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正與反正與負(fù)

奇與偶，有界與無界，善與惡，左與右，一與多，雄與雌，直與曲，正方與長方，亮與暗，動(dòng)與靜。

你也許會(huì)問，上面寫的這10個(gè)對(duì)立的概念是什么意思?

原來，兩千多年前，古希臘有個(gè)著名學(xué)派叫做"畢達(dá)哥拉斯學(xué)派"，這個(gè)學(xué)派的創(chuàng)始人是西方歷史上著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。這個(gè)學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，上面寫的這10個(gè)對(duì)立的概念就是他們提出的，他們認(rèn)為整個(gè)宇宙能用這10個(gè)對(duì)立的概念來描述。

看來，兩千多年前人們就知道，世界是由許許多多相互矛盾的事物組成的。你要認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，改造這個(gè)世界，就要從這些相互矛盾的事物入手。既然這是萬物的普遍規(guī)律，那么，數(shù)學(xué)也要遵守。在本書中，我們來專門研究數(shù)學(xué)中的各種矛盾，研究這些矛盾在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用。

任何學(xué)科的發(fā)展都離不開問題和矛盾。德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說，如果一門學(xué)科沒有了問題，就意味著這門學(xué)科即將死亡!

負(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)

人們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到各種具有相反意義的量。比如，在記賬時(shí)有余有虧；在計(jì)算糧倉存米時(shí)，有時(shí)要記進(jìn)糧食，有時(shí)要記出糧食。為了方便，人們就考慮用具有相反意義的數(shù)來表示。于是，人們引入了正負(fù)數(shù)這個(gè)概念，把余錢、進(jìn)糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負(fù)。可見，正負(fù)數(shù)是在生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生的。

據(jù)史料記載，早在兩千多年前，我國就有了正負(fù)數(shù)的概念，掌握了正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。那時(shí)候還沒有紙，人們?cè)谟?jì)算時(shí)用一些小竹棍擺出各種數(shù)字來進(jìn)行計(jì)算。比如，356擺成，3056擺成，等等。這些小竹棍叫做"算籌"，算籌也可以用骨頭和象牙來制作。

我國三國時(shí)期的學(xué)者劉徽在建立正負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn)。劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義，他說："今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。"意思是說，在計(jì)算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們。

劉徽及時(shí)次給出了區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法。他說："正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異。"意思是說，用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù)，用黑色小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù)；也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù)，用正擺的小棍表示正數(shù)。

劉徽及時(shí)次給出了值的概念。他說："言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多。"意思是說，負(fù)數(shù)的值不一定小，正數(shù)的值不一定大。

我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》(成書于公元一世紀(jì))中，最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算法則："正負(fù)數(shù)曰：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。"這里的"名"就是"號(hào)"，"除"就是"減"，"相益"、"相除"就是兩數(shù)的值"相加"、"相減"，"無"就是"零"。

用現(xiàn)在的話解釋就是："正負(fù)數(shù)的加減法則是：同符號(hào)兩數(shù)相減，等于其值相減；異符號(hào)兩數(shù)相減，等于其值相加。零減正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)得正數(shù)。異符號(hào)兩數(shù)相加，等于其值相減；同符號(hào)兩數(shù)相加，等于其值相加。零加正數(shù)得正數(shù)，零加負(fù)數(shù)得負(fù)數(shù)。"

這段關(guān)于正負(fù)數(shù)加減法的敘述是正確的，它的方法與現(xiàn)在一致!負(fù)數(shù)的引入是我國古代數(shù)學(xué)家的杰出創(chuàng)造之一。

用不同顏色的數(shù)來表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣，一直保留到現(xiàn)在。現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù)，報(bào)紙上有時(shí)登載某國經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)"赤字"，這表明這個(gè)國家支出大于收入，財(cái)政上虧了錢。

負(fù)數(shù)是正數(shù)的相反數(shù)。在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常用負(fù)數(shù)和正數(shù)來表示意義相反的兩個(gè)量。夏天你從電視屏幕上看到武漢的氣溫高達(dá)42℃，你會(huì)想到武漢真是一個(gè)名副其實(shí)的大火爐；冬天你會(huì)看到哈爾濱低氣溫達(dá)-32℃，一個(gè)負(fù)號(hào)使你不寒而栗!

勇敢的消防隊(duì)員

負(fù)數(shù)是作為和正數(shù)有相反意義的量而引入的，負(fù)數(shù)從一開始和正數(shù)就是一對(duì)矛盾。

在許多書上是這樣引入負(fù)數(shù)的。把北京市的東西長安街看作一條數(shù)軸，天安門作為原點(diǎn)。把從天安門向東算作正方向，向西算作負(fù)方向。一個(gè)人從天安門向東走了4000米，可以說是走了正4000米，記作+4000米；如果向西走了4000米，就說走了負(fù)4000米，記作-4000米。這里的正、負(fù)只表示兩個(gè)相反的方向，至于把哪個(gè)方向算作正方向，哪個(gè)方向算作負(fù)方向，則是無所謂的。

正數(shù)和負(fù)數(shù)只有引進(jìn)了運(yùn)算，才能顯示它們的作用。請(qǐng)看下面的例子：

有一棟3層高的樓房失火了，一位消防隊(duì)員搭上梯子，要爬到3層樓上去搶救貴重儀器。當(dāng)他爬到梯子正中一級(jí)時(shí)，二樓的窗戶噴出火來，他往下退了3級(jí)；等火過去了，他又向上爬了7級(jí)；這時(shí)屋頂有一塊磚掉下來，他又往后退了2級(jí)；幸虧磚沒有打著他，他又向上爬了6級(jí)。這時(shí)他距離較高一層還有3級(jí)。請(qǐng)問，這個(gè)梯子一共幾級(jí)?

把梯子正中一級(jí)作為計(jì)算的起點(diǎn)，向上爬的級(jí)數(shù)為正數(shù)，往下退的級(jí)數(shù)為負(fù)數(shù)。由于梯子有正中一級(jí)，說明梯子的級(jí)數(shù)是奇數(shù)。先計(jì)算梯子正中一級(jí)以上的級(jí)數(shù)(正中一級(jí)不算)：

(-3)+(+7)+(-2)+(+6)+(+3)=+11，則梯子的總級(jí)數(shù)為211+1=23(級(jí))。

在進(jìn)行正負(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，值相同的正負(fù)數(shù)可以相互抵消，所以這道題運(yùn)算起來很方便。

不要以為只有出現(xiàn)上和下、左和右的時(shí)候，才能用上正負(fù)數(shù)。事實(shí)上，只要是意義相反的兩個(gè)量，都可以用正負(fù)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算。

再看一個(gè)例子：

放下軟梯

小虎和小軍到神秘島去探險(xiǎn)。天快黑了，路卻越來越難走。走著走著，小虎大叫一聲掉下了懸崖，小軍急忙用手去拉。可由于小虎下滑的速度太快，小軍不僅沒把小虎拉上來，自己反而也跟著掉下了懸崖。

"撲通"一聲，兩人一起掉到了崖底。還好，他們掉在厚厚的草叢上，沒怎么摔傷。

"哎呀，疼死我啦!"小虎兩手揉著腰說，"怎么上去呀?"

小軍慢慢爬起來，摸著摔痛的胳膊，看了看四周。忽然，他發(fā)現(xiàn)半空中吊著一副軟梯!

"小虎快看，軟梯!"小軍高興得大叫。

可是，軟梯距頭頂有3米高，夠不著。咦，軟梯下面還垂著一個(gè)圓盤，剛好手能夠得著。小軍走上前，仔細(xì)看了看圓盤，發(fā)現(xiàn)圓盤的一面有16個(gè)鑰匙孔，這些鑰匙孔從1到16都編了號(hào)，中間有一把鑰匙。

"一把鑰匙，卻有16個(gè)鑰匙孔，什么意思?"小軍搖搖頭說。

小虎走過來："翻過來，看看后面有什么?"

小軍把圓盤翻過來，發(fā)現(xiàn)圓盤后面刻著字，上面寫著：

從1開始(孔1不算，下同)，按順時(shí)針方向數(shù)289個(gè)孔，從那個(gè)孔開始再按逆時(shí)針方向數(shù)578個(gè)孔，再按順時(shí)針方向數(shù)281個(gè)孔，可得一孔，用中間的鑰匙開此孔，軟梯可自動(dòng)放下。

小軍說："咱們開始數(shù)孔吧!"

"慢著!"小虎說，"這樣一個(gè)一個(gè)數(shù)，一千多個(gè)孔，什么時(shí)候才能數(shù)完哪?"

"那可怎么辦?"小軍低著頭想。突然，小軍說："有辦法了。轉(zhuǎn)一圈有16個(gè)孔，如果要計(jì)算轉(zhuǎn)幾圈又剩下幾個(gè)孔時(shí)，可以用16去除，求它的商和余數(shù)。"說著就在地上算了起來：

289÷16=18……1

"這個(gè)式子表明，順時(shí)針數(shù)289個(gè)孔，需要順時(shí)針轉(zhuǎn)18圈，再多數(shù)一個(gè)孔，也就是落在2號(hào)孔上。可以這樣繼續(xù)往下算，從2開始，逆時(shí)針轉(zhuǎn)578個(gè)孔，就是……"小軍說著又寫出一個(gè)式子：

578÷16=36……2

"等于從2號(hào)孔開始逆時(shí)針轉(zhuǎn)36圈，再逆時(shí)針方向數(shù)2個(gè)孔，落在16號(hào)孔上。"

小軍接著往下做：

281÷16=17……9

……