日韩偷拍一区二区,国产香蕉久久精品综合网,亚洲激情五月婷婷,欧美日韩国产不卡

第3章化工過程多穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性分析

3.1引言化工過程的穩(wěn)定性在安全生產(chǎn)中發(fā)揮著重要作用，許多重大事故都是由于系統(tǒng)運行不穩(wěn)定，人為操作失誤，引發(fā)事故或者使得事故進(jìn)一步惡化，進(jìn)而造成財產(chǎn)損失和人員傷亡。有文獻(xiàn)統(tǒng)計［1］表明，每10000起難于維持穩(wěn)定的事故中，大約500起會造成財產(chǎn)的損失，有接近100起造成輕微的人身傷害，其中可能有1起事故會造成人員的嚴(yán)重傷害或死亡，如圖31所示。由此可見，化工系統(tǒng)的穩(wěn)定性在化工安全生產(chǎn)中占有重要位置，為減少重大事故的發(fā)生概率，一個有效的方法是提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖31化工過程中各類事故的比例示意圖

穩(wěn)定性的概念出現(xiàn)在力學(xué)研究中，用于描述一個剛體運動的平衡狀態(tài)。如果一個平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，那么這個剛體在受到干擾從原來位置微微移動后，最終仍能回到它原來的位置。反之，如果這個平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，那么當(dāng)這個剛體受到干擾的時候，它會趨于一個新位置，遠(yuǎn)離最初的平衡態(tài)，如圖32所示。

圖32力學(xué)中的穩(wěn)定性示意圖

在實際應(yīng)用中，常常使用微分方程來描述系統(tǒng)的變化規(guī)律。在建立微分方程的過程中，我們只能考慮影響該過程的主要因素，忽略一些次要因素，而這些因素可以認(rèn)為是干擾因素。干擾因素是不可避免的，可以瞬時起作用，也可以持續(xù)起作用。從數(shù)學(xué)上來看，瞬時干擾引起初值的變化，而持續(xù)干擾則會引起微分方程本身的變化。在某些系統(tǒng)中，系統(tǒng)初始條件或者微分方程的微小變化都會引起穩(wěn)態(tài)解的巨大變化，因此，對于新設(shè)計的系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析可以及時發(fā)現(xiàn)問題，避免設(shè)計方案實施后系統(tǒng)運行的不穩(wěn)定。運動系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是力學(xué)中平衡穩(wěn)定性的擴展。李雅普諾夫定義下的運動穩(wěn)定性理論主要研究微小干擾性因素對于系統(tǒng)運動的影響。微小的干擾因素普遍存在，不可避免，而且不確定。對于一些系統(tǒng)，微小的干擾因素的影響并不顯著，因此，受干擾的運動與不受干擾的運動差別很小，這類運動系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的； 對于另外一些運動，無論干擾多么小，隨著時間的推移，受干擾的運動與不受干擾的運動總是相差巨大，這類運動系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定的。由于干擾不可避免，所以運動穩(wěn)定性的問題有著重要的理論和實際意義，在自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域受到了普遍關(guān)注。眾所周知，化工過程是強非線性［2，3］過程，而非線性的系統(tǒng)通常存在多個穩(wěn)態(tài)解［4~9］，這些穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性一般并不相同。在實際生產(chǎn)中，化工系統(tǒng)的操作條件受到人為操作、不確定因素的影響而不斷變化，人們通常關(guān)心系統(tǒng)在某個操作條件不斷變化時表現(xiàn)出來的特性，例如對于一個反應(yīng)器，逐漸調(diào)整進(jìn)料的流量，觀察系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的特征。在現(xiàn)有的研究中，通過計算不同參數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，然后判斷每個穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定特性，進(jìn)而確定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解是否穩(wěn)定。這種逐點判斷穩(wěn)定性的方法耗時巨大，本章將介紹通過奇異點劃分區(qū)域快速判斷穩(wěn)定性區(qū)域的方法。本章首先介紹穩(wěn)定性的概念和常用的判別方法，在此基礎(chǔ)上提出通過奇異點劃分區(qū)域快速判斷穩(wěn)定性區(qū)域的方法，之后使用1,3丙二醇厭氧發(fā)酵體系和苯乙烯聚合反應(yīng)說明這種判斷方法的有效性。3.2穩(wěn)定性的概念化工過程是非線性很強的過程，在反應(yīng)過程中伴隨著物質(zhì)的消耗和生成，同時有大量的能量釋放和消耗。描述化工過程的系統(tǒng)中常常包含物料平衡、動量平衡以及能量平衡，這些過程都具有非線性的特性。為了更好地描述系統(tǒng)的特性，通常情況下使用動態(tài)方程來描述系統(tǒng)中變量隨時間的變化關(guān)系，所謂動態(tài)方程即系統(tǒng)中的變量隨時間變化的微分方程組。通常情況下，系統(tǒng)中具有可以改變的操作變量，隨著操作條件的變化，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解會發(fā)生變化，穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性也會發(fā)生變化。這樣問題就抽象成為： 在含有參數(shù)的動態(tài)常微分方程組中，隨著參數(shù)的不斷變化，如何求解出系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)解并且判斷其穩(wěn)定性。首先給出穩(wěn)定性嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。對于微分方程F： DRn→Rn，如式(31)所示：

dxdt=F(x)x(0)=x0 (31

李雅普諾夫穩(wěn)定性的原始定義［10］如下： 對于給定的初值x0，令x(x0,t)為微分方程的解。若對任何ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)初值x1滿足|x1-x0|

|x(x1,t)-x(x0,t)|

則稱x(x0,t)是李雅普諾夫穩(wěn)定的。如果

limt→∞|x(x1,t)-x(x0,t)|=0(33

則稱x(x0,t)是漸近李雅普諾夫穩(wěn)定的。如果x(x0,t)是漸近李雅普諾夫穩(wěn)定的，而且x0可以取任何值，則稱x(x0,t)是全局漸近穩(wěn)定的。李雅普諾夫穩(wěn)定性主要研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點在受到擾動時的運動特性，主要涉及穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定。而本章研究在參數(shù)條件變化時化工過程穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性，這些參數(shù)可以是操作參數(shù)，也可以是設(shè)計參數(shù)。研究前者可以分析系統(tǒng)在運行過程中對于擾動的耐受程度，后者可以在設(shè)計階段就提高系統(tǒng)本身對于擾動的耐受程度。研究中將穩(wěn)定性分為兩類： 穩(wěn)定，不穩(wěn)定。帶參數(shù)的化工過程系統(tǒng)的動態(tài)方程可以描述為

dxdt=F(x,λ) (34

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解就是方程F(x,λ)=0的解，也就是說當(dāng)λ=λ，x=x時，如果方程F(x,λ)=0，那么x就是系統(tǒng)(34)在λ=λ時的穩(wěn)態(tài)解。穩(wěn)定性與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解有關(guān)，對于系統(tǒng)方程

dxdt=F(x,λ

x(0)=x Δx (35

已知x是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，Δx是小的擾動。此時，如果常微分方程的解x(t)滿足limt→∞x(t)=x的條件，那么x(t)是穩(wěn)定的解，相對應(yīng)的x是一個穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解，否則x就不是一個穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解。應(yīng)該指出，求解非線性方程組是一項比較困難的工作，通常不大可能求出解析解，因此常使用數(shù)值的方法進(jìn)行求解。而數(shù)值方法在求解過程中存在兩個問題： 一是迭代求解的過程有時不收斂，原因在于選取的初值不合適； 二是不能求出系統(tǒng)的所有解，這是由于非線性系統(tǒng)通常具有多個解，而在一般情況下迭代求解只能求出一個解。針對這個問題，上一章引入的同倫延拓法［6，11］可用來解決這個問題，該方法可以迅速求解動態(tài)非線性方程組的穩(wěn)態(tài)解并且判定其穩(wěn)定性。3.3穩(wěn)定性的判斷方法李雅普諾夫?qū)Ψ€(wěn)定性問題提出了兩種方法，及時種是級數(shù)展開法，第二種是通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來判斷穩(wěn)定性。雖然第二種方法由于不用求解穩(wěn)態(tài)解得到了更廣泛的應(yīng)用，但是對于非線性系統(tǒng)而言，不存在構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，而且對同一個問題可能構(gòu)造出許多不同的李雅普諾夫函數(shù)，也可能很難構(gòu)造出李雅普諾夫函數(shù)。因此，本書在判斷單個穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性時采用李雅普諾夫及時方法。3.3.1李雅普諾夫判斷方法由于李雅普諾夫及時方法在穩(wěn)態(tài)點將系統(tǒng)線性展開，所以首先介紹線性微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷方法。對于線性微分方程組

dxidt=ai1x1 ai2x2 … ainxn(i=1,2,…,n) (36

矩陣形式如下：

X =AX(37

其中X=［x1x2…xn］T為n維向量，A為(aij)n×n的矩陣，那么方程組的解為

X=b eΛt (38

其中b=［b1b2…bn］T為n維向量，Λ是矩陣A的特征值。由于可能出現(xiàn)特征值相同的情況，不同特征值的重數(shù)記為n1,n2，…，nm，這里指代數(shù)重數(shù)。下面介紹幾何重數(shù)，選取非奇異矩陣P，使得X=PY。對A做相似變換，問題轉(zhuǎn)化為Y =P-1APY=JY。由于J與A相似，因此，具有相同的特征值和重數(shù)。不妨設(shè)J為約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型，即

J=J10…00J2…000…Jm (39

其中非對角線上子矩陣的元素為0，對角線上共有m個非零子矩陣，每個子矩陣也是ni×ni(i=1,2,…,m)對角型分塊矩陣，即

Ji=Ji10…00Ji2…000…Jiα1(αi≤ni,i=1,2,…,m)(310

其中子矩陣

Jik=λi1000λi10001000λi(k=1,2,…,αi)(311

稱為對應(yīng)特征值的約當(dāng)塊，且滿足ni1 ni2 … niαi=ni。特征值λi共有αi個約當(dāng)塊，其中1≤αi≤ni，αi稱為幾何重數(shù)。特別地，如果αi=ni，那么特征值λi的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。對于線性系統(tǒng)X =AX： (1) 如果A的所有特征值具有負(fù)實部，即負(fù)實根或者負(fù)實部的復(fù)根，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 如果特征值中有一個根有正實部，即正實根或者正實部的復(fù)根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3) 如果沒有帶正實部的根，但是有實部為零的單根，即零根或一對純虛根，則系統(tǒng)的解是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定。(4) 如果沒有帶正實部的根，但是有多重零根或多重虛根，此時每個重根的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等，則系統(tǒng)為穩(wěn)定的； 如果至少有一個重根的幾何重數(shù)小于代數(shù)重數(shù)，那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫及時方法用于非線性的微分系統(tǒng)，通過坐標(biāo)變換，將穩(wěn)態(tài)點變換為零點，設(shè)微分方程為

dxidt=fi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,n)(312

其中，fi(x1,x2,…,xn)為xi(i=1,2,…,n)的非線性函數(shù)，將fi在穩(wěn)態(tài)點處線性展開，記為

fi(x1,x2,…,xn)=∑ni=1aijxj Xi(x1,x2,…,xn)(313

其中∑ni=1aijxj是一次近似項，Xi(x1,x2,…,xn)是高階項。李雅普諾夫及時方法的定理如下： (1) 如果一次近似項的所有特征值都具有負(fù)實部，那么原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)點是漸近穩(wěn)定度，與高階項無關(guān)。(2) 如果一次近似項的特征值至少有一個具有正實部，那么原非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，與高階項無關(guān)。(3) 如果一次近似項的有實部為零的特征值，而其余的特征值實部為負(fù)，那么原系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性取決于高階項，穩(wěn)態(tài)點有可能穩(wěn)定也有可能不穩(wěn)定。3.3.2用奇異點判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性相比于傳統(tǒng)的李雅普諾夫方法計算每一個點的穩(wěn)定性，本章使用一種基于奇異點分析的方法來判斷化工系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性，這種方法只判斷部分點的穩(wěn)定性就可以迅速判斷出系統(tǒng)的穩(wěn)定特性。如前所述，化工過程可以用動態(tài)方程(34)來表示，其中x是系統(tǒng)狀態(tài)變量，x∈Rn，λ是可變化的參數(shù)。假設(shè)Fx為方程F(x,λ)的雅可比矩陣，x0為方程F(x,λ)=0在λ0處的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，即方程F(x,λ0)=0的解。那么當(dāng)參數(shù)變化時，穩(wěn)態(tài)解求解及穩(wěn)定性判斷的算法描述如下。(1) 計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。求解不同λ值下的方程F(x,λ)=0的解x。(2) 計算系統(tǒng)雅可比矩陣的奇異值。對于每一個λ以及在該λ下的穩(wěn)態(tài)解x，將它們代入Fx得到一個矩陣，判斷矩陣Fx是否奇異，即矩陣是否滿秩。如果矩陣奇異，那么記錄下這個奇異點的數(shù)值λs和xs。在奇異點附近系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能發(fā)生變化，根據(jù)這個特性，通過判斷奇異點兩側(cè)的穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性就可以確定被奇異點劃分的區(qū)域的穩(wěn)定性。(3) 將奇異值作為分界點，判斷其兩側(cè)解的穩(wěn)定性。計算λs左右兩側(cè)的穩(wěn)定性，確定不同區(qū)域的穩(wěn)定性。(4) 根據(jù)檢驗點的測試結(jié)果，劃定穩(wěn)定區(qū)域不同的穩(wěn)定特性。重復(fù)以上過程計算出所有的奇異點并且判斷出奇異點兩側(cè)的穩(wěn)定性。詳細(xì)的算法框圖如圖33所示。

圖33用奇異點判斷穩(wěn)定性算法框圖

對于復(fù)雜的問題，使用同倫延拓法求解系統(tǒng)存在的穩(wěn)態(tài)解。對于復(fù)雜的系統(tǒng)嘗試使用該算法來解決問題。3.4案例一發(fā)酵反應(yīng)過程3.4.1發(fā)酵反應(yīng)過程的數(shù)學(xué)模型

微生物發(fā)酵生產(chǎn)1，3丙二醇模型［12，13］如下，這是一個簡化的模型，實際生產(chǎn)過程需要考慮更多的因素。這里僅僅使用該模型說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判斷方法。

dXdt=X(μ-D

dCsdt=D(Cs0-Cs)-Xqs

dCpdt=Xqp-DCp(314

其中，

μ=μmaxCsCs Ks1-CsCs1-CpCp

qs=ms μYms ΔqmsCsCs Ks

qp=mp Ympμ ΔqmpCsCs Kp(315

主要變量的含義： X為菌濃度，Cs為底物濃度，Cp為產(chǎn)物濃度，D為稀釋速率。為方便計算起見，無因次化結(jié)果如下：

dxdτ=x(u-d

dydτ=d(y0-y)-x1β1 γ1u yy α1

dzdτ=x2β2 γ2u yy α2-zd

u=yy α3(1-y)(1-z)(316

其中主要符號的含義： x為無因次菌濃度，y為無因次底物濃度，z為無因次產(chǎn)物濃度，d為無因次稀釋速度，y0為無因次進(jìn)料底物濃度。3.4.2穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性判斷首先計算稀釋速度d=0.2時，無因次產(chǎn)物濃度z隨無因次進(jìn)料的底物濃度y0的變化關(guān)系，如圖34所示，這里求出了該系統(tǒng)所有穩(wěn)態(tài)解隨參數(shù)變化的情況，在穩(wěn)態(tài)解曲線上存在兩個奇異點，它們是極限點(limit point)，用LP表示。

圖34d=0.2時產(chǎn)物濃度隨進(jìn)料底物濃度的變化關(guān)系圖

以下判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析可知，該發(fā)酵反應(yīng)體系中，穩(wěn)態(tài)解的雅可比矩陣為3階矩陣，有3個特征值?？紤]到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性與特征值的實部相關(guān)，我們繪制特征值實部隨進(jìn)料底物濃度的變化關(guān)系圖，如圖35、圖36所示，主要關(guān)注特征值實部在底物進(jìn)料濃度逐漸改變過程時的正負(fù)變化情況。

圖35及時個特征值實部的變化曲線

圖36第二個和第三個特征值實部的變化曲線

由圖35和圖36(a)可見，及時個和第二個特征值的實部在所有變化區(qū)域內(nèi)均小于零，根據(jù)李雅譜諾夫及時方法判斷可知，這兩個特征值不對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生決定性的影響。由圖36(b)可見，第三個特征值的實部在經(jīng)過兩個LP點時符號發(fā)生變化，當(dāng)?shù)谌齻€特征值的實部小于零時，系統(tǒng)的三個特征值的實部都小于零，此時，對應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解是穩(wěn)定的。隨著操作參數(shù)變化，穩(wěn)態(tài)點對應(yīng)的雅可比矩陣的特征值也逐漸變化，當(dāng)?shù)谌齻€特征值的實部大于零時，系統(tǒng)的三個特征值中有一個大于零，對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)點為不穩(wěn)定。由上述內(nèi)容可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)點隨操作參數(shù)的變化而變化，當(dāng)參數(shù)經(jīng)過奇異點后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)點的穩(wěn)定性發(fā)生變化。奇異點將穩(wěn)態(tài)解曲線劃分為三段，這三段具有不同的穩(wěn)定性。在這個例子中，三個特征值的奇異點是相關(guān)的，即特征值曲線都有兩個奇異點，而且這兩個奇異點對應(yīng)的橫坐標(biāo)(操作變量)的數(shù)值