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第1章質點運動學

基本要求1. 掌握描述質點運動的基本物理量——位置矢量、位移、速度和加速度等概念及其主要性質(矢量性、瞬時性和相對性)。2. 理解運動方程和軌道方程的意義，能應用直線運動方程和運動疊加原理求解簡單的質點運動學問題。(1) 已知質點運動方程，求質點的位移、速度和加速度等物理量； (2) 已知速度或加速度及初始條件，求質點的運動方程； (3) 熟練掌握勻變速直線運動、拋體運動的規律。3. 掌握圓周運動中角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度等概念。4. 理解運動的相對性?；靖拍詈突疽幝?. 質點在所研究的問題中，物體的大小和形狀可忽略不計時，我們把它看作只具有質量而無大小、形狀的理想物體，稱為質點。質點是物理學中物體的理想模型。2. 位置矢量(或矢徑)r在直角坐標系中點P的位置矢量(如圖1.2.1所示)表示為

r=xi yj zk

位置矢量的大小為

r=|r|=x2 y2 z2

位置矢量的方向用方向余弦表示為

cosα=xr，cosβ=yr，cosγ=zr

在二維運動中(如圖1.2.2所示)

r=xi yj

r=|r|=x2 y2

θ=arctanyx

式中θ是r與x軸正向間夾角。

圖1.2.1

圖1.2.2

3. 位移位移是描述質點在t~t Δt時間內位置矢量變化的物理量(如圖1.2.3所示)。質點在Δt內由P1到P2的位移等于同一時間內位置矢量的增量Δr：

圖1.2.3

Δr=r2-r1=(x2-x1)i (y2-y1)j (z2-z1)k

位移的大小為

|Δr|=(x2-x1)2 (y2-y1)2 (z2-z1)2

位移的方向為

cosα=Δx|Δr|，cosβ=Δy|Δr|，cosγ=Δz|Δr|

注意： ①位移Δr與位置矢量r的物理意義不同，r與時刻t對應，Δr與Δt對應； ②|Δr|≠Δr=r2-r1，Δr=x22 y22 z22-x21 y21 z21； ③位移與參照系的選擇有關，具有相對性； ④直線運動中的位移Δx=x2-x1,Δx的正負表示位移的方向沿x軸的正向或負向。4. 速度速度是描述質點的位置隨時間變化快慢和方向的物理量。(1) 平均速度

?瘙經-=ΔrΔt=ΔxΔti ΔyΔtj ΔzΔtk=v-xi v-yj v-zk

?瘙經-稱為質點在t~t Δt這段時間內的平均速度。(2) 瞬時速度

?瘙經=drdt=dxdti dydtj dzdtk=vxi vyj vzk

?瘙經稱為質點在時刻t的瞬時速度，簡稱速度。注意： ①v=|?瘙經|=v2x v2y v2z=dxdt2 dydt2 dzdt2≠drdt； ②直線運動中v=dxdt，v的正負表示速度的方向沿x軸正向或負向。(3) 平均速率

v-=ΔsΔt

式中Δs是質點在t~t Δt時間內走過的路程，v-稱為質點在t~t Δt時間內的平均速率。(4) 瞬時速率

v=dsdt

v稱為質點在t時刻的瞬時速率，簡稱速率。同一瞬間的瞬時速率和瞬時速度的大小是相同的。5. 加速度加速度是描述質點運動速度變化的物理量。(1) 平均加速度

a-=Δ?瘙經Δt=ΔvxΔti ΔvyΔtj ΔvzΔtk

a-稱為質點在t~t Δt這段時間內的平均加速度。(2) 瞬時加速度

a=d?瘙經dt=dvxdti dvydtj dvzdtk=d2xdt2i d2ydt2j d2zdt2k=axi ayj azk

a稱為質點在t時刻的瞬時加速度，簡稱加速度。(3) 質點作平面曲線運動時的加速度，亦可用自然坐標系中的法向加速度和切向加速度表示： 法向加速度an=v2ρ，方向指向該處的曲率中心，式中v為質點所在處的速率,ρ為質點所在處的曲率半徑。切向加速度at=dvdt，正、負表示切向加速度的方向與該處速度方向“同”、“反”。總加速度

a=an at

注意： ①a的方向是速度變化的方向，即Δ?瘙經的極限方向，一般不代表質點的運動方向。②區分?瘙經和a概念： ?瘙經=0，|a|不一定為零； |?瘙經|大，|a|不一定大。③曲線運動中an≠0； 直線運動中an=0，at=dvdt； 直線運動a的正、負表示加速度的方向沿選定軸的正向或負向。6. 圓周運動的角量描述設質點作圓周運動，t時刻質點在A點，t Δt時刻質點運動到B點，如圖1.2.4所示。則質點的運動亦可用下述角量描述。

圖1.2.4

θ為半徑OA與x軸間夾角，θA，θB分別是質點在A，B兩點的角位置，則

Δθ=θB-θA

Δθ稱為質點在t~t Δt內對O點的角位移。令

ω=limΔt→0ΔθΔt=dθdt

ω稱為質點在t時刻對O點的瞬時角速度(簡稱角速度)。令

α=limΔt→0ΔωΔt=dωdt

α稱為質點在t時刻對O點的瞬時角加速度(簡稱角加速度)。

角量與線量間的關系：

v=Rω

an=v2R,at=dvdt=Rα

7. 運動方程r(t)質點的位置矢量r(t)(或角位置θ)隨時間的變化規律稱為質點的運動方程，可表示為

r(t)=x(t)i y(t)j z(t)k

或

θ=θ(t)

質點的運動方程在直角坐標系中亦可用分量式表示為

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

運動方程反映了質點的空間位置隨時間的變化過程。從運動方程的分量式中消去t，得到x、y、z間的關系式，稱為質點的軌道方程。8. 運動疊加原理一個運動可看成幾個各自獨立進行的運動疊加而成，這稱為運動疊加原理或運動獨立性原理。例如，拋體運動可看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻變速直線運動的疊加。9. 幾種簡單的運動規律(1) 直線運動的規律(假設運動發生在x軸上)勻速直線運動方程：

x=x0 vt

勻變速直線運動方程：

x=x0 v0t 12at2

變速直線運動方程：

x=x0 ∫t0vdt

v=v0 ∫t0adt

式中x0、v0分別是t=0時質點的初始位置、初始速度。(2) 圓周運動的角量描述規律勻速圓周運動：

θ=θ0 ωt

an=Rω2,at=0

勻變速圓周運動：

θ=θ0 ω0t 12αt2

an=Rω2,at=dvdt=Rα

式中θ0、ω0分別是t=0時質點的初始角位置、初始角速度。(3) 拋體運動規律

圖1.2.5

拋體運動(如圖1.2.5所示)方程為

x=v0cosθ0t

y=h v0sinθ0t-12gt2

討論： θ0=0時為平拋運動； θ0=π2時為豎直上拋運動； θ0=-π2且v0=0，則為自由落體運動。10. 運動的相對性由于位置矢量、速度和加速度的大小和方向都與參照系的選擇有關，具有相對性，因此同一質點的運動對不同參照系的描述是不同的。設坐標系Ox′y′z′相對于坐標系Oxyz的平動速度為u，則位移為Δr=Δr′ uΔt

速度為?瘙經=?瘙經′ u

或表示為

?瘙經A對C=?瘙經A對B ?瘙經B對C

上式稱為速度變換原理或速度合成定理。加速度aA對C=aA對B aB對C

上式稱為加速度交換原理或加速度合成定理。解題指導本章的重點是深刻理解位置矢量、位移、速度和加速度等概念，注意其矢量性與相對性。本章習題一般分兩大類： 及時類是已知質點的運動方程，利用微分法求各物理量(速度、加速度等)； 第二類是已知速度或加速度及初始條件，利用積分法求運動方程。第二類問題和學會用速度合成定理處理運動的矢量性和相對性問題是本章的難點。在直線運動中，位移、速度和加速度的方向均在一直線上，建立坐標后，這些矢量可作為標量來處理。位移Δx、速度v和加速度a的正負，表示其方向與選定坐標軸的正向一致或相反。應特別注意的是，中學階段定量研究的是勻變速直線運動，加速度是常量。但大學物理中討論的是具有普遍意義的運動，加速度不一定是常量，必須用高等數學中的微積分解題。由中學的“常量”到大學的“變量”，這是學習的一個飛躍。質點運動學問題的一般解題程序為： (1) 審清題意，確定研究對象，分析研究對象的運動情況。(2) 選擇適當的參照系，建立坐標系。(3) 根據所求物理量的定義，列式并求解。或根據運動的特點和題設條件，列方程求解。(4) 必要時進行分析討論。[例題1.1]有一物體作直線運動，其運動方程為x=6t2-2t3，式中x的單位為m，t的單位為s。求： (1) 速度和加速度的表達式； (2) t=0,1,2,3,4s時物體的位置x、速度v和加速度a； (3) 第2s內的平均速度； (4) 最初4s內物體的位移、路程、平均速度和平均速率； (5) 討論物體的運動情況。[解](1) 物體的運動方程

x=6t2-2t3

速度

v=dxdt=12t-6t2(m/s)

加速度

a=dvdt=12-12t(m/s2)

(2) 將t的各值代入上述三式，可得各時刻的x、v和a，見表1.3.1：

表1.3.1

t/s01 2 3 4x/m0480-32v/(m/s)060-18-48a/(m/s2)120-12-24-36

(3) 第2s內平均速度

v-1—2=x2-x1t2-t1=8-42-1=4(m/s)

但這不能用下式來計算：

v-1—2=v1 v22

為什么不行？請讀者自己思考。(4) 位移

Δx=x4-x0=-32-0=-32(m)

式中負號表示位移的方向沿x軸負向。路程Δs是否等于位移Δx?通常Δs≠Δx，只有在直線運動中速度不改變方向的那段時間內，路程才與位移的大小相等。今由dxdt=12t-6t2=0得t=2s時開始速度改變方向，所以路程為

Δs=Δs1 Δs2=|x2-x0| |x4-x2|=|8-0| |-32-8|=48(m)

平均速度為

v-0—4=x4-x0t4-t0=-324=-8(m/s)

式中負號表示平均速度的方向沿x軸負向。平均速率為

v-0—4=ΔsΔt=484=12(m/s)

(5) 由v=12t-6t2，可見t0； t=2s，v=0； t>2s，v1s，a0，a>0，物體作加速運動； t在1~2s內，v>0，a0，并不表示物體作加速運動； a

x=3t,y=t2 t

式中x、y以m計，t以s計。試求： (1) t=1s和2s時質點的位置矢量，并計算這1s內質點的位移和平均速度； (2) 2s末質點的速度和加速度； (3) 質點的軌道方程。[解](1) 質點的位置矢量為

r=3ti (t2 t)jt=1s時，r1=3i (1 1)j=3i 2j(m)t=2s時，r2=6i 6j(m)根據位移的定義，這1s內的位移為

Δr=r2-r1=(6-3)i (6-2)j=3i 4j(m)

或用位移的大小和方向表示為

|Δr|=(Δx)2 (Δy)2=(6-3)2 (6-2)2=5(m)

θ=arctanΔyΔx=arctan6-26-3=53°

式中θ是位移與x軸正向間夾角。根據平均速度的定義，這1s內的平均速度為

?瘙經-=ΔrΔt=3i 4j2-1=3i 4j(m/s)

(2) 根據速度的定義，可得速度的兩個分量vx和vy：

vx=dxdt=3(m/s)

vy=dydt=(2t 1)|t=2=2×2 1=5(m/s)

所以質點在2s末的速度為

?瘙經2=3i 5j(m/s)

或用?瘙經2的大小和?瘙經2與x軸正向間夾角來表示為

v2=v2x v2y=32 52=5.83(m/s)

θ=arctanvyvx=arctan53=59°

式中θ是速度?瘙經2與x軸正向間夾角。根據加速度的定義，它的兩個分量ax、ay分別為

ax=dvxdt=0

ay=dvydt=2(m/s2)

所以

a=axi ayj=2j(m/s2)

即加速度的大小為a=2m/s2，方向沿y軸正向。由于加速度不隨時間變化，所以本題中質點作勻加速運動。(3) 從質點的運動方程中消去t，即得軌道方程

y=x32 x3

即

x2 3x-9y=0

[例題1.3]一質點沿x軸運動。已知加速度a=4t(SI),t=0時，初速度v0=0，初始位置x0=10m。試求質點的運動方程。[解]根據加速度的定義a=dvdt，得

adt=4tdt=dv

對上式兩邊積分，得速度v隨時間t的變化規律

∫t04tdt=∫v0dv

積分后代入上下限得

v=2t2

又根據速度的定義v=dxdt得

dx=vdt=2t2dt

對上式兩邊積分后得質點的運動方程

∫xx0dx=∫t02t2dt

x=x0 23t3

將x0=10m代入上式得

x=10 23t2(m)

本題屬已知加速度及初始條件(即t=0時的x0、v0)求運動方程的問題，主要根據加速度和速度的定義，通過積分解決。需注意初始條件的運用和定積分的計算方法。[例題1.4]一物體沿x軸運動，開始時物體位于坐標原點，初速度v0=3m/s。若加速度a=4x(SI)，求： (1) 物體經過x=2m時的速度； (2) 物體的運動方程。[解](1) 本題中加速度隨x而變化，所以物體作變速直線運動。根據加速度和速度的定義 v=dxdt，a=dvdt，得

vdt=dx

adt=dv=adxv

所以

vdv=adx=4xdx

兩邊積分：

∫vv0vdv=∫xx04xdx

v2-v20=4(x2-x20)

將x0=0，v0=3m/s及x=2m代入上式得

v=v20 4x2=32 4×22=5(m/s)

(2) 再根據速度的定義得

dx=vdt=v20 4x2dt

所以

∫x0dxv20 4x2=∫t0dt

由積分公式∫dxa2 x2=ln(x a2 x2)，將上式積分，則有

12ln(2x v20 4x2)|x0=t

2x v20 4x2v0=e2t

化簡后得運動方程

x=v04(e2t-e-2t)=34(e2t-e-2t)(m)

圖1.3.1

需注意： 通常解題時應先用文字式運算，求得結果的文字表達式后，再代入數據進行計算，得出的結果。[例題1.5]如圖1.3.1所示，在離水面高度h的岸邊上，有人用繩子拉船靠岸。船位于離岸的水平距離s處。當人以v0的勻速率收繩時，試求船的速度和加速度。[解]本題要求?瘙經和a，但船的運動方程未知，因此須先根據已知條件，建立坐標后寫出船的運動方程，然后根據定義求?瘙經和a。以人的收繩點為坐標原點，建立坐標系如圖1.3.1所示，則船的位置矢量即運動方程為

r=xi-hj

式中h是常量，x隨時間而變。根據速度和加速度的定義得

?瘙經=drdt=dxdti

a=d2rdt2=d2xdt2i

根據題意，人的收繩速率為

v0=-drdt=-ddtx2 h2=-xx2 h2dxdt

這里因r=|r|隨時間減小，所以drdt0。由上式得

vx=dxdt=-v0x2 h2x

所以船的速度為

?瘙經=-v0x2 h2xi

而

ax=dvxdt=ddt-v0x2 h2x=ddx-v0x2 h2xdxdt=-h2v20x3

所以船的加速度為

a=-h2v20x3i

當船在x=s處時，速度和加速度為

?瘙經=-v0s2 h2si

a=-h2v20s3i

討論： (1) ?瘙經和a的方向均沿x軸負向，所以船向岸邊作加速運動。(2) 由a的表達式，h和v0不變，s隨時間減小，|a|隨時間增大，所以船作變加速運動。(3) 船的速率v>v0(人的收繩速率)，這是嚴格按速度的定義求得的，直觀上，顯然v不等于v0。

圖1.3.2

[例題1.6]一石子從傾角為α=30°的斜面上的O點拋出。已知初速度v0=9.8m/s，?瘙經0與水平面的夾角θ=30°，如圖1.3.2所示。若忽略空氣阻力，試求： (1) 石子落到斜面上的B點離O點的距離l； (2) 石子所到達的較大高度； (3) t=1.5s時石子的速度、切向加速度和法向加速度。[解](1) 石子的運動可看作水平方向的勻速直線運動和豎直方向的加速度為g的勻變速直線運動的疊加。今以O點為原點，建立坐標如圖，則石子的加速度分量為