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第2章 平面體系的機動分析

學習本章的基本要求：

掌握平面幾何不變體系的基本組成規律，了解自由度的概念，能熟練運用這些規律正確地分析一般平面體系的幾何組成，正確判斷超靜定結構的多余聯系及數目。

2.1 概 述

體系受到任意荷載作用后，材料產生應變，因而體系發生變形，但是這種變形一般很小。如果不考慮這種微小的變形，而體系能維持其幾何形狀和位置不變，則這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖2-1(a)所示的體系就是一個幾何不變體系，因為在所示荷載作用下，只要不發生破壞，它的形狀和位置是不會改變的。在任意荷載作用下，不考慮材料的應變，體系的形狀和位置可以改變，則稱這樣的體系為幾何可變體系。圖2-1(b)所示的體系，在所示荷載P的作用下，即使P的值非常小，它也不能維持平衡，這是由于體系缺少必要的桿件或桿件布置不合理而導致的。一般工程結構都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系，否則將不能承受任意荷載而維持平衡。因此，在設計結構和選取計算簡圖時，首先必須判別它是否幾何不變，從而決定能否采用，這一工作就稱為體系的機動分析或幾何組成分析。此外，以后會看到，機動分析還將有助于結構的內力分析。

圖2-1 體系幾何性質

對體系進行機動分析的目的就是確定該體系是否幾何不變，從而決定它能否作為結構。確定體系是否為幾何不變體系，需要研究幾何不變體系的組成規律，以保障所設計的結構能承受荷載而維持平衡。通過體系的幾何組成，可以確定結構是靜定的還是超靜定的，以便在結構計算中選擇相應的計算方法。

為了分析平面體系的幾何組成，首先介紹幾個基本概念。

1) 剛片。

一個在平面內可以看作剛體的物體，它的幾何形狀和尺寸都是不變的。因此，在平面體系中，當不考慮材料的應變時，就可以把一根梁、一根鏈桿或者體系中已經確定為幾何不變的某一部分看作一個剛片，結構的基礎也可以看作剛片。

2) 自由度。

圖2-2所示為平面內一點A的運動情況。一點在平面內可以沿水平方向(x軸方向)移動，又可以沿豎直方向(y軸方向)移動。當給定x、y坐標值后，A點的位置確定。換句話說，平面內一點有兩種獨立運動方式(兩個坐標x、y可以獨立地改變)，即確定平面內一點的位置需要兩個獨立的幾何參數(x、y坐標值)，因此我們說一點在平面內有兩個自由度。

圖2-3所示為平面內一個剛片的運動，其位置需要三個獨立的幾何參數確定，即剛片內任意點A的坐標x、y及通過A點的任一直線的傾角?。改變這三個獨立的幾何參數，使其變為新值x'、y'和?'，則剛片就有確定的新位置(見圖2-3)，因此一個剛片在平面內的運動有三個自由度。前面已提到，地基也可以看作-個剛片，但這種剛片是不動剛片，它的自由度為零。

圖2-2 平面內一點的自由度示意圖

圖2-3 平面內一剛片的自由度示意圖

綜上所述，可以說，某個體系的自由度，就是該體系運動時可以獨立變化的幾何參數的數目，或者說，就是用來確定該體系的位置所需獨立坐標的數目。一般來說，如果一個體系有n個獨立的運動方式，我們就說這個體系有n個自由度。凡是自由度大于零的體系都是幾何可變體系。

3) 約束。

使得體系減少自由度的聯結裝置稱約束或聯系。在剛片間加入某些聯結裝置，它們的自由度將減少，減少一個自由度的裝置就稱為一個約束，減少n個自由度的裝置就稱為n個約束。

2.1.1 不同聯結裝置對體系的約束作用

1.鏈桿的作用

圖2-4(a)表示用一根鏈桿BC聯結的兩個剛片Ⅰ和Ⅱ。未聯結以前，這兩個剛片在平面內共有六個自由度。用鏈桿BC聯結以后，對剛片Ⅰ而言，其位置需用剛片上A點的坐標x、y和AB連線的傾角?來確定，因此它有三個自由度。但是對剛片Ⅱ而言，由于與剛片Ⅰ已用鏈桿BC聯結，它只能沿著B為圓心、BC為半徑的圓弧運動和繞C點轉動，再用兩個獨立參數? 和? 即可確定它的位置，所以減少了一個自由度。因此，兩個剛片用一根鏈桿聯結后的自由度總數為五個(6-1=5)。由此可見，一根鏈桿使體系減少了一個自由度，也就是說，一根鏈桿相當于一個聯系或一個約束。

2.單鉸的作用

圖2-4(b)表示用一個鉸B聯結的兩個剛片Ⅰ和Ⅱ。在未聯結以前，兩個剛片在平面內共有六個自由度。在用鉸B聯結以后，剛片Ⅰ仍有三個自由度，而剛片Ⅱ則只能繞鉸B作相對轉動，即再用一個獨立參數(夾角?)就可確定它的位置，所以減少了兩個自由度。因此，兩個剛片用一個鉸聯結后的自由度總數為四個(6-2=4)，我們把聯結兩個剛片的鉸稱為單鉸。由此可見，一個單鉸相當于兩個聯系，或兩個約束，也相當于兩根鏈桿的作用；反之，兩根鏈桿也相當于一個單鉸的作用。

我們將地基看作是不動的，這樣，如果在體系上加一個可動鉸支座，就使體系減少一個自由度；加一個固定鉸支座，就使體系減少兩個自由度；加一個固定支座，就使體系減少三個自由度。

3.復鉸的作用

圖2-4(c)表示用一個鉸C聯結的三個剛片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。在未聯結以前，三個剛片在平面內共有九個自由度。在用鉸C聯結以后，剛片Ⅰ仍有三個自由度，而剛片Ⅱ和剛片Ⅲ則都只能繞鉸C作相對轉動，即再用兩個獨立參數(夾角?、? )就可確定它們的位置，因此減少了四個自由度。我們把聯結兩個以上剛片的鉸稱為復鉸。由上述可見，一個聯結三個剛片的復鉸相當于兩個單鉸的作用。一般情況下，如果n個剛片用一個復鉸聯結，則這個復鉸相當于n－1個單鉸的作用。

4.剛性聯結的作用

圖2-4(d)所示為兩根桿件AB和BC在B點連接成一個整體，其中的結點B為剛結點。原來的兩根桿件在平面內共有六個自由度，剛性連接成整體，形成一個剛片，只有三個自由度，所以一個剛性聯結相當于三個約束。

顯然，可動鉸支座即鏈桿支承只能阻止剛片沿鏈桿方向的運動，使剛片減少了一個自由度，相當于一個約束；鉸支座阻止剛片上下、左右的移動，使剛片減少兩個自由度，相當于兩個約束；固定支座阻止剛片上下、左右的移動，也阻止其轉動，所以相當于三個約束。

圖2-4 鏈桿、單鉸、復鉸、剛性聯結相當的約束數目示意圖

5.虛鉸的作用

由于兩根鏈桿也相當于一個單鉸的作用，則圖2-5所示剛片Ⅰ在平面內有三個自由度；如果用兩根不平行的鏈桿AB和BC把它與基礎相聯結，則此體系仍有一個自由度。我們來分析剛片Ⅰ的運動特點。由鏈桿AB的約束作用，A點的微小位移應與鏈桿AB垂直，C點的微小位移要與鏈桿CD垂直。以O點表示兩鏈桿軸線延長線的交點，顯然，剛片Ⅰ可以發生以O點為中心的微小轉動，且隨時間不同，O點的位置不同，因此稱O點為瞬時轉動中心。這時剛片Ⅰ的瞬時運動情況與剛片Ⅰ在O點用鉸與基礎相聯結時的運動情況相同。因此，從瞬時微小運動來看，兩根鏈桿所起的約束作用相當于在鏈桿交點處的一個鉸所起的約束作用。這個鉸我們稱為虛鉸。顯然，體系在運動過程中，與兩根鏈桿相應的虛鉸位置也跟著改變。

2.1.2 體系自由度的計算公式

我們已經研究了不同約束對體系自由度的影響，下面給出平面剛片系統計算體系自由度的公式：

(2-1

式中，m表示體系中的剛片數(地基不計入)；n為聯結剛片的單鉸數；c為聯結剛片的鏈桿數；c0為體系與地基聯結的支座鏈桿數，且將三類支座均用相應的鏈桿約束代替，即可動鉸支座的c0=1，固定鉸支座的c0=2，定向支座的c0=2，固定支座的c0=3。顯然，幾何不變體系的自由度必然是等于零或小于零，即由式(2-1)計算出的W≤0。

圖2-6(a)所示為一簡支梁，其剛片數m=1，單鉸數n=0，鏈桿數c=0，支座鏈桿數c0=3，則自由度W=0。而圖2-6(b)所示的體系剛片數m=9，單鉸數n=12，鏈桿數c=0，支座鏈桿數c0=3，則自由度W=3×9-2×12-0-3=0。然而，這一體系是一幾何可變體系(證明見2.2節)，這說明體系的自由度等于或小于零，體系不一定為幾何不變體系。因而我們說，由式(2-1)計算出體系的自由度等于或小于零只是判斷體系為幾何不變體系的必要條件，并不充分。當體系的約束或剛片布置不合理時，體系的自由度等于或小于零，體系仍然是幾何可變體系。

圖2-6 體系自由度計算

由于式(2-1)計算體系自由度不能保障體系的幾何不變性，通常采用對體系直接進行幾何組成分析的方法判斷體系是否幾何不變，省略體系的自由度計算。

2.2 幾何不變體系的基本組成規則

為了分析體系的幾何組成，我們必須知道體系不變的條件，即幾何不變體系的組成規則。本節將研究構成平面幾何不變體系的幾個基本規則，用以判斷體系的幾何組成情況。

2.2.1 兩剛片之間的聯結

圖2-7(a)表示用兩根不平行的鏈桿相聯結的剛片Ⅰ和剛片Ⅱ。設剛片Ⅱ固定不動，則剛片Ⅰ的運動方式只能是繞AB與CD桿延長線的交點即相對轉動瞬心而轉動。當剛片Ⅰ運動時，其上的A點將沿與鏈桿AB垂直的方向運動，而C點將沿與鏈桿CD垂直的方向運動。因為這種轉動只是瞬時的，在不同瞬時，O點在平面內的位置將不同。由于兩根鏈桿的作用相當于一個鉸的作用，此時這個鉸的位置是在鏈桿的延長線上，而且它的位置隨鏈桿的轉動而改變，即虛鉸。

欲使剛片Ⅰ和剛片Ⅱ不能發生相對轉動，需增加一根鏈桿，如圖2-7(b)所示。這樣，剛片Ⅰ繞O點轉動時，E點將沿與OE連線垂直的方向運動。但是從鏈桿EF來看，E點的運動方向必須與鏈桿EF垂直。由于鏈桿EF延長線不通過O點，所以E點的這種運動不可能發生，也就是鏈桿EF阻止了剛片Ⅰ和剛片Ⅱ的相對轉動。因此，這樣組成的體系是幾何不變體系。

圖2-7 兩剛片組成規則

如果在剛片Ⅰ和剛片Ⅱ之間再增加一根鏈桿，如圖2-7(c)所示，顯然體系仍是幾何不變的，但從保障幾何不變性來看它是多余的。這種可以去掉而不影響體系幾何不變性的約束稱為多余約束。

由以上分析可得以下規則。

規則一：兩個剛片用不交于一點也不互相平行的三根鏈桿相聯結，則所組成的體系是幾何不變的，并且沒有多余約束。

如果兩根鏈桿AB和CD相交成為實鉸，如圖2-7(d)所示，顯然，它也是一個幾何不變體系，故規則一也可以表述為：兩個剛片用一個鉸和軸線不通過這個鉸的一根鏈桿相聯結，則所組成的體系也是幾何不變體系。

2.2.2 三剛片相互聯結

將三個剛片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ用不在同一直線上的三個鉸兩兩相聯，即得三角形ABC，如圖2-8(a)所示。從幾何上看，它的幾何形狀是不會改變的。從運動上看，如將剛片Ⅰ固定不動，則剛片Ⅱ只能繞A點轉動，其上的C點必在半徑為AC的圓弧上運動；而剛片Ⅲ則只能繞B點轉動，其上的C點又必在半徑為BC的圓弧上運動。由于AB和BC是在C點用鉸聯結在一起的，C點不可能同時在兩個不同的圓弧上運動，因此剛片之間不可能發生相對運動，所以這樣組成的體系是幾何不變的。

圖2-8 三剛片組成規則

因為兩根鏈桿的作用相當于一個單鉸的作用，則將圖2-8(a)中的任一單鉸換為兩根鏈桿所構成的虛鉸，如圖2-8(b)中的a、c，此時，三剛片用三個鉸(兩個虛鉸和一個實鉸)聯結，且三個鉸不在一條直線上，這樣組成的體系同樣為幾何不變的，而且無多余約束。

由以上分析可得出以下規則。

規則二：三個剛片用不在同一條直線上的三個鉸兩兩鉸聯，組成的體系是幾何不變的，并且沒有多余約束。

2.2.3 二元體的概念

圖2-9所示體系中Ⅰ為一剛片，從剛片上的A、B兩點出發，用不共線的兩根鏈桿1、鏈桿2在結點C相連。將鏈桿1、鏈桿2均視為剛片，則由規則二可知，該體系是幾何不變的。由于實際結構的幾何組成中這種聯結方式應用很多，為了便于分析，我們將這樣聯結的兩根連桿稱為二元體。二元體的特征是兩鏈桿用鉸相連，而另一端分別用鉸與剛片或體系相聯。根據二元體的組成特征可得出以下規則。

規則三：在一個剛片上增加一個二元體，仍為幾何不變體系。

由規則三不難得出以下推論：在一個體系上依次加入二元體，不會改變原體系的計算自由度，也不影響原體系的幾何不變性和可變性。反之，若在已知體系上依次排除二元體，也不會改變原體系的計算自由度、幾何不變性或可變性。

例如分析圖2-10所示桁架時，由規則二可知，任選一鉸結三角形都是幾何不變體系，并以此為新的剛片，采用增加二元體的方式分析。例如取新剛片AHC，增加一個二元體得結點Ⅰ，從而得到幾何不變體系AHIC，再以其為基礎，增加一個二元體得結點D，...，如此依次增添二元體而組成該桁架，故知它是一個幾何不變體系，且無多余約束。

此外，也可以反過來，用拆除二元體的方法來分析。因為從一個體系拆除一個二元體后，所剩下的部分若是幾何不變的，則原來的體系必定也是幾何不變的。現從結點B開始拆除一個二元體，然后依次拆除結點L，G，K，...，剩下鉸結三角形AHC，它是幾何不變的，故知原體系亦為幾何不變的。

圖2-9 二元體的概念

圖2-10 桁架

當然，若去掉二元體后所剩下的部分是幾何可變的，則原體系必定也是幾何可變的。

綜上所述，可以將規則三進一步闡述為：在一個體系上增加或拆除二元體，不會改變原有體系的幾何組成性質。