數學物

理課題相結合,從非主流數學進入主流數學.微分方程求解歷來是核心數學

的重要部分,流形上的分析?多元復分析?動力系統?指標定理等成為世人

關注的數學課題,受數學內部需要而發展的代數數論?代數幾何,更以

費馬大定理的證明而達到高潮.面向21世紀,基礎數學的發展將會更快.

非線性數學問題?離散數學問題?解析數論?代數數論?代數幾何?群與代

數及表示理論?流形與變形拓撲學?整體微分幾何?隨機分析和無窮維分析

以及應用數學?計算數學的基礎理論等都將有更大發展.

核心數學的重大進展和其成果的實際應用都是難以預計的.核心數學課

題一旦有所突破,常常會產生不可估量的影響.如伽羅瓦提出的群論,源于

代數,后來擴展到幾何變換群?拓撲學中的同倫群和同調群?微分方程中的

李群?有限群和典型群?物理學中的對稱群?規范群,其覆蓋面幾乎是整個

數學.至于群論直接用于密碼編制,成為一種特殊的數學技術,更是始料不

及了.

1.3 從數學計算到計算數學

德國著名數學家高斯幼年時代有一個膾炙人口的故事,當他還在念小學

一年級的時候,有24小時數學老師出了一道較復雜的計算題:

1+2+3+…+98+99