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第1章相似理論1.1基本概念1.1.1幾何相似

兩個具有相同幾何特征(如平面三角形都是由三條直線圍成一個封閉圖形，其內(nèi)角和為180°)的物體或圖形，若其對應(yīng)部分的長度比值等于同一常數(shù)，則稱為幾何相似。例如，圖11為A、B兩個平面三角形,若平面三角形A與B的對應(yīng)邊長度滿足下式:

l1l′1=l2l′2=l3l′3(11

則稱平面三角形A和B幾何相似。

圖11相似平面三角形

1.1.2相似現(xiàn)象在幾何相似的兩個物體或系統(tǒng)中進行同一性質(zhì)的物理過程(如運動、受力等)，若所有有關(guān)物理量在幾何對應(yīng)點和對應(yīng)的瞬時都各自保持一定的比例關(guān)系，則稱這樣的物理過程為相似現(xiàn)象。例如，圖12為A和B兩個運動系統(tǒng)，它們的運動軌跡構(gòu)成的幾何圖形滿足幾何相似。

圖12運動相似

描述該運動系統(tǒng)的物理量是路程l、速度v和時間t，如果在幾何對應(yīng)點上的物理量滿足以下各式： 對應(yīng)點上的速度：

v′0v″0=v′1v″1=v′2v″2=…=Cv(12

對應(yīng)兩點之間的路程：

l′0l″0=l′1l″1=…=Cl(13

對應(yīng)路程所用時間：

t′1t″1=t′2t″2=…=Ct(14

則A和B兩個運動系統(tǒng)相似，該物理過程為相似現(xiàn)象。1.1.3相似常數(shù)在兩個相似系統(tǒng)中，對應(yīng)物理量的比值保持常數(shù)，該常數(shù)稱為相似常數(shù)。相似常數(shù)通常用C加下標(biāo)表示，如圖12兩個運動相似系統(tǒng)中，速度比值用Cv表示，路程比值用Cl表示，時間比值用Ct表示，分別為速度相似常數(shù)、路程相似常數(shù)、時間相似常數(shù)。1.1.4相似指標(biāo)兩個相似系統(tǒng)中通常會有多個相似常數(shù)，相似常數(shù)之間不是獨立的，因此不能任意取值，相似常數(shù)之間等于1的組合關(guān)系稱為相似指標(biāo)。相似指標(biāo)可以通過相似系統(tǒng)所遵循的相同規(guī)律推導(dǎo)得出。例如，圖12所示A、B兩個運動相似系統(tǒng)，其遵循的相同規(guī)律為

v=dldt(15

系統(tǒng)A

v′=dl′dt′(16

系統(tǒng)B

v″=dl″dt″(17

將式(12)~式(14)代入式(16)可得

Cvv″=Cldl″Ctdt″(18

將式(17)代入式(18)可得

CvCtCl=1(19

CvCtCl即為運動系統(tǒng)的相似指標(biāo)。由此可見，對于運動系統(tǒng)相似常數(shù)，Cv、Ct和Cl之關(guān)系必須滿足式(19)，它們之間只有任意兩個相似常數(shù)可隨意選定，第三個相似常數(shù)必須根據(jù)式(19)來確定。1.1.5相似準(zhǔn)則兩個相似系統(tǒng)中，存在著數(shù)值不變的物理量組合，該組合稱為相似準(zhǔn)則，或相似判據(jù)。相似準(zhǔn)則可以通過相似指標(biāo)推導(dǎo)出。仍以圖12運動相似為例，將式(12)~式(14)代入式(19)相似指標(biāo)得

v′v″t′t″l′l″=1(110

即

v′t′l′=v″t″l″

也就是說

vtl=idem(不變量)

即運動系統(tǒng)的相似準(zhǔn)則為

vtl相似準(zhǔn)則等于不變量而不是等于一個常數(shù)，這是因為，它的數(shù)值只是在兩個相似系統(tǒng)中某兩個對應(yīng)的點和對應(yīng)的瞬間的數(shù)值是相同的，而在同一系統(tǒng)中不同點或不同瞬間，其相似準(zhǔn)則的值不一定相同。例如，系統(tǒng)A運動至1′2′時，相似準(zhǔn)則v′1t′1l′1和v′2t′2l′2的值不一定相等。相似現(xiàn)象中相似準(zhǔn)則的數(shù)目隨現(xiàn)象不同而異。一般來說，現(xiàn)象越復(fù)雜，相似準(zhǔn)則的數(shù)目就越多。1.1.6原型與模型原型是指由多種要素構(gòu)成的實際研究對象； 模型是幾何尺寸小于或等于原型，滿足相似性條件，由相似性材料塑造的研究對象。對于土木、水利、采礦等領(lǐng)域，原型是人類從事工程活動一定范圍的客觀存在； 模型是為研究原型的力學(xué)特性，在實驗室人為塑造的實體，是原型的近似。1.2相似三定理前面介紹了相似現(xiàn)象的基本概念，那么，物理現(xiàn)象滿足什么條件才是相似的？相似現(xiàn)象具有哪些性質(zhì)？相似模擬試驗的結(jié)果如何才能推廣到原型中去呢?下面要介紹的相似三定理正是對這些問題的回答。1.2.1相似及時定理相似及時定理闡述的是相似現(xiàn)象具有的性質(zhì)，即相似現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則相等，相似指標(biāo)等于1，且單值條件相似。單值條件是個別現(xiàn)象區(qū)別于同類現(xiàn)象的特征，它包括： 幾何條件、物理條件、邊界條件及初始條件。幾何條件是指參與過程的物體的形狀和大小； 物理條件是指參與過程的物體的物理性質(zhì)； 邊界條件表示物體表面所受的外界約束； 初始條件則是指所研究的對象在起始時刻的某些特征。例如，在研究物體的導(dǎo)熱過程時，物體的形狀、幾何尺寸就是幾何條件； 物體的比熱容、導(dǎo)熱系數(shù)等是物理條件； 與所研究物體表面接觸的介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)是邊界條件； 而物體在初始時刻的溫度則是初始條件。1.2.2相似第二定理相似第二定理也稱“π定理”，它可表述如下： 如果現(xiàn)象相似，描述此現(xiàn)象的各種參量之間的關(guān)系可轉(zhuǎn)換成相似準(zhǔn)則之間的函數(shù)關(guān)系，且相似現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則函數(shù)關(guān)系式相同。因為相似準(zhǔn)則是無因次的，故描述相似現(xiàn)象的物理方程為

f(a1，a2，…，ak，ak 1，ak 2，…，an)=0(111

可轉(zhuǎn)換成無因次的相似準(zhǔn)則方程：

F(π1，π2，…，πn-k)=0(112

式(111)中的a1，a2，…，ak是基本量； ak，ak 1，ak 2，…，an是導(dǎo)出量。由此可見，相似準(zhǔn)則有(n-k)個，相似第二定理給相似模擬試驗結(jié)果的推廣提供了理論依據(jù)。因為，若兩種現(xiàn)象相似，根據(jù)相似第二定理，可將模型試驗結(jié)果中整理出的相似準(zhǔn)則關(guān)系，推廣到原型中去，從而使原型得到圓滿的解釋。1.2.3相似第三定理相似及時定理和第二定理闡述了相似現(xiàn)象具有的性質(zhì)，并為相似模擬試驗結(jié)果的推廣提供了依據(jù)。那么什么情況下兩種現(xiàn)象才是相似的呢？也就是說，現(xiàn)象相似的條件是什么呢？這就是相似第三定理要回答的問題。相似第三定理可表達(dá)為，若兩個現(xiàn)象能被相同文字的關(guān)系式所描述，且單值條件相似，同時由此單值條件所組成的相似準(zhǔn)則相等，則此兩種現(xiàn)象相似。在工程實踐中，要使模型和原型滿足相似第三定理的要求是相當(dāng)困難的，甚至不可能。這時可根據(jù)研究對象的特征，合理選取那些對現(xiàn)象影響重大的因素，抓住現(xiàn)象的主要矛盾，略去次要因素，使得模擬研究得以實現(xiàn)，這就是所謂的“近似模化”。近似模化能否成功，主要取決于影響因素選擇的合理性。近似模化雖然不能保障全部相似條件得到滿足，但由于它保障了現(xiàn)象主要因素間的相似，故其研究結(jié)果的精度一般可滿足工程實際的要求，因此，近似模化已在工程實踐中得到了廣泛的應(yīng)用。上述三個定理在許多關(guān)于相似理論和模型試驗技術(shù)的著作和文獻中都有詳細(xì)的證明，本書不再重復(fù)這部分內(nèi)容。1.3相似準(zhǔn)則的推導(dǎo)在進行相似模擬研究的試驗設(shè)計、試驗結(jié)果整理及推廣時，均需求得所研究現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則。推導(dǎo)相似準(zhǔn)則的方法較多，本節(jié)只介紹常用的三種方法，即： 相似轉(zhuǎn)換法、因次分析法及矩陣法。1.3.1相似轉(zhuǎn)換法相似轉(zhuǎn)換法是用方程分析求相似準(zhǔn)則的方法之一，它是根據(jù)描述研究對象的基本方程及單值條件來推導(dǎo)出現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則。這種方法的基本步驟為： (1) 列出描述現(xiàn)象的基本方程及全部單值條件； (2) 給出相似常數(shù)表達(dá)式； (3) 把相似常數(shù)代入方程組進行相似轉(zhuǎn)換，求得相似指標(biāo)式； (4) 把相似常數(shù)代入相似指標(biāo)式，求得相似準(zhǔn)則； (5) 對單值條件方程式采用(3)、(4)兩個步驟，從單值條件方程中求得相似準(zhǔn)則。現(xiàn)以一維導(dǎo)熱問題為例說明上述步驟的具體實施過程。一維導(dǎo)熱方程為

Tt=a2Tx2(113)

式中： T——溫度；t——時間； x——距離； a——導(dǎo)溫系數(shù)。(1) 列方程： 與式(113)相似模型的導(dǎo)熱方程為

T′t′=a′2T′x′2(114)

2) 得出相似常數(shù)表達(dá)式：

CT=T′T； Ct=t′t； Ca=a′a； Cx=x′x(115)

3) 求相似指標(biāo)： 將式(115)代入式(114)，整理得

CTCtTt=CaCTC2xa2Tx2(116)

比較式(116)和式(113)得

CTCt=CaCTC2x

即

CaCtC2x=1(117)

(4) 求相似準(zhǔn)則： 將式(115)代入式(117)，得

a′a t′tx′x2=1

整理得

atx2=a′t′x′2=idem(118)

atx2就是所研究現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則，也稱傅里葉(J.Fourer)準(zhǔn)則，用Fo表示。

Fo=atx2(119

1.3.2因次分析法使用相似轉(zhuǎn)換法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則的前提條件是： 必須首先求得描述欲研究現(xiàn)象的微分方程組。但工程實際中遇到的現(xiàn)象有時十分復(fù)雜，人們對這些現(xiàn)象的認(rèn)識程度還遠(yuǎn)未達(dá)到將其用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)出來的程度，在這種情況下，推求現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則，用相似轉(zhuǎn)換法就無能為力了，而常用因次分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則。1. 因次的概念因次也稱量綱，是代表物理量性質(zhì)的符號。因次和物理量的單位既有聯(lián)系，又有區(qū)別，因次是物理量性質(zhì)的廣義度量，而單位除表明物理量性質(zhì)外，還表示了物理量的尺寸或大小。例如［L］是表示長度的因次，而不管長度的單位是“米”“厘米”還是“毫米”。因次根據(jù)其特征可分為基本因次和導(dǎo)出因次。基本因次是其本身就可表達(dá)某物理量的因次，如質(zhì)量［M］、長度［L］和時間［T］。導(dǎo)出因次是指由基本因次通過數(shù)學(xué)表達(dá)式導(dǎo)出的因次，例如，由基本因次［L］和［T］，根據(jù)速度v與路程l及時間t的關(guān)系v=dldt，可導(dǎo)出速度的因次是［v］=［LT-1］，則速度的因次就是導(dǎo)出因次。工程中常用的基本因次系統(tǒng)有MLT系統(tǒng)和FLT系統(tǒng)，前者將質(zhì)量［M］作為基本因次，后者將力［F］當(dāng)作基本因次。2. 因次分析原理用因次分析法求相似準(zhǔn)則的理論依據(jù)是π定理。此時該定理可表達(dá)為： 若描述某一現(xiàn)象需要n個變量(其中k個變量的因次是基本因次)，且這些變量構(gòu)成一個因次齊次的方程式，則此方程可簡化為n-k個無因次乘積(即π)所組成的方程式。根據(jù)上述定理，就可以用因次分析的方法求得現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則，盡管不知道描述此現(xiàn)象的各因素之間確切的函數(shù)關(guān)系。在使用因次分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則時，關(guān)鍵是要合理確定哪些因素和所研究的現(xiàn)象有關(guān)，如果此問題解決得不好，有可能出現(xiàn)兩種研究者不希望發(fā)生的情況，一種是，將那些與研究現(xiàn)象無關(guān)的因素也考慮了進來，這不僅使分析過程復(fù)雜化，而且在求出的由無因次乘積組成的表達(dá)式中，出現(xiàn)多余項； 另一種情況是，漏掉了某些對所研究的現(xiàn)象有影響的因素，這樣必然導(dǎo)致不完整甚至錯誤的研究結(jié)果。3. 因次分析法的基本步驟下面以電風(fēng)扇運動規(guī)律的研究為例，介紹因次分析法推導(dǎo)相似準(zhǔn)則的具體步驟。1) 找出與現(xiàn)象有關(guān)的參數(shù)及因次，得出現(xiàn)象的函數(shù)表達(dá)式。經(jīng)分析知，影響電風(fēng)扇運動規(guī)律的因素有：(1) 給電風(fēng)扇提供動力的扭矩t，［t］=［ML2T-2］(2) 電風(fēng)扇的半徑r，［r］=［L］(3) 空氣密度ρ，［ρ］=［ML-3］(4) 電扇轉(zhuǎn)速n，［n］=［T-1］據(jù)此可得出表征電風(fēng)扇運動規(guī)律的關(guān)系式為

φ(t，r，ρ，n)=0(120)

2) 寫出相似準(zhǔn)則的一段表達(dá)式為

π=tarbρcnd(121)

3) 將各參數(shù)的因次代入式(121)，得出相似準(zhǔn)則一般表達(dá)式的因次式為

π=［ML2T-2］a［L］b［ML-3］c［T-1］d=M0L0T0(122

4) 比較式(122)兩邊同量綱的指數(shù)，可得以下方程組：

a c=02a b-3c=0-2a-d=0(123)

5) 求各影響因素的指數(shù)。方程組(123)有3個方程，但包含4個未知數(shù)，為求解，可令其中任一未知數(shù)為1，即可求得其他參數(shù)，若令a=1，得

c=-1b=-5d=-2(124)

將式(124)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=tr5ρn2

在解方程組(123)時，也可令其他未知數(shù)為1，若令b=1，則

a=-15c=15d=25(125)

將式(125)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=rρ15d25l15=r5ρn2t

同理，若令c=1或d=1，分別得

a=-1b=5d=2或a=-12b=52c=12

代入式(121)得

π=r5ρn2t或π=r52ρ12nt12=r5ρn2t

由此可見，在解方程組(123)時，無論令哪一個未知數(shù)為1求出的都是同一個準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則的形式有所不同。因為上述現(xiàn)象中考慮了4個影響因素，且這些因素中包含了3個基本因次［M］、［L］和［T］，故根據(jù)π定理，它只有一個相似準(zhǔn)則。1.3.3矩陣法用矩陣法求相似準(zhǔn)則就是將矩陣原理引入因次分析法求相似準(zhǔn)則的方法，這樣可使分析過程簡化，特別是當(dāng)所研究現(xiàn)象的影響因素較多時，更是如此。

圖13系船浮筒

1—發(fā)光塑料球； 2—系桿；

3—塑料浮筒； 4—鉛錘重物

用矩陣法求相似準(zhǔn)則的具體方法如下例所示。圖13是一栓系小船的浮筒示意圖，圖中省去了連接浮筒和船錨的錨鏈，試確定系桿角θ和風(fēng)力的關(guān)系。1) 影響上述關(guān)系的因素有： (1) 水的密度ρw，［ρw］=［ML-3］ (2) 空氣的密度ρa，［ρa］=［ML-3］(3) 風(fēng)速v，［v］=［LT-1］(4) 重力加速度g，［g］=［LT-2］(5) 浮筒的密度ρc，［ρc］=［ML-3］(6) 系桿長度l，［l］=［L］(7) 系桿角θ，［θ］=［M0L0T0］= ［1］這樣可得出關(guān)系式：

φ(ρw，ρa，v，g，ρc,l，θ)=0(126)

顯然，上述因素中的系桿角θ是無因次量，即它本身就是一個相似準(zhǔn)則，則

π1=θ

2) 寫出相似準(zhǔn)則的一般表達(dá)式：

π=ρawρbavcgdρeclf(127)

其因次關(guān)系為

［π］=［ML-3］a［ML-3］b［LT-1］c［LT-2］d［ML-3］e［L］f

3) 由此可寫出因次矩陣：

abcdef

ρwρavgρcl

M110010

L-3-311-31

T00-1-200

4) 求矩陣的秩： 上述矩陣中右邊三列構(gòu)成的行列式為

0101-31-200=-2

此行列式不等于零，說明上述因次矩陣的秩等于3，由于相似準(zhǔn)則個數(shù)等于矩陣列數(shù)減去矩陣的秩，故從上述矩陣中可導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)目為6-3=3。為了簡化分析過程，矩陣中參數(shù)的排列一般遵循下列規(guī)則： 將不等于零的行列式排在矩陣的右側(cè)。5) 由于相似準(zhǔn)則的因次為零，故從上述矩陣中可得出下列方程組：

a e b=0-3a-3b c d-3e f=0-c-2d=0(128)

6) 解上述方程組,得出不為零的行列式所對應(yīng)的指數(shù)d，e，f和其他未知數(shù)間的關(guān)系：

d=-c2e=-a-bf=-c2(129)

7) 將上述方程組中d，e，f各行的系數(shù)作為下列π矩陣中對應(yīng)的d，e，f各列的元素。在a，b，c所對應(yīng)的矩陣中，使對角線上的元素為1，其他元素為0，即