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第1章相似理論1.1基本概念1.1.1幾何相似

兩個具有相同幾何特征(如平面三角形都是由三條直線圍成一個封閉圖形，其內角和為180°)的物體或圖形，若其對應部分的長度比值等于同一常數，則稱為幾何相似。例如，圖11為A、B兩個平面三角形,若平面三角形A與B的對應邊長度滿足下式:

l1l′1=l2l′2=l3l′3(11

則稱平面三角形A和B幾何相似。

圖11相似平面三角形

1.1.2相似現象在幾何相似的兩個物體或系統中進行同一性質的物理過程(如運動、受力等)，若所有有關物理量在幾何對應點和對應的瞬時都各自保持一定的比例關系，則稱這樣的物理過程為相似現象。例如，圖12為A和B兩個運動系統，它們的運動軌跡構成的幾何圖形滿足幾何相似。

圖12運動相似

描述該運動系統的物理量是路程l、速度v和時間t，如果在幾何對應點上的物理量滿足以下各式： 對應點上的速度：

v′0v″0=v′1v″1=v′2v″2=…=Cv(12

對應兩點之間的路程：

l′0l″0=l′1l″1=…=Cl(13

對應路程所用時間：

t′1t″1=t′2t″2=…=Ct(14

則A和B兩個運動系統相似，該物理過程為相似現象。1.1.3相似常數在兩個相似系統中，對應物理量的比值保持常數，該常數稱為相似常數。相似常數通常用C加下標表示，如圖12兩個運動相似系統中，速度比值用Cv表示，路程比值用Cl表示，時間比值用Ct表示，分別為速度相似常數、路程相似常數、時間相似常數。1.1.4相似指標兩個相似系統中通常會有多個相似常數，相似常數之間不是獨立的，因此不能任意取值，相似常數之間等于1的組合關系稱為相似指標。相似指標可以通過相似系統所遵循的相同規律推導得出。例如，圖12所示A、B兩個運動相似系統，其遵循的相同規律為

v=dldt(15

系統A

v′=dl′dt′(16

系統B

v″=dl″dt″(17

將式(12)~式(14)代入式(16)可得

Cvv″=Cldl″Ctdt″(18

將式(17)代入式(18)可得

CvCtCl=1(19

CvCtCl即為運動系統的相似指標。由此可見，對于運動系統相似常數，Cv、Ct和Cl之關系必須滿足式(19)，它們之間只有任意兩個相似常數可隨意選定，第三個相似常數必須根據式(19)來確定。1.1.5相似準則兩個相似系統中，存在著數值不變的物理量組合，該組合稱為相似準則，或相似判據。相似準則可以通過相似指標推導出。仍以圖12運動相似為例，將式(12)~式(14)代入式(19)相似指標得

v′v″t′t″l′l″=1(110

即

v′t′l′=v″t″l″

也就是說

vtl=idem(不變量)

即運動系統的相似準則為

vtl相似準則等于不變量而不是等于一個常數，這是因為，它的數值只是在兩個相似系統中某兩個對應的點和對應的瞬間的數值是相同的，而在同一系統中不同點或不同瞬間，其相似準則的值不一定相同。例如，系統A運動至1′2′時，相似準則v′1t′1l′1和v′2t′2l′2的值不一定相等。相似現象中相似準則的數目隨現象不同而異。一般來說，現象越復雜，相似準則的數目就越多。1.1.6原型與模型原型是指由多種要素構成的實際研究對象； 模型是幾何尺寸小于或等于原型，滿足相似性條件，由相似性材料塑造的研究對象。對于土木、水利、采礦等領域，原型是人類從事工程活動一定范圍的客觀存在； 模型是為研究原型的力學特性，在實驗室人為塑造的實體，是原型的近似。1.2相似三定理前面介紹了相似現象的基本概念，那么，物理現象滿足什么條件才是相似的？相似現象具有哪些性質？相似模擬試驗的結果如何才能推廣到原型中去呢?下面要介紹的相似三定理正是對這些問題的回答。1.2.1相似及時定理相似及時定理闡述的是相似現象具有的性質，即相似現象的相似準則相等，相似指標等于1，且單值條件相似。單值條件是個別現象區別于同類現象的特征，它包括： 幾何條件、物理條件、邊界條件及初始條件。幾何條件是指參與過程的物體的形狀和大小； 物理條件是指參與過程的物體的物理性質； 邊界條件表示物體表面所受的外界約束； 初始條件則是指所研究的對象在起始時刻的某些特征。例如，在研究物體的導熱過程時，物體的形狀、幾何尺寸就是幾何條件； 物體的比熱容、導熱系數等是物理條件； 與所研究物體表面接觸的介質的導熱系數是邊界條件； 而物體在初始時刻的溫度則是初始條件。1.2.2相似第二定理相似第二定理也稱“π定理”，它可表述如下： 如果現象相似，描述此現象的各種參量之間的關系可轉換成相似準則之間的函數關系，且相似現象的相似準則函數關系式相同。因為相似準則是無因次的，故描述相似現象的物理方程為

f(a1，a2，…，ak，ak 1，ak 2，…，an)=0(111

可轉換成無因次的相似準則方程：

F(π1，π2，…，πn-k)=0(112

式(111)中的a1，a2，…，ak是基本量； ak，ak 1，ak 2，…，an是導出量。由此可見，相似準則有(n-k)個，相似第二定理給相似模擬試驗結果的推廣提供了理論依據。因為，若兩種現象相似，根據相似第二定理，可將模型試驗結果中整理出的相似準則關系，推廣到原型中去，從而使原型得到圓滿的解釋。1.2.3相似第三定理相似及時定理和第二定理闡述了相似現象具有的性質，并為相似模擬試驗結果的推廣提供了依據。那么什么情況下兩種現象才是相似的呢？也就是說，現象相似的條件是什么呢？這就是相似第三定理要回答的問題。相似第三定理可表達為，若兩個現象能被相同文字的關系式所描述，且單值條件相似，同時由此單值條件所組成的相似準則相等，則此兩種現象相似。在工程實踐中，要使模型和原型滿足相似第三定理的要求是相當困難的，甚至不可能。這時可根據研究對象的特征，合理選取那些對現象影響重大的因素，抓住現象的主要矛盾，略去次要因素，使得模擬研究得以實現，這就是所謂的“近似模化”。近似模化能否成功，主要取決于影響因素選擇的合理性。近似模化雖然不能保障全部相似條件得到滿足，但由于它保障了現象主要因素間的相似，故其研究結果的精度一般可滿足工程實際的要求，因此，近似模化已在工程實踐中得到了廣泛的應用。上述三個定理在許多關于相似理論和模型試驗技術的著作和文獻中都有詳細的證明，本書不再重復這部分內容。1.3相似準則的推導在進行相似模擬研究的試驗設計、試驗結果整理及推廣時，均需求得所研究現象的相似準則。推導相似準則的方法較多，本節只介紹常用的三種方法，即： 相似轉換法、因次分析法及矩陣法。1.3.1相似轉換法相似轉換法是用方程分析求相似準則的方法之一，它是根據描述研究對象的基本方程及單值條件來推導出現象的相似準則。這種方法的基本步驟為： (1) 列出描述現象的基本方程及全部單值條件； (2) 給出相似常數表達式； (3) 把相似常數代入方程組進行相似轉換，求得相似指標式； (4) 把相似常數代入相似指標式，求得相似準則； (5) 對單值條件方程式采用(3)、(4)兩個步驟，從單值條件方程中求得相似準則。現以一維導熱問題為例說明上述步驟的具體實施過程。一維導熱方程為

Tt=a2Tx2(113)

式中： T——溫度；t——時間； x——距離； a——導溫系數。(1) 列方程： 與式(113)相似模型的導熱方程為

T′t′=a′2T′x′2(114)

2) 得出相似常數表達式：

CT=T′T； Ct=t′t； Ca=a′a； Cx=x′x(115)

3) 求相似指標： 將式(115)代入式(114)，整理得

CTCtTt=CaCTC2xa2Tx2(116)

比較式(116)和式(113)得

CTCt=CaCTC2x

即

CaCtC2x=1(117)

(4) 求相似準則： 將式(115)代入式(117)，得

a′a t′tx′x2=1

整理得

atx2=a′t′x′2=idem(118)

atx2就是所研究現象的相似準則，也稱傅里葉(J.Fourer)準則，用Fo表示。

Fo=atx2(119

1.3.2因次分析法使用相似轉換法推導相似準則的前提條件是： 必須首先求得描述欲研究現象的微分方程組。但工程實際中遇到的現象有時十分復雜，人們對這些現象的認識程度還遠未達到將其用數學方程式表達出來的程度，在這種情況下，推求現象的相似準則，用相似轉換法就無能為力了，而常用因次分析法推導相似準則。1. 因次的概念因次也稱量綱，是代表物理量性質的符號。因次和物理量的單位既有聯系，又有區別，因次是物理量性質的廣義度量，而單位除表明物理量性質外，還表示了物理量的尺寸或大小。例如［L］是表示長度的因次，而不管長度的單位是“米”“厘米”還是“毫米”。因次根據其特征可分為基本因次和導出因次。基本因次是其本身就可表達某物理量的因次，如質量［M］、長度［L］和時間［T］。導出因次是指由基本因次通過數學表達式導出的因次，例如，由基本因次［L］和［T］，根據速度v與路程l及時間t的關系v=dldt，可導出速度的因次是［v］=［LT-1］，則速度的因次就是導出因次。工程中常用的基本因次系統有MLT系統和FLT系統，前者將質量［M］作為基本因次，后者將力［F］當作基本因次。2. 因次分析原理用因次分析法求相似準則的理論依據是π定理。此時該定理可表達為： 若描述某一現象需要n個變量(其中k個變量的因次是基本因次)，且這些變量構成一個因次齊次的方程式，則此方程可簡化為n-k個無因次乘積(即π)所組成的方程式。根據上述定理，就可以用因次分析的方法求得現象的相似準則，盡管不知道描述此現象的各因素之間確切的函數關系。在使用因次分析法推導相似準則時，關鍵是要合理確定哪些因素和所研究的現象有關，如果此問題解決得不好，有可能出現兩種研究者不希望發生的情況，一種是，將那些與研究現象無關的因素也考慮了進來，這不僅使分析過程復雜化，而且在求出的由無因次乘積組成的表達式中，出現多余項； 另一種情況是，漏掉了某些對所研究的現象有影響的因素，這樣必然導致不完整甚至錯誤的研究結果。3. 因次分析法的基本步驟下面以電風扇運動規律的研究為例，介紹因次分析法推導相似準則的具體步驟。1) 找出與現象有關的參數及因次，得出現象的函數表達式。經分析知，影響電風扇運動規律的因素有：(1) 給電風扇提供動力的扭矩t，［t］=［ML2T-2］(2) 電風扇的半徑r，［r］=［L］(3) 空氣密度ρ，［ρ］=［ML-3］(4) 電扇轉速n，［n］=［T-1］據此可得出表征電風扇運動規律的關系式為

φ(t，r，ρ，n)=0(120)

2) 寫出相似準則的一段表達式為

π=tarbρcnd(121)

3) 將各參數的因次代入式(121)，得出相似準則一般表達式的因次式為

π=［ML2T-2］a［L］b［ML-3］c［T-1］d=M0L0T0(122

4) 比較式(122)兩邊同量綱的指數，可得以下方程組：

a c=02a b-3c=0-2a-d=0(123)

5) 求各影響因素的指數。方程組(123)有3個方程，但包含4個未知數，為求解，可令其中任一未知數為1，即可求得其他參數，若令a=1，得

c=-1b=-5d=-2(124)

將式(124)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=tr5ρn2

在解方程組(123)時，也可令其他未知數為1，若令b=1，則

a=-15c=15d=25(125)

將式(125)中a、b、c、d值代入式(121)，得

π=rρ15d25l15=r5ρn2t

同理，若令c=1或d=1，分別得

a=-1b=5d=2或a=-12b=52c=12

代入式(121)得

π=r5ρn2t或π=r52ρ12nt12=r5ρn2t

由此可見，在解方程組(123)時，無論令哪一個未知數為1求出的都是同一個準則，只是準則的形式有所不同。因為上述現象中考慮了4個影響因素，且這些因素中包含了3個基本因次［M］、［L］和［T］，故根據π定理，它只有一個相似準則。1.3.3矩陣法用矩陣法求相似準則就是將矩陣原理引入因次分析法求相似準則的方法，這樣可使分析過程簡化，特別是當所研究現象的影響因素較多時，更是如此。

圖13系船浮筒

1—發光塑料球； 2—系桿；

3—塑料浮筒； 4—鉛錘重物

用矩陣法求相似準則的具體方法如下例所示。圖13是一栓系小船的浮筒示意圖，圖中省去了連接浮筒和船錨的錨鏈，試確定系桿角θ和風力的關系。1) 影響上述關系的因素有： (1) 水的密度ρw，［ρw］=［ML-3］ (2) 空氣的密度ρa，［ρa］=［ML-3］(3) 風速v，［v］=［LT-1］(4) 重力加速度g，［g］=［LT-2］(5) 浮筒的密度ρc，［ρc］=［ML-3］(6) 系桿長度l，［l］=［L］(7) 系桿角θ，［θ］=［M0L0T0］= ［1］這樣可得出關系式：

φ(ρw，ρa，v，g，ρc,l，θ)=0(126)

顯然，上述因素中的系桿角θ是無因次量，即它本身就是一個相似準則，則

π1=θ

2) 寫出相似準則的一般表達式：

π=ρawρbavcgdρeclf(127)

其因次關系為

［π］=［ML-3］a［ML-3］b［LT-1］c［LT-2］d［ML-3］e［L］f

3) 由此可寫出因次矩陣：

abcdef

ρwρavgρcl

M110010

L-3-311-31

T00-1-200

4) 求矩陣的秩： 上述矩陣中右邊三列構成的行列式為

0101-31-200=-2

此行列式不等于零，說明上述因次矩陣的秩等于3，由于相似準則個數等于矩陣列數減去矩陣的秩，故從上述矩陣中可導出的相似準則數目為6-3=3。為了簡化分析過程，矩陣中參數的排列一般遵循下列規則： 將不等于零的行列式排在矩陣的右側。5) 由于相似準則的因次為零，故從上述矩陣中可得出下列方程組：

a e b=0-3a-3b c d-3e f=0-c-2d=0(128)

6) 解上述方程組,得出不為零的行列式所對應的指數d，e，f和其他未知數間的關系：

d=-c2e=-a-bf=-c2(129)

7) 將上述方程組中d，e，f各行的系數作為下列π矩陣中對應的d，e，f各列的元素。在a，b，c所對應的矩陣中，使對角線上的元素為1，其他元素為0，即