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正與反正與負

奇與偶，有界與無界，善與惡，左與右，一與多，雄與雌，直與曲，正方與長方，亮與暗，動與靜。

你也許會問，上面寫的這10個對立的概念是什么意思?

原來，兩千多年前，古希臘有個著名學派叫做"畢達哥拉斯學派"，這個學派的創始人是西方歷史上著名的數學家和哲學家畢達哥拉斯。這個學派對數學的發展做出了重要貢獻，上面寫的這10個對立的概念就是他們提出的，他們認為整個宇宙能用這10個對立的概念來描述。

看來，兩千多年前人們就知道，世界是由許許多多相互矛盾的事物組成的。你要認識這個世界，改造這個世界，就要從這些相互矛盾的事物入手。既然這是萬物的普遍規律，那么，數學也要遵守。在本書中，我們來專門研究數學中的各種矛盾，研究這些矛盾在數學發展中的作用。

任何學科的發展都離不開問題和矛盾。德國著名數學家希爾伯特說，如果一門學科沒有了問題，就意味著這門學科即將死亡!

負數的發現

人們在生活中經常會遇到各種具有相反意義的量。比如，在記賬時有余有虧；在計算糧倉存米時，有時要記進糧食，有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮用具有相反意義的數來表示。于是，人們引入了正負數這個概念，把余錢、進糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負。可見，正負數是在生產實踐中產生的。

據史料記載，早在兩千多年前，我國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運算法則。那時候還沒有紙，人們在計算時用一些小竹棍擺出各種數字來進行計算。比如，356擺成，3056擺成，等等。這些小竹棍叫做"算籌"，算籌也可以用骨頭和象牙來制作。

我國三國時期的學者劉徽在建立正負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說："今兩算得失相反，要令正負以名之。"意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。

劉徽及時次給出了區分正負數的方法。他說："正算赤，負算黑；否則以邪正為異。"意思是說，用紅色的小棍擺出的數表示正數，用黑色小棍擺出的數表示負數；也可以用斜擺的小棍表示負數，用正擺的小棍表示正數。

劉徽及時次給出了值的概念。他說："言負者未必負于少，言正者未必正于多。"意思是說，負數的值不一定小，正數的值不一定大。

我國古代著名的數學專著《九章算術》(成書于公元一世紀)中，最早提出了正負數加減法的運算法則："正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。"這里的"名"就是"號"，"除"就是"減"，"相益"、"相除"就是兩數的值"相加"、"相減"，"無"就是"零"。

用現在的話解釋就是："正負數的加減法則是：同符號兩數相減，等于其值相減；異符號兩數相減，等于其值相加。零減正數得負數，零減負數得正數。異符號兩數相加，等于其值相減；同符號兩數相加，等于其值相加。零加正數得正數，零加負數得負數。"

這段關于正負數加減法的敘述是正確的，它的方法與現在一致!負數的引入是我國古代數學家的杰出創造之一。

用不同顏色的數來表示正負數的習慣，一直保留到現在。現在一般用紅色表示負數，報紙上有時登載某國經濟上出現"赤字"，這表明這個國家支出大于收入，財政上虧了錢。

負數是正數的相反數。在實際生活中，我們經常用負數和正數來表示意義相反的兩個量。夏天你從電視屏幕上看到武漢的氣溫高達42℃，你會想到武漢真是一個名副其實的大火爐；冬天你會看到哈爾濱低氣溫達-32℃，一個負號使你不寒而栗!

勇敢的消防隊員

負數是作為和正數有相反意義的量而引入的，負數從一開始和正數就是一對矛盾。

在許多書上是這樣引入負數的。把北京市的東西長安街看作一條數軸，天安門作為原點。把從天安門向東算作正方向，向西算作負方向。一個人從天安門向東走了4000米，可以說是走了正4000米，記作+4000米；如果向西走了4000米，就說走了負4000米，記作-4000米。這里的正、負只表示兩個相反的方向，至于把哪個方向算作正方向，哪個方向算作負方向，則是無所謂的。

正數和負數只有引進了運算，才能顯示它們的作用。請看下面的例子：

有一棟3層高的樓房失火了，一位消防隊員搭上梯子，要爬到3層樓上去搶救貴重儀器。當他爬到梯子正中一級時，二樓的窗戶噴出火來，他往下退了3級；等火過去了，他又向上爬了7級；這時屋頂有一塊磚掉下來，他又往后退了2級；幸虧磚沒有打著他，他又向上爬了6級。這時他距離較高一層還有3級。請問，這個梯子一共幾級?

把梯子正中一級作為計算的起點，向上爬的級數為正數，往下退的級數為負數。由于梯子有正中一級，說明梯子的級數是奇數。先計算梯子正中一級以上的級數(正中一級不算)：

(-3)+(+7)+(-2)+(+6)+(+3)=+11，則梯子的總級數為211+1=23(級)。

在進行正負數的運算時，值相同的正負數可以相互抵消，所以這道題運算起來很方便。

不要以為只有出現上和下、左和右的時候，才能用上正負數。事實上，只要是意義相反的兩個量，都可以用正負數來進行計算。

再看一個例子：

放下軟梯

小虎和小軍到神秘島去探險。天快黑了，路卻越來越難走。走著走著，小虎大叫一聲掉下了懸崖，小軍急忙用手去拉。可由于小虎下滑的速度太快，小軍不僅沒把小虎拉上來，自己反而也跟著掉下了懸崖。

"撲通"一聲，兩人一起掉到了崖底。還好，他們掉在厚厚的草叢上，沒怎么摔傷。

"哎呀，疼死我啦!"小虎兩手揉著腰說，"怎么上去呀?"

小軍慢慢爬起來，摸著摔痛的胳膊，看了看四周。忽然，他發現半空中吊著一副軟梯!

"小虎快看，軟梯!"小軍高興得大叫。

可是，軟梯距頭頂有3米高，夠不著。咦，軟梯下面還垂著一個圓盤，剛好手能夠得著。小軍走上前，仔細看了看圓盤，發現圓盤的一面有16個鑰匙孔，這些鑰匙孔從1到16都編了號，中間有一把鑰匙。

"一把鑰匙，卻有16個鑰匙孔，什么意思?"小軍搖搖頭說。

小虎走過來："翻過來，看看后面有什么?"

小軍把圓盤翻過來，發現圓盤后面刻著字，上面寫著：

從1開始(孔1不算，下同)，按順時針方向數289個孔，從那個孔開始再按逆時針方向數578個孔，再按順時針方向數281個孔，可得一孔，用中間的鑰匙開此孔，軟梯可自動放下。

小軍說："咱們開始數孔吧!"

"慢著!"小虎說，"這樣一個一個數，一千多個孔，什么時候才能數完哪?"

"那可怎么辦?"小軍低著頭想。突然，小軍說："有辦法了。轉一圈有16個孔，如果要計算轉幾圈又剩下幾個孔時，可以用16去除，求它的商和余數。"說著就在地上算了起來：

289÷16=18……1

"這個式子表明，順時針數289個孔，需要順時針轉18圈，再多數一個孔，也就是落在2號孔上。可以這樣繼續往下算，從2開始，逆時針轉578個孔，就是……"小軍說著又寫出一個式子：

578÷16=36……2

"等于從2號孔開始逆時針轉36圈，再逆時針方向數2個孔，落在16號孔上。"

小軍接著往下做：

281÷16=17……9

……