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第3章化工過程多穩態點的穩定性分析

3.1引言化工過程的穩定性在安全生產中發揮著重要作用，許多重大事故都是由于系統運行不穩定，人為操作失誤，引發事故或者使得事故進一步惡化，進而造成財產損失和人員傷亡。有文獻統計［1］表明，每10000起難于維持穩定的事故中，大約500起會造成財產的損失，有接近100起造成輕微的人身傷害，其中可能有1起事故會造成人員的嚴重傷害或死亡，如圖31所示。由此可見，化工系統的穩定性在化工安全生產中占有重要位置，為減少重大事故的發生概率，一個有效的方法是提高系統的穩定性。

圖31化工過程中各類事故的比例示意圖

穩定性的概念出現在力學研究中，用于描述一個剛體運動的平衡狀態。如果一個平衡狀態是穩定的，那么這個剛體在受到干擾從原來位置微微移動后，最終仍能回到它原來的位置。反之，如果這個平衡狀態不穩定，那么當這個剛體受到干擾的時候，它會趨于一個新位置，遠離最初的平衡態，如圖32所示。

圖32力學中的穩定性示意圖

在實際應用中，常常使用微分方程來描述系統的變化規律。在建立微分方程的過程中，我們只能考慮影響該過程的主要因素，忽略一些次要因素，而這些因素可以認為是干擾因素。干擾因素是不可避免的，可以瞬時起作用，也可以持續起作用。從數學上來看，瞬時干擾引起初值的變化，而持續干擾則會引起微分方程本身的變化。在某些系統中，系統初始條件或者微分方程的微小變化都會引起穩態解的巨大變化，因此，對于新設計的系統進行穩定性分析可以及時發現問題，避免設計方案實施后系統運行的不穩定。運動系統穩定性的概念是力學中平衡穩定性的擴展。李雅普諾夫定義下的運動穩定性理論主要研究微小干擾性因素對于系統運動的影響。微小的干擾因素普遍存在，不可避免，而且不確定。對于一些系統，微小的干擾因素的影響并不顯著，因此，受干擾的運動與不受干擾的運動差別很小，這類運動系統稱為穩定的； 對于另外一些運動，無論干擾多么小，隨著時間的推移，受干擾的運動與不受干擾的運動總是相差巨大，這類運動系統稱為不穩定的。由于干擾不可避免，所以運動穩定性的問題有著重要的理論和實際意義，在自然科學與工程技術領域受到了普遍關注。眾所周知，化工過程是強非線性［2，3］過程，而非線性的系統通常存在多個穩態解［4~9］，這些穩態解的穩定性一般并不相同。在實際生產中，化工系統的操作條件受到人為操作、不確定因素的影響而不斷變化，人們通常關心系統在某個操作條件不斷變化時表現出來的特性，例如對于一個反應器，逐漸調整進料的流量，觀察系統達到穩態時的特征。在現有的研究中，通過計算不同參數下系統的穩態解，然后判斷每個穩態解的穩定特性，進而確定系統穩態解是否穩定。這種逐點判斷穩定性的方法耗時巨大，本章將介紹通過奇異點劃分區域快速判斷穩定性區域的方法。本章首先介紹穩定性的概念和常用的判別方法，在此基礎上提出通過奇異點劃分區域快速判斷穩定性區域的方法，之后使用1,3丙二醇厭氧發酵體系和苯乙烯聚合反應說明這種判斷方法的有效性。3.2穩定性的概念化工過程是非線性很強的過程，在反應過程中伴隨著物質的消耗和生成，同時有大量的能量釋放和消耗。描述化工過程的系統中常常包含物料平衡、動量平衡以及能量平衡，這些過程都具有非線性的特性。為了更好地描述系統的特性，通常情況下使用動態方程來描述系統中變量隨時間的變化關系，所謂動態方程即系統中的變量隨時間變化的微分方程組。通常情況下，系統中具有可以改變的操作變量，隨著操作條件的變化，系統的穩態解會發生變化，穩態解的穩定性也會發生變化。這樣問題就抽象成為： 在含有參數的動態常微分方程組中，隨著參數的不斷變化，如何求解出系統中的穩態解并且判斷其穩定性。首先給出穩定性嚴格的數學定義。對于微分方程F： DRn→Rn，如式(31)所示：

dxdt=F(x)x(0)=x0 (31

李雅普諾夫穩定性的原始定義［10］如下： 對于給定的初值x0，令x(x0,t)為微分方程的解。若對任何ε>0，存在δ>0，使得當初值x1滿足|x1-x0|

|x(x1,t)-x(x0,t)|

則稱x(x0,t)是李雅普諾夫穩定的。如果

limt→∞|x(x1,t)-x(x0,t)|=0(33

則稱x(x0,t)是漸近李雅普諾夫穩定的。如果x(x0,t)是漸近李雅普諾夫穩定的，而且x0可以取任何值，則稱x(x0,t)是全局漸近穩定的。李雅普諾夫穩定性主要研究系統穩態點在受到擾動時的運動特性，主要涉及穩定、漸近穩定、大范圍漸近穩定和不穩定。而本章研究在參數條件變化時化工過程穩態點的穩定性，這些參數可以是操作參數，也可以是設計參數。研究前者可以分析系統在運行過程中對于擾動的耐受程度，后者可以在設計階段就提高系統本身對于擾動的耐受程度。研究中將穩定性分為兩類： 穩定，不穩定。帶參數的化工過程系統的動態方程可以描述為

dxdt=F(x,λ) (34

系統的穩態解就是方程F(x,λ)=0的解，也就是說當λ=λ，x=x時，如果方程F(x,λ)=0，那么x就是系統(34)在λ=λ時的穩態解。穩定性與系統的穩態解有關，對于系統方程

dxdt=F(x,λ

x(0)=x Δx (35

已知x是系統的穩態解，Δx是小的擾動。此時，如果常微分方程的解x(t)滿足limt→∞x(t)=x的條件，那么x(t)是穩定的解，相對應的x是一個穩定的穩態解，否則x就不是一個穩定的穩態解。應該指出，求解非線性方程組是一項比較困難的工作，通常不大可能求出解析解，因此常使用數值的方法進行求解。而數值方法在求解過程中存在兩個問題： 一是迭代求解的過程有時不收斂，原因在于選取的初值不合適； 二是不能求出系統的所有解，這是由于非線性系統通常具有多個解，而在一般情況下迭代求解只能求出一個解。針對這個問題，上一章引入的同倫延拓法［6，11］可用來解決這個問題，該方法可以迅速求解動態非線性方程組的穩態解并且判定其穩定性。3.3穩定性的判斷方法李雅普諾夫對穩定性問題提出了兩種方法，及時種是級數展開法，第二種是通過構造李雅普諾夫函數來判斷穩定性。雖然第二種方法由于不用求解穩態解得到了更廣泛的應用，但是對于非線性系統而言，不存在構造李雅普諾夫函數的通用方法，而且對同一個問題可能構造出許多不同的李雅普諾夫函數，也可能很難構造出李雅普諾夫函數。因此，本書在判斷單個穩態點的穩定性時采用李雅普諾夫及時方法。3.3.1李雅普諾夫判斷方法由于李雅普諾夫及時方法在穩態點將系統線性展開，所以首先介紹線性微分系統的穩定性判斷方法。對于線性微分方程組

dxidt=ai1x1 ai2x2 … ainxn(i=1,2,…,n) (36

矩陣形式如下：

X =AX(37

其中X=［x1x2…xn］T為n維向量，A為(aij)n×n的矩陣，那么方程組的解為

X=b eΛt (38

其中b=［b1b2…bn］T為n維向量，Λ是矩陣A的特征值。由于可能出現特征值相同的情況，不同特征值的重數記為n1,n2，…，nm，這里指代數重數。下面介紹幾何重數，選取非奇異矩陣P，使得X=PY。對A做相似變換，問題轉化為Y =P-1APY=JY。由于J與A相似，因此，具有相同的特征值和重數。不妨設J為約當(Jordan)標準型，即

J=J10…00J2…000…Jm (39

其中非對角線上子矩陣的元素為0，對角線上共有m個非零子矩陣，每個子矩陣也是ni×ni(i=1,2,…,m)對角型分塊矩陣，即

Ji=Ji10…00Ji2…000…Jiα1(αi≤ni,i=1,2,…,m)(310

其中子矩陣

Jik=λi1000λi10001000λi(k=1,2,…,αi)(311

稱為對應特征值的約當塊，且滿足ni1 ni2 … niαi=ni。特征值λi共有αi個約當塊，其中1≤αi≤ni，αi稱為幾何重數。特別地，如果αi=ni，那么特征值λi的代數重數等于幾何重數。對于線性系統X =AX： (1) 如果A的所有特征值具有負實部，即負實根或者負實部的復根，則系統是穩定的。(2) 如果特征值中有一個根有正實部，即正實根或者正實部的復根，則系統不穩定。(3) 如果沒有帶正實部的根，但是有實部為零的單根，即零根或一對純虛根，則系統的解是穩定的，但不是漸近穩定。(4) 如果沒有帶正實部的根，但是有多重零根或多重虛根，此時每個重根的代數重數與幾何重數相等，則系統為穩定的； 如果至少有一個重根的幾何重數小于代數重數，那么系統是不穩定的。李雅普諾夫及時方法用于非線性的微分系統，通過坐標變換，將穩態點變換為零點，設微分方程為

dxidt=fi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,n)(312

其中，fi(x1,x2,…,xn)為xi(i=1,2,…,n)的非線性函數，將fi在穩態點處線性展開，記為

fi(x1,x2,…,xn)=∑ni=1aijxj Xi(x1,x2,…,xn)(313

其中∑ni=1aijxj是一次近似項，Xi(x1,x2,…,xn)是高階項。李雅普諾夫及時方法的定理如下： (1) 如果一次近似項的所有特征值都具有負實部，那么原非線性系統的穩態點是漸近穩定度，與高階項無關。(2) 如果一次近似項的特征值至少有一個具有正實部，那么原非線性系統是不穩定的，與高階項無關。(3) 如果一次近似項的有實部為零的特征值，而其余的特征值實部為負，那么原系統在穩態點的穩定性取決于高階項，穩態點有可能穩定也有可能不穩定。3.3.2用奇異點判斷系統的穩定性相比于傳統的李雅普諾夫方法計算每一個點的穩定性，本章使用一種基于奇異點分析的方法來判斷化工系統穩態點的穩定性，這種方法只判斷部分點的穩定性就可以迅速判斷出系統的穩定特性。如前所述，化工過程可以用動態方程(34)來表示，其中x是系統狀態變量，x∈Rn，λ是可變化的參數。假設Fx為方程F(x,λ)的雅可比矩陣，x0為方程F(x,λ)=0在λ0處的系統的穩態解，即方程F(x,λ0)=0的解。那么當參數變化時，穩態解求解及穩定性判斷的算法描述如下。(1) 計算系統的穩態解。求解不同λ值下的方程F(x,λ)=0的解x。(2) 計算系統雅可比矩陣的奇異值。對于每一個λ以及在該λ下的穩態解x，將它們代入Fx得到一個矩陣，判斷矩陣Fx是否奇異，即矩陣是否滿秩。如果矩陣奇異，那么記錄下這個奇異點的數值λs和xs。在奇異點附近系統的穩定性可能發生變化，根據這個特性，通過判斷奇異點兩側的穩態解的穩定性就可以確定被奇異點劃分的區域的穩定性。(3) 將奇異值作為分界點，判斷其兩側解的穩定性。計算λs左右兩側的穩定性，確定不同區域的穩定性。(4) 根據檢驗點的測試結果，劃定穩定區域不同的穩定特性。重復以上過程計算出所有的奇異點并且判斷出奇異點兩側的穩定性。詳細的算法框圖如圖33所示。

圖33用奇異點判斷穩定性算法框圖

對于復雜的問題，使用同倫延拓法求解系統存在的穩態解。對于復雜的系統嘗試使用該算法來解決問題。3.4案例一發酵反應過程3.4.1發酵反應過程的數學模型

微生物發酵生產1，3丙二醇模型［12，13］如下，這是一個簡化的模型，實際生產過程需要考慮更多的因素。這里僅僅使用該模型說明系統的穩定性及其判斷方法。

dXdt=X(μ-D

dCsdt=D(Cs0-Cs)-Xqs

dCpdt=Xqp-DCp(314

其中，

μ=μmaxCsCs Ks1-CsCs1-CpCp

qs=ms μYms ΔqmsCsCs Ks

qp=mp Ympμ ΔqmpCsCs Kp(315

主要變量的含義： X為菌濃度，Cs為底物濃度，Cp為產物濃度，D為稀釋速率。為方便計算起見，無因次化結果如下：

dxdτ=x(u-d

dydτ=d(y0-y)-x1β1 γ1u yy α1

dzdτ=x2β2 γ2u yy α2-zd

u=yy α3(1-y)(1-z)(316

其中主要符號的含義： x為無因次菌濃度，y為無因次底物濃度，z為無因次產物濃度，d為無因次稀釋速度，y0為無因次進料底物濃度。3.4.2穩態點的穩定性判斷首先計算稀釋速度d=0.2時，無因次產物濃度z隨無因次進料的底物濃度y0的變化關系，如圖34所示，這里求出了該系統所有穩態解隨參數變化的情況，在穩態解曲線上存在兩個奇異點，它們是極限點(limit point)，用LP表示。

圖34d=0.2時產物濃度隨進料底物濃度的變化關系圖

以下判斷系統的穩定性。分析可知，該發酵反應體系中，穩態解的雅可比矩陣為3階矩陣，有3個特征值。考慮到系統穩態點的穩定性與特征值的實部相關，我們繪制特征值實部隨進料底物濃度的變化關系圖，如圖35、圖36所示，主要關注特征值實部在底物進料濃度逐漸改變過程時的正負變化情況。

圖35及時個特征值實部的變化曲線

圖36第二個和第三個特征值實部的變化曲線

由圖35和圖36(a)可見，及時個和第二個特征值的實部在所有變化區域內均小于零，根據李雅譜諾夫及時方法判斷可知，這兩個特征值不對系統的穩定性產生決定性的影響。由圖36(b)可見，第三個特征值的實部在經過兩個LP點時符號發生變化，當第三個特征值的實部小于零時，系統的三個特征值的實部都小于零，此時，對應系統的穩態解是穩定的。隨著操作參數變化，穩態點對應的雅可比矩陣的特征值也逐漸變化，當第三個特征值的實部大于零時，系統的三個特征值中有一個大于零，對應的穩態點為不穩定。由上述內容可知，系統的穩態點隨操作參數的變化而變化，當參數經過奇異點后系統的穩態點的穩定性發生變化。奇異點將穩態解曲線劃分為三段，這三段具有不同的穩定性。在這個例子中，三個特征值的奇異點是相關的，即特征值曲線都有兩個奇異點，而且這兩個奇異點對應的橫坐標(操作變量)的數值