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摘要: 簡介了混沌理論的基本思想及其基本特性，即混沌（chaos）是在確定性非線性系統中的內在隨機行為，可表現出相空間的奇怪吸引子、對初始狀態的敏感依賴性、系統的運動性質與參數密切相關等特性。認為混沌理論可解釋復雜的生命活動如腦電活動、心臟節律變化、生理系統以及疾病過程的多樣性和復雜性;并可利用混沌控制讓生命過程向符合人類意愿的方向發展。指出中醫的證、中藥方劑的配伍和作用以及在辨證的基礎上論治都可以用混沌理論得到恰當解釋，故運用混沌控制手段使機體向理想狀態轉化，達到陰陽平衡，有望成為中醫藥現代化研究的一個新領域。

關鍵詞: 混沌理論; 中醫現代化

“混沌”在傳統意義上，是指混亂、雜亂無章的狀態。但現代混沌學所研究的混沌（chaos），是指在確定性非線性系統中，不需附加任何隨機因素出現的類似隨機的行為（內在隨機性），是一種極為普遍的復雜現象。在物質世界中，混沌現象無處不有。混沌科學是隨著現代科學技術的迅速發展而出現的新興交叉學科，首先起源于氣象學。1963年，美國氣象學家洛倫茲（Lorenz E N）在數值實驗中首先發現在確定性系統中有時會表現出隨機行為 ［1］ ，從此揭開了混沌研究的序幕。天氣變化就是一種混沌現象，“天有不測風云”，就是指氣候系統對初始條件非常敏感，初始條件的極微小差別會導致巨大的天氣變化這一混沌運動的基本性質。1975年李天巖（Li T Y）和約克（Yorke J A）給出了混沌的一種數學定義 ［2］ ，即Li-Yorke定義，該定義描述了混沌初始條件的微小差別導致后來的巨大變化。混沌現象的發現使人們逐漸認識到客觀事物的運動除了穩定、正常、周期運動外，還存在著一種具有更為普遍意義的形式，即無序的混沌。在確定論和概率論這兩套體系的描述之間存在著由此及彼的橋梁。

1 混沌運動的基本特性

混沌是指服從確定性規律但具有隨機性的運動，其基本特性表現如下 ［3］ :（1）相空間吸引子的奇怪特性。描述系統運動的方程在平面上都有投影的軌跡，如果這些軌跡被限制在相平面的有限區域內，這樣的有限區域被稱為運動系統的吸引子。非線性方程的軌跡都有吸引子，簡單的吸引子是不動點（穩定定態）和閉曲線（周期運動），而混沌運動的吸引子是奇怪的吸引子，其軌跡不僅有折疊和交叉，而且在某些部位十分密集并形成帶，帶與帶之間有空隙。如果采樣點極大，把相空間放大，可以發現帶內還有被不同層次的小的空隙隔開的帶，其結構與形狀與原來的帶和空隙相似。因此，混沌運動的奇怪吸引子具有無窮層次的自相似結構，即分形。一個系統當被確定為混沌系統時，就可以對其建立數學模型，定量描述系統的運動規律。

（2）對初始的敏感依賴性。如果系統中存在混沌，則初始條件不同，即使是極小的差別，經過一段時間的運動后，就會出現相差甚遠或完全不同的結果。利用混沌系統對初始條件的敏感性，對混沌系統進行微小擾動，可以控制混沌系統使之趨向期望狀態。

2 混沌理論在醫學中的應用價值

2.1 混沌理論可揭示生命活動的多樣性和復雜性 生命活動存在著多樣性和復雜性。生物體不是各種生物分子功能的簡單疊加，不同的生物分子與組織之間有著復雜的網絡關系，生物的許多系統都是復雜的非線性系統，而混沌作為非線性理論中的一個組成部分及其特點，自然而然地被應用到了生物領域，成為研究生物復雜系統規律的新方法和新手段。目前的研究結果說明，許多生物系統中都有混沌現象存在。

腦電的混沌活動特性與大腦的功能狀態密切相關。正常狀態下腦電混沌活動的關聯維數、李雅普諾夫指數、復雜度等混沌指標較高，處于不穩定狀態。這種不穩定性使神經系統對外界環境有很強的適應能力。在神經網絡中，其適應性與神經網絡活動的復雜度、自由度和混沌程度成正相關 ［4］ 。而腦器質病變、精神心理疾病可使腦電混沌活動發生改變，在腦功能受損的病理狀態下，混沌指標會降低 ［5］ 。心臟節律變化除有周期性外還具有非線性變化的特點，各種生理因素所致的心率總變化不是各因素作用的簡單疊加，故用混沌分析技術可以分析心率非線性變化的特點。Osaka等 ［6］ 發現抑制交感神經活動可以增加關聯維數，而抑制副交感神經系統活性可以降低關聯維數，從而提出用心率變異的關聯維數作為人類自主神經功能的新指標。關聯維數也可以反映心率穩定狀態，高維暗示系統的復雜結構，提示正常的心率自主控制。用Holter系統研究曾患過室顫的患者、正常人及無室顫的室性心動過速患者的研究表明，心率的低混沌維預示著室顫的危險 ［7］ 。

混沌分析可以解釋生理系統的復雜性。一般認為，疾病和衰老都是由于人體的正常周期節律被擾亂。可是對心臟竇性節律的研究發現，正常人即使在靜息狀態下，R-R間隔仍表現出很大程度的變化，呈現出混沌狀態，這種混沌主要是由自主神經系統控制的。疾病狀態時R-R間隔趨于整齊即復雜性減小了。同樣，隨著年齡的增加，這種復雜性亦同樣減小。Kaplan等 ［8］ 用混沌分析方法觀察了健康老人的心率和血壓的復雜性，發現其復雜性相對于年輕人減小，因此與一般直覺相反，當心臟處于年青和健康時期時，心率和血壓表現出不規則性和不可預見性，而日益增強的規則行為往往伴隨著衰老和疾病，預示著系統復雜性的減小。

混沌分析方法還可應用于研究疾病的流行過程。王琰等 ［9］ 利用混沌動力學相空間重構技術對百日咳逐月發病數進行分析，結果發現百日咳流行是混沌的，經過計劃免疫后混沌程度下降，趨向平穩狀態。

2.2 混沌理論可用于調整生命活動的過程 長期以來，人們認為混沌是不可控制的。1989年，美 國馬里蘭大學的物理學家Ott、Grebogi和Yorde3人首先從理論上提出了控制混沌的方法，稱為OGY方法 ［10］ 。它的主要思想是，混沌系統的奇怪吸引子中分布著許多不穩定的不動點，按照需要挑選出其中一個點來進行穩定控制。為了實現對這個選定不動點的穩定控制，要選擇被控制系統的一個易調節的參數，在系統靠近選定的不動點時，對該參數進行微小的擾動，使系統向該點移動，從而使混沌系統進入所期望的運動。OGY方法的有效性在許多領域被驗證，并在理論上和應用上取得了新的進展。例如用OGY控制混沌方法成功地實現了對兔子心律不齊的控制 ［11］ 。以后，各種混沌控制方法都相繼報導，混沌控制已成為近年來一個帶有挑戰性的研究執點，一些混沌控制方法已在生物醫學工程領域得到了應用。

混沌系統對初始條件的微小干擾有較大的敏感性，例如著名的“蝴蝶效應”就是典型例子:大氣混沌系統初始條件的微小的干擾在迭代過程中被加倍放大，即在巴西蝴蝶扇動翅膀可引起美國上空氣流巨大變化（風暴）。混沌控制（controlling chaos）的基本原理是利用混沌系統對初始條件的敏感性來有效地控制系統，在特定的微小擾動下引導混沌系統進入穩定的有序狀態或者所期望的混沌狀態 ［12］ 。這是近年來一個帶有挑戰性的研究熱點。近年來的研究從各個方面論證了許多生物系統的混沌特性，能否運用混沌控制使生物系統趨向所期望的狀態成為當今生物醫學研究的難點和熱點。由此，人們自然會提出，能否運用混沌控制來解決醫學中的疑難問題?例如對心律不齊的控制，以及對癲癇發作時神經元的異常放電的控制等。這些前沿課題的研究，給醫學研究帶來了全新的方法。

利用混沌系統初始擾動的敏感性，可以在心臟系統偏離正常狀態的初期，只用微小的擾動即可控制心臟的混沌狀態，使偏離正常狀態的心臟系統及時地從有害的無節奏狀態回復到正常狀態。這給予心臟起搏器的研究一個全新的啟示 ［13］ ，是治療心律失常的前沿科學研究之一。混沌控制也被嘗試運用到抑制癲癇發作。Schiff等 ［14］ 用OGY控制方法對神經元不規則放電進行控制。他們監視癲癇病灶的不規則放電，在出現系統的初始條件微小偏離時，及時選定和辯識系統的不穩定不動點，按目標的每一點預測其下一步位置，加入刺激（擾動），從而控制系統，及時使系統接近和達到預先確定的狀態，達到治療癲癇的目的。

3 混沌理論與中醫現代化

在傳統的中醫藥領域，混沌分析方法也被進行過有益的嘗試。楊國平等 ［15］ 用混沌分析理論來研究穴位與臟腑的相關性。他們將40例膽石癥患者和25例正常人的耳廓膽穴、胃穴的穴位電關聯維數進行比較，結果表明膽石癥患者耳廓膽穴關聯維數較正常組顯著增高，而兩組耳廓胃穴關聯維數則無顯著性差異，提示穴位電關聯維數變化和相應臟腑的機能狀態密切相關。 混沌理論為現代科技提供了全新的思維方式和科學方法論，同樣地，也會對中醫現代化帶來有益的啟示。例如中醫的病因病機學理論:各種病因作用于機體，通過各種病機（也就是動力學過程）引起病變，出現各種證候，根據中醫理論可辨證。病因可引起病變，這是確定性過程，但不同的患者可出現不同的證候表現，進而有不同的證，這是隨機的。疾病的發病過程可被認為是混沌動力學過程。在中醫領域，我們自然也會聯想到中醫病因病機和辨證系統的混沌運動，以及在辨證基礎上的論治，即怎樣運用混沌控制的手段使機體向理想狀態轉化，達到陰陽平衡，這也許是中醫現代化研究的一個新領域。

人體有很多穴位，形成了經絡系統，可以用多種方法證實這是一個混沌系統。利用混沌系統對初始擾動的敏感性，刺激某些穴位，實行混沌調控，使系統向著期待的方向變化，調節臟腑功能，達到治療疾病的目的。還有中藥方劑往往由多味中藥組成，每味中藥的成份又非常復雜，它們之間構成了非常復雜的協同關系，顯然屬于非線性關系。中藥方劑的內部關系是確定性系統內隨機運動，屬于混沌的范疇。疾病的動力學過程是混沌的，中藥方劑的作用也是混沌的，這就是用混沌來控制混沌（controlling chaos by chaos）的方法。該方法的基本思想是一個混沌系統的動態特性可以通過耦合另一個混沌系統來控制 ［16］ 。設兩個混沌系統分別為A和B，可以表達為:

A（被控制的混沌系數）:x=F（x） （1）B（控制的混沌系數）:y=g（y） （2）兩個系統通過參數λ和μ進行線性耦合，即對A和B的負反饋控制分別為:

F 1 （t）=λ［x（t）-y（t）］ （3）

F 2 （t）=μ［y（t）-x（t）］ （4）

λ>0和μ>0是擾動的權重。該方法的特點是 用修正系統的行為對系統進行控制。因此可以設想 利用混沌控制的原理來探討中藥的藥理作用。我們可以設想建立中藥方劑的藥物動力學和藥效學數學模型，研究其混沌運動的性質，改變方劑的組成和劑量，觀察其參數的改變，與疾病病機數學模型參數進行耦合，以尋找最佳的組方。

混沌控制方法還可以與其他的一些新興學科結合在一起。我們都知道，根據中醫理論，各種病因作用于人體，產生了一系列的病理變化，形成了疾病。這一過程關系錯綜復雜，形成了非常復雜的網絡關系。如何闡明其復雜關系，我們可以考慮運用Petri網理論 ［17］ 。Petri網是由德國的Carl Adam Petri博士提出的研究信息系統及其相互關系的數學模型，它以研究系統的組織結構和動態行為為目標，著眼于系統中可能發生的各種變化以及變化之間的關系，在控制科學和計算機科學上得到廣泛的應用。我們可以從網的狀態節點和變遷節點著手，探討疾病內部復雜的依賴、并發和沖突關系，以及中藥方劑作為外部事件對其控制等。這些復雜行為都可以和混沌聯系在一起。

混沌控制的目標還應該和最優化方法結合在一起。最優化問題可以概括為這樣的數學模型，即給定一個集合（可行集，即可能的調控目標）和該集合上定義的目標函數（達到目標所能采取的手段），計算函數在集合上的極值，根據約束條件選擇最佳的方案，達到最佳的目標。

混沌和混沌控制的研究，給生物醫學中一些疑難病癥的預防和治療帶來了一個全新的思路，同樣地也給中醫現代化研究開辟了新的途徑。但是，如何成功有效地應用混沌理論于中醫現代化，需要進行高水平、開拓性的研究，尚有許多問題待探討。

參考文獻

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一、無功優化模型的數學描述

電力系統無功優化問題是一個多變量、非線性、多約束的組合規劃問題，其控制變量既有連續變量(節點電壓)，又有離散變量(有載變壓器分接頭、補償電容器/電抗器投切組)，連續變量和離散變量之間又不相互獨立，使得優化過程十分復雜。選擇發電機節點電壓幅值、無功補償源節點的注入無功及變壓器的可調變壓器分接頭作為控制變量，同時考慮各種約束條件，建立無功優化數學模型。目標函數:F=minPL+i=1!λiTi"#(1)式中:PL為系統網損;i=1!λiTi為懲罰項;λi為懲罰因子。約束條件包括等式約束和不等式約束。等式約束:Pi=Vij∈i!Vj(Gijcosθij+Bijsinθij)Qi=Vij∈i!Vj(Gijsinθij-Bijcosθij%’’&’’()(2)不等式約束:U≤U≤UX≤X≤X%’&’((3)式(2，3)中:Pi和Qi分別為節點有功和無功功率;U=[VGi，QCi，KTi]為控制變量，U和U表示其上下限;X=[VLi，SLi，QGi]為狀態變量，X和X表示其上下限;VGi為發電機端電壓;VLi為節點電壓;KTi為有載變壓器分接頭檔位;QCi為補償電容器投切容量;QGi為發電機無功出力;SLi為支路通過功率。

二、主動禁忌混合混沌算法(RTSCOA)

2.1RTSCOA的原理文獻中F.Glover提出了禁忌搜索算法，利用歷史紀錄來指導下一步搜索方向，當到達局部最優解時將搜索方向指向導致目標函數退化最小的方向上，由此避開局部最優解。同時，通過將已執行過的移動設置為臨時禁止來避免搜索重復的空間。傳統禁忌搜索算法需要通過設置或者調整搜索參數來進行有效的搜索。主動禁忌算法是主動搜索算法中的一種,它通過反饋機制調節禁忌表長度，自動平衡集中強化搜索策略和分散多樣化搜索策略。在算法進行搜索的過程中，所有被訪問過的解都被儲存起來，當執行一步移動時都要檢查當前解是否已經訪問過。如果一個解重復出現，禁忌表長度增大，變為原來的NI倍，NI為長度增加調節系數(NI≥1)；反之，如果經相當長的時間后沒有重復的解出現，禁忌表長度減小為NO，NO為長度減小調節系數(1>NO>0)。當某一個解的重復出現次數達到一定數量時，則通過在當前解的基礎上移動幾步來跳出，執行移動的步長在一定范圍內隨機產生。同時，為防止很快跳回已經搜索過的區域，所有隨機操作均被禁止，這一機制可以使搜索有效地跳出局部極小點。2.2RTSCOA的步驟(1)初始化。k=0，選取n個隨機混沌值y(k)i，并存儲在禁忌表中。(2)利用載波x(k)i=xi+y(k)i(xi-xi)將n個混沌隨機變量映射到控制變量域內X。(3)計算f(X)，找到最小的f(X*)，并且設f(X)current=minf(X*)以及對應的X*，fbest=f(X)current。(4)如果變量為連續變量，利用xi=xi+εv對下次混沌映射初值進行更新。其中,ε取很小的數(ε=0.0001)；v為(-1，1)之間的隨機數。如果為離散變量，則在附近增加或減少一個步長，判斷xi是否在禁忌表中。若在，則重選;若不在，則放到禁忌表中。(5)增加迭代數y(k)i=4y(k-1)i[1-y(k-1)i]，x(k)i=xi+y(k)i(xi-xi)。(6)計算禁忌表中變量的f(X)，比較fbest和f(X)current。如果fbest≤f(X)current，則fbest=f(X)current，否則不替換。(7)k=k+1，判斷總次數以及fbest是否多次不變，否則返回(3)。(8)輸出結果。

三、無功優化的混合混沌算法實現

利用RTSCOA求解電力系統無功優化問題時,由于混沌算法的遍歷性經過一定的求解過程可以將變量帶到最優解附近，此時并不要求獲得精確解,利用主動禁忌算法的“記憶”功能將變量在最優解附近增加一微小量，并將搜到的解存儲在禁忌表中。在搜索過程中，算法將搜索到的當前解不斷地存儲到禁忌表中，同時不斷地釋放已經到期禁忌表的解,求解的過程中需注意以下問題。(1)無功優化模型的確定無功優化模型的數學表達式如下:F=min"PL+λ1Ni=1#(Vi-VilimVimax-Vimin)2+λ2Mj=1$(QGi-QGlimQGimax-QGimin)2+λ3Lk=1$(SLi-SLilimSLimax-SLimin)2%(6)當Vi≥Vimax時，Vilim=Vimax；當Vi≤Vimin時，Vilim=Vimin，否則Vilim=Vi，發電機無功和支路功率作類似處理。λ1、λ2和λ3為懲罰因子，懲罰項包括電壓越限、發電機無功和支路功率等懲罰項。(2)優化變量的選擇對于以有功網損最小為目標函數、考慮功率平衡約束和變量約束的無功優化問題，解向量包括控制變量U=[VGi，QCi，KTi]和狀態變量X=[Vi，SLi，QGi],以控制變量為優化變量;對于發電機機端電壓等連續變量直接利用“載波”映射將混沌變量變換到控制變量的限值區間;對于并聯補償電容器組和變壓器變比等離散變量進行就近歸整處理，增加或者減少一個步長來和禁忌表中的變量進行比較。(3)禁忌表當前最優解鄰域的移動根據變壓器分接頭及可投切電容器的動作特點，在次優解附近每次對一個變量執行加一操作，若超過變量定義范圍，則該變量操作保持原值不變;對于發電機端電壓等連續變量應增加一個微小量，選擇鄰域中不在禁忌表中的最優解作為找到的解，如果鄰域中的解都被禁忌，則執行操作，選擇目前為止最好的解作為當前解。

四、仿真分析

本文利用IEEE30節點的仿真結果來驗證本算法的有效性，利用Matlab6.5編程在P41.7GPC機上仿真運行。IEEE30系統中有41條支路、6個發電機節點和22個負荷節點，6個發電機節點為1、2、5、8、11、13;可調變壓器支路為L6～9、L6～10、L4～12、L27～28;并聯電容器節點為3、10、24，如圖1所示。系統總的負荷Pload=2.834，Qload=1.262。假設發電機機端電壓和變壓器的變比均為1.0，通過潮流計算得到∑PG=2.893859，∑QG=0.980199，Ploss=0.059879。越限節點電壓分別為:V26=0.932，V29=0.940，V30=0.928(數據均為標幺值)；存在一個無功發電功率越限。通過仿真得到數據與其他無功優化算法進行比較。

五、結論

混合混沌優化算法充分利用混沌算法和禁忌算法的各自的特點，在混沌搜索過程中利用禁忌算法禁忌表記憶能力將初解保存于禁忌表中。利用禁忌搜索算法將存放于禁忌表中的解增加一個微小量,進行比較存放于禁忌表，同時利用反饋機制對禁忌表長度進行控制。混合混沌優化算法在全局和局部都可以進行搜索，因而算法不會陷入局部最優解，并且具有較高的搜索效率，仿真結果顯示混合混沌優化算法在電力系統無功電壓控制應用的有效性。

參考文獻:

篇3

正如英國人的整齊、有秩序一般，這屆奧運會首次規定開幕式上各代表團穿統　的服裝，在本國國旗引導下列隊入場，為以后各屆開創了先河。盡管走世界之先進入資本主義國家，倡導人民民主，但是這個曾經的大不列顛帝國還不忘保留自己的特有的君主制，君王在這個國家的影響力不可忽視，甚至還帶到了奧林匹克運動場上：各隊的旗手在通過英國國王愛德華七世觀禮臺前時，必須將旗幟下垂，以示致敬。

在這屆奧運會上，倫敦建立的許多制度一直沿用至今。除了籌委會編印所有競賽規程、規則以及安排的細節、宣傳海報之外，對參賽選手的資格、尤其是業余身份，也有嚴格規定。計量長度的單位也改成公制。而奧運會的獎牌也是從這屆開始規范化，其標準樣式是1907年5月在國際奧委會全會上制定的，直徑為60毫米，正面使用國際奧委會制定的統一圖案，反面由主辦國設計。倫敦奧運會結束后，第一次印發了各國得獎統計表，最終，英國選手奪得145枚獎牌，其中金牌56枚，超出第2名美國隊信多。這無疑對以后各國進行這方面統計或計算正式的得分產生了積極影響。總而括之，這屆奧運會反前幾屆給世人留下的不良印象，以倫敦人特有的條理以及規范的組織而引起了世人的關關注。

篇4

混沌振動時因為非線性隔振系統響應中出現的響應諧波比非混沌狀態下更多，主諧波頻率處的能量分散到各個諧波處的能量也更多，也即混沌隔振對特征線譜的隔離效果要優于一般的線性隔振系統。要使得混沌隔振技術應用于實際的機械設備，必須同時具備三個條件：被隔振設備振動幅值較小、較好的整體隔振能力以及線譜隔離能力。但研究也發現，同時滿足三個條件的難度較大，往往所設計的系統只具備良好的整體隔振和線譜隔離能力，卻使振動幅值過大。因此，如何對混沌隔振系統進行改進，以滿足工程應用是當前混沌隔振課題的重要研究方向。

本論文對非線性Duffing振動系統進行分析，通過參數變換，得到一個改進的混沌振動系統，新的系統不僅能基本保持原系統的隔振效果，而且振子的振幅也能得到有效的控制。研究結果表明，在工程應用中，只需要通過對被隔振設備附加質量塊和重新設計隔振器參數就能改進原混沌隔振系統，這種方法易于工程實現，對混沌隔振的工程應用具有一定的指導意義。

1 單自由度混沌振子幅值控制理論研究及仿真分析

單自由度Duffing方程可以用下式表示：

（1）

是振子質量，是阻尼，和是Duffing系統的彈性力系數。假定此時系統已經處于混沌狀態，而且有較好的整體隔振效果和線譜隔離能力，只是振動幅值較大，難以應用。此時可以假設一個新的系統，新系統的振子幅值是，大小為原系統的N分之一：。將含的表達式代入原方程得到：

（2）

對原Doffing系統進行改進：通過附加質量塊，使得新系統振子的質量為原來的M倍，將阻尼和彈性力系數分別設為，和，新系統的振動方程為：

（3）

此時振子的振幅為，如果方程（2）（3）中的參數滿足這樣的條件：，，，，則兩個方程等價，新系統振子振幅，為原系統的N分之一。

從上述的推導過程來看，只需要將原系統的質量增加N倍，重新設計隔振器，參數相應的變為原系統的和倍，就可以達到按比例控制振幅的目的。系統改進前后，基礎受力分別為和：

（4）

上式表示系統改進前后力的傳遞率沒有改變，系統仍然具有原系統的隔振效果而幅值卻降為原來的N分之一。

對單自由度Duffing系統進行幅值控制的數值仿真，設原系統為：

（5）

系統參數為：，，，，。如果要將幅值降為原來的一半，即，則新系統為：

（6）

系統參數為：，，，，用四階龍格庫塔方法仿真，仿真步長為0.01 s，仿真時間為1000 s，取最后50 s系統改進前后的幅值作時間歷程曲線。

圖1 混沌系統改進前后位移時間歷程曲線

由于系統是混沌狀態的，前后仿真會出現數值誤差，所以在時間歷程圖上兩個系統并非完全按比例同步，但這并不重要，因為在混沌隔振系統中，最重要的是最大振幅，如果最大振幅過大，會造成機器對限位器的沖擊，對裝備造成損害。整個仿真過程，原系統的最大振幅為29.49，改進后系統最大振幅為14.74，最大振幅約降為原來的二分之一。根據以上的結論可知，對單自由度混沌隔振系統進行改進，可以按比例有效的控制振子的最大振幅，而保持原系統的力傳遞率。

一般情況下，彈性力系數比較好調整，但阻尼系數一般不可能過大，以下仿真考慮系統改進前后，阻尼特性不變的情況下，振子幅值的改變。假設改進前后阻尼系數，其他參數不變，仿真系統時間歷程曲線以及最大振幅。（圖2）

最后50s時間歷程曲線如圖所示，在阻尼不改變的情況下，整個仿真過程中，改進后的系統最大幅值位15.01，比按比例改進阻尼的系統略高，這是因為阻尼有抑制振幅的作用。仿真結果表示：如果不能按比例提高阻尼，對系統減幅的影響也不大。

2 兩自由度振子幅值控制仿真

在實際環境中，基礎均為柔性結構，對于柔性基礎，一般情況下可將其建模成為一個由線性彈簧、阻尼和質量塊組成的單自由度模型。對兩自由度振動系統建模，方程如下：

（7）

其中，，為基礎阻抗的參數，位移為。由上式可見，由于兩自由度系統出現了耦合現象，故利用參數變換的方法對振動幅值進行推導很難實現。在此利用數值模擬的方法，直接采用單自由度系統改進的方法對兩自由度模型進行改進，并對仿真的數據進行分析。

改進后的兩自由度振動方程為：

（8）

對原系統附加M-1倍的質量塊，并對原隔振器重新設計，其中基礎阻抗是由具體結構所決定的，一般不能改變。考慮不同的基礎阻抗下，該方法對幅值的減小量以及對基礎加速度功率譜密度的影響。

基礎阻抗相對振動質量不大時，設原系統參數為：，，，，，，基礎阻抗參數為原系統的5倍：，，。試圖將幅值控制為原系統的1/2：和1/5：。仍然采用龍格庫塔法，仿真步長為0.01 s，仿真時間為2000 s。（圖3圖4）

圖3 基礎阻抗較小時原系統位移時間歷程曲線

對圖3、圖4進行分析，由于系統進入混沌狀態有一個暫態的過程，略去開始的500 s，對500 s至2000 s的振子幅值進行數值分析：原混沌系統振子的最大位移為24.0，N=5的新系統最大位移為7.83，原計劃縮減為原系統的20%，仿真結果約為32.6%。可見，由于基礎阻抗較小，兩自由度產生強烈的耦合現象，使得單自由度幅值控制理論有一定的誤差，但是振子的最大位移量仍舊能得到較大的改善。如果要將混沌隔振器實際應用起來，必須在限制機器振動幅值的同時，使得基礎的加速度功率譜密度成為一個連續譜，這樣的混沌隔振器才有工程應用價值。因此，系統改進后，不僅要求振幅減小到預定要求，基礎的加速度功率譜密度也不能有大的變化。

基礎阻抗相對振動質量比較大時，設原系統參數為：，，，，，，基礎阻抗參數為原系統的20倍：，，。試圖將幅值控制為原系統的1/2：和1/5：。仍然采用龍格庫塔法，仿真步長為0.01 s，仿真時間為2000 s：

圖5 基礎阻抗較大時原系統位移時間歷程曲線

圖6 基礎阻抗較大時N=5新系統位移時間歷程曲線

對圖5、圖6進行分析，略去開始的500 s的暫態過程，對500 s至2000 s的振子幅值進行數值分析：原混沌系統振子的最大位移為30.41，N=5的新系統最大位移為6.76，原計劃縮減為原系統的20%，仿真結果約為22.2%。可見，由于基礎阻抗較大，兩自由度之間的耦合不是那么強烈，使得單自由度幅值控制理論有較好的預測作用，振子的最大位移量得到較高精度的縮減。

基礎阻抗相對振動質量很大時，設原系統參數為：，，，，，，基礎阻抗參數為原系統的100倍：，，。試圖將幅值控制為原系統的1/2：和1/5：。仍然采用龍格庫塔法，仿真步長為0.01 s，仿真時間為2000 s。（圖7圖8）

對圖7、圖8進行分析，振子幅值進行數值分析結果為：原混沌系統振子的最大位移為28.79，N=5的新系統最大位移為5.79，原計劃縮減為原系統的20%，仿真結果約為20.1%。可見，由于基礎阻抗很大，兩自由度之間的耦合基本可以忽略，使得單自由度幅值控制理論有很好的預測作用，振子的最大位移量得到很高精度的縮減。

3 混沌隔振方案設計

本論文對混沌隔振系統進行改進的前提是：原混沌隔振系統已經具備良好的整體隔振能力和線譜隔離能力，只是振動幅度過大。應用該方法對混沌隔振系統重新改進，可以獲得同時滿足隔振要求并使得振子產生小振幅的新系統，由此可以提出一套比較完整的混沌隔振方案：

1）首先針對某一具體的設備，設計出一套具有良好整體隔振和線譜隔離能力的非線性隔振器。

2）對該混沌隔振系統進行數值仿真，檢查被隔振設備的最大振幅是否超過了極限值。

3）如果小于極限值，可以認為該混沌隔振器設計滿足要求。

4）如果超過極限值，可以根據本論文所提出的方案進行改進。

5）改進后的系統不一定會再次呈現混沌狀態，而無法隔離線譜，此時只能調整幅值縮減量N的值，直到最后達到混沌隔振的要求。

振幅縮減的比例應該根據實際情況來確定，一般只要使得最大振幅低于極限值即可，否則按照本論文所提方案，必須附加質量塊來增加機械設備的質量，而實際情況不可能允許無限增加設備的質量。

4 結論

本文通過對單自由度混沌隔振系統的理論分析，得到了在保持隔振效果的同時，能有效縮減振動幅值的方法。將該方法用于兩自由度系統，并通過數值仿真得到以下結果：基礎阻抗較小的情況下，振幅的實際減小幅度和理論值有一定的偏差，但是基礎加速度功率譜密度進一步得到了降低；隨著基礎阻抗的增加，幅值縮減的精度越來越高，而改進后基礎的加速度功率譜密度始終沒有明顯的改變。說明該方法在有效的減小混沌隔振系統幅值的同時，有效的保留了原系統良好的隔振效果。仿真結果也表示，基礎阻抗滿足一定的較大值時，振動幅值就能得到按比例較精確的減小，而不要求基礎阻抗極大。在第四節，基于本論文所提方法，提出了一套較完整的混沌隔振方案，對混沌隔振的實際應用有一定的指導意義。本方法也有兩個不足之處：

1）該方案要求通過增加被隔振設備的質量來達到小幅振動，對于大型的船用機械設備而言，實際環境限制了該方法的應用；

2）由于兩自由度分析困難，其改進方案是直接從單自由度照搬過來，有些情況下，改進后的兩自由度系統混沌特性消失，而不能有效的隔離線譜，所以進一步對兩自由度系統進行深入研究仍然具有重要意義。

參考文獻

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篇5

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篇6

【 Keywords 】 discrete system； time-varying discrete spatiotemporal system； chaos； stream cipher

1 引言

近幾十年中，離散系統的類隨機性是科學研究的一個熱點問題，它在保密通信和隨機模擬等理論中有著較重要應用前景。當前，離散系統的混沌性是類隨機性研究中較為活躍的一個方向。從現有的文獻可以看出，盡管時不變離散系統的混沌研究成果眾多，但時變離散系統的混沌研究成果卻相對較少，有許多問題都值得進一步探討。特別地，時變離散時空系統的混沌性值得進一步研究。

最近，文獻[6]研究了一維時變離散時空系統的混沌性。

上述簡單加密算法的加密效果的Matlab仿真計算的效果如圖2所示。

由仿真可知，利用系統（17）構造的流密碼系統的加密效果良好。

參考文獻

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基金項目：

本文得到國家自然科學基金（No.61070252）的資助。

作者簡介：

田傳俊（1964-），男，漢族，湖北荊州人，深圳大學，教授；主要研究和關注領域：偽隨機性理論及其在信息安全中的應用。

篇7

分岔理論作為一種重要的數學方法，是分析非線性系統的有力工具。到目前為止，分岔研究取得了有目共睹的成果，并在許多領域得到了廣泛的應用。Hopf分岔是動力系統的一類重要的動態分岔. 本文研究下列Langford系統的Hopf分岔：

（1）

（1）式中的μ為系統的實變參數，該系統具有很強的非線性動力學行為，豐富的分岔現象。

2 Hopf 分岔

以下列系統模型為例：

（2）

式中 ――狀態向量

――分岔參數向量

Hopf 分岔是指方程（2）的雅克比矩陣的特征值中有一對復特征值，隨著分岔參數的變化，它們的實部由負變為正，且當μ=μ0時，滿足下列條件：

在非雙曲平衡點附近發生的分岔，其對應的失穩形式是周期性的振蕩發散失穩。

3 Hopf分岔分析

若用Φ（x，μ）來表示f（x，μ）和g（x，μ），平衡點方程為：

Φ（x，μ）=（f（x，μ），g（x，μ））=0

那么滿足下列方程組的平衡點是方程（2）的Hopf分岔點：

（4）

方程（4）的第一式是平衡點方程，第二式表明在分岔點有一對共軛純虛特征值。

可得到對于任意μ，有平衡點（0，0，0）和（0，0，μ）。

在平衡點（0，0，μ）處，Jacobian矩陣為：

對應的特征值為λ1=-μ，λ2，3=μ-1±i。

根據直接求周期解法和后繼函數判別法可得到：當0

4 Matlab仿真

系統的分岔圖和Lyapunov指數圖：

5 結論

結論表明Langford系統確實具有豐富的動力學特征，在系統進入混沌之前，會先后經歷倍周期分岔、Hopf分岔、鞍結點分岔及其他分岔，致使系統最后進入混沌狀態.

參考文獻：

篇8

（3）消費者消費需求變化加快和購買行為呈高維的非線性。這使得企業采用的營銷組合策略所產生的效果并不是能準確預測的。消費者群體是個典型的非線性系統。這種非線性表現在生理、心理、物質、精神、關系等方面。這些方面常常會表現出隨機性與分散，比如無理性的沖動購買。但大部分程度上，人們的購買行為更表現出混沌性，這可以從無論什么檔次與質量的產品都有其購買者看出。

（4）速度日益成為企業發展的關鍵要素。產品生命周期縮短，新技術層出不窮，技術創新呈現連續中斷(continuousdiscontinuity)而導致產品市場可能很快出現和消失，競爭規則發生變化，大規模定制等不確定性變化的特點。能否準確的、迅速的進行復雜問題的判斷考驗了一個企業的反應能力，而知識管理便是在全局角度提供復雜決策的一個體系。同樣用來提高企業的反應速度，標準作業流程帶給企業的是更強的競爭條件，在企業的戰術層面，這是行之有效的信息系統工具，而知識管理能讓企業聰明地贏得戰略的勝利。

（5）營銷環境復雜程度大大加深，可測度大為下降。現代企業的營銷環境變得日趨復雜，其中各個因素不但在持續變化，而且它們之間的相互作用也在不斷變化著，形成了一個混沌復雜的系統。企業與政府、員工、顧客、供應方、競爭者、公眾等利益相關者之間以及上述各因素之間都在進行著復雜的互動作用。在技術進步速度加快的情況下，試圖從上述復雜過程中識別出對企業成敗的關鍵因素是比較困難的。不但營銷環境會影響企業行為，企業也能夠改變產業結構及競爭格局，在這個混沌系統中，原因與結果之間的關系是非線性的。

（6）技術對企業營銷環境的影響越來越強。科學技術對經濟社會發展的作用日益顯著，當今世界，企業營銷環境的變化與科學技術的發展有非常大的關系，特別是在網絡經濟時代，兩者之間的聯系更為密切。在信息等高新技術產業中，教育水平的差異是影響需求和用戶規模的重要因素，已被提到企業戰略制定的議事日程上來。

企業實際所處的營銷環境往往是模糊而難以分辨的，這需要企業決策層有正確而統一的判斷。同時，隨著時間的變化，企業環境可能處于不斷變化之

2基于混沌系統的企業復雜營銷環境的對策

（1）企業的營銷活動并不是純隨機的行動,它是在企業吸引——營銷戰略目標的吸引下,在科技進步、市場競爭、顧客需求等多種因素的驅動下發生的一種行為。它雖然受營銷戰略目標的吸引,但卻不可能精確地實現企業的戰略目標,而總是在企業戰略目標的吸引域內活動，是有邊界而又不可重復的行為過程。

（2）企業應制定長期的營銷戰略計劃。企業系統內、外部存在著許多隨機的、不確定的因素,使得系統內部和系統之間、人與人之間、系統與環境之間的相互作用非常復雜,對企業系統輸入初值的微小差別，將導致輸出的巨大差別，因此預測的結果常常是不確定的。基于“因果失聯”的思想，企業作長期計劃不應過分注重預測結果的精確程度，而應注重對未來可能出現的各種情境的分析，減少營銷戰略的剛性和被動適應性、縮短戰略規劃長度，增加戰略的柔性、增強戰略的靈活性和敏捷性，以應對不斷變化的環境。

（3）企業應提高系統的自組織協同能力。自然系統在遠離平衡態而進入混沌后能夠產生新的有序行為，它們產生過程的方法同樣可“移植”到企業系統的混沌管理。企業系統混沌發生的內因是企業系統內部各子系統(或要素)之間及內部子系統(或要素)和外部要素之間的非線性相互作用機制，外因則是其周圍的環境條件。按照“混沌運動背后隱藏著確定秩序”的觀點，企業系統可以通過誘導隨機性“漲落”即混沌的產生,為企業產生有序結構提供新的契機；另一方面由于混沌系統能夠迅速地在許多不同的行為方式之間進行轉換，在企業系統內部可用一個混沌子系統來擾動其它子系統,以使它們產生協同現象,就顯得特別靈活。如可以通過企業業務流程重組等方法，使企業系統中的各個子系統為了適應奇異、不確定事件的發生,形成一種有序的結構和狀態，即“通過漲落達到有序”。

（4）企業要建立柔性化的組織結構。在傳統的企業管理系統中，在組織形式上呈現為“金字塔”式的層次型結構。為了在混沌的環境中生存與發展，管理者應將注意點轉移到“適應、調整、變革”上來。通過在企業內部各子系統(各部門)之間通過建立“網絡結構”的柔性組織形式，消除企業系統內部不同層次之間的邊界，使得企業系統內部各個部門之間的關系富有“彈性”,各不同層次都能等同地面對環境，相互并行地協同并適應環境變動中出現的各種情境,則能增加企業系統的開放度，提高企業系統適應系統環境變化的能力。

最后，需要指出的是并非營銷環境有關的所有對象都是混沌的，它是在特定的時空條件下才是混沌的。但是混沌理論能幫助我們更好地理解日益變化的營銷環境。，因為根據混沌理論，理性決策模式在較短的時間內是正確的、可預測的，但在長時間內則存在隨機性。正如美國的混沌學家福特所說的，面對混沌系統的預測應該是“用混沌預測混沌”。實踐證明，美國、日本一些大公司的高層主管在面對復雜的營銷環境決策時采用的混沌決策方式往往是非常有效的。

參考文獻

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［3］王三義．基于混沌理論的公司戰略研究［J］．商業研究，2005，（1）.

篇9

作為多媒體數據的內容認證與版權保護技術，數字水印得到了大量研究和應用。這種保密方案主要使用到電子產品版權的保護中，因此具有了魯棒性、不可感知性以及安全性等各種特征，這些特征也正是確保圖像傳輸安全性所需。因此，研究該技術必然具有現實意義。

二、混沌序列理論

2.1 混沌映射

經過函數映射，就能夠得到良好的一維非線性映射，該映射具有隨機統計特征。因其生產出來的混沌序列屬于某區域中的混沌序列，而且該序列為整數值，具有隨機性，對初值非常敏感。定義如下所示：

其中第一個式子表示不大于符號內值的最大整數，第二式子表示不小于符號內值的最小整數。而xk∈{1，2，...m}，參數為a∈{1，2，...m}。

2.2 生成混沌序列

上式混沌映射經過了n次迭代之后就形成了新的混沌映射，也就是本論文所要使用的映射，當然所得的混沌映射式同樣具備混沌特征，也就是具有xk+1= f na（ xk）；假如給定了初始值x0，其參數a，m獲得值與迭代次數n值就已經被確定了，自然也就生成了混沌序列是：{xk；k=0，1，2，3，...}，這個序列同樣具備了混沌特征，自然也就對初始的條件x0非常敏感。

三、計算圖像水印嵌入的強度因子

按照HVS（人眼視覺系統）的特征，嵌入的水印強度比某門限低時，人眼感知圖像的質量相同，就不能夠看見嵌入的水印，該門限值也就是臨界不可見門限。所以所選水印嵌入強度因子是不是適當是水印算法的關鍵之處。

要確定水印強度因子，就必須要滿足人類的視覺系統特征，同時要依據原來圖像內容合理的進行調整，水印嵌入的次數不能夠太多，如果太多必然會因多次水印相加的平均積累引入誤差。所以應用這個算法過程中，僅僅有兩次水印能夠自動滿足嵌入所需，一次就是將水印低頻嵌入到子圖Hn0中，另一次就是把水印嵌入三個細節子圖Hn1，Hn2及Hn3中數值較大的小波系數之中。

四、算法設計

從上面的具體分析來看，實施嵌入算法的步驟如下所示：

其一對水印反色進行預處理；設定水印選擇了256級的灰度圖像，如果水印的像素平均值超過了127，就要反色處理，確保水印的高平均像素具有不可見性。其二完成反色預處理后，就必須要對水印實施混沌映射處理，把完成置亂的各個像素按照掃描順序形成一維序列。其三把H（原始圖像）經過n級的小波變化，讓低頻子圖大小和水印大小二者非常相同，對原始圖像進行變換后形成最后一級的小波變換，就能夠獲得四個子圖，分別為Hn0、Hn1、Hn2、Hn3。其四水印嵌入；在水印的嵌入過程中，就要依據圖像的小波子圖分塊不同計算出嵌入強度因子。低頻子圖Hn0所得嵌入強度因子即為a1；可以通過計算所得。而嵌入水印氛圍了兩個步驟，首先要把水印的一維序列嵌入到低頻子圖的各分塊中，可得嵌入強度的因子是a1；之后依據水印序列值個數就能夠獲取三個細節所得各個子圖，并從子圖中獲取個數相同的大系數值，一般都是按照絕對值的大小取，并對該系數值水印嵌入。就能夠獲取嵌入的強子因素是a2.其五通過n級的小波反變換，就能夠獲得反應后圖像Hw。事實上，提取水印算法就是嵌入逆過程，而提取水印過程中就必須要合理利用原始圖像。

五、結束語

事實上，這種算法的速度遠遠超過了傳統加密算法，而且加密比較好，且不易破解。嵌入算法加密效果好、加密速度快，而且抗攻擊性強及初始值敏感等各種特征，具有較好的抗干擾性與魯棒性，因此具有實用價值。

參 考 文 獻

篇10

金融市場本質上是一個開放型的復雜系統，而金融危機是金融市場混沌特征的一種表現，其爆發根本原因在于以有效市場、隨機游走與理性投資等線性范式假設為前提的，并且認為金融市場所呈現出來的特征是各個部分特征的簡單相加；另一方面，這些方法采用的是靜態均衡的觀點去解決金融市場問題，因而當市場的外部環境發生變化時，先前制定的解決方法極有可能成為解決問題的阻礙[1]。因此，經典金融學理論在認識金融市場的本質規律、提供有效的風險控制方法的思路存在許多局限性。

因此，要想從根本上解決這個問題，我們要首先認識到金融市場本身作為一個“復雜系統”，它具有一種演化特征的非線性的方式對外界的作用做出反應。因而，金融市場會隨著時間的演化而改變自身的發展規律。隨著外部環境的不斷變化，金融市場將會從一個穩定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內部的相互作用達到平衡或者是產生金融危機。

因此，單刀直入的直接研究金融市場的非線性特征往往會為解決根本問題提供思路。因此，這篇論文的主要目的就在于，通過研究金融市場的一個指標――上證指數，利用lyapunov指數來判斷金融市場本身是否具有混沌的特性。如果其具有這樣的一種特性，那么我們必須從這方面著手，研究金融市場的混沌特征。從而找到金融市場的內部規律。

（一）研究方法

要想研究金融市場的混沌特性，我們以股票市場為例，選取了上證指數作為研究混沌現象的指標，利用lyapunov指數來判斷指標是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌時間序列分析的主要研究方法：重構相空間的方法，這種方法能夠重構高維相空間中的混沌吸引子，構造完成之后，我們就可以恢復時間序列數據的非線性特征。重構相空間需要知道時間序列數據的嵌入維數與延遲時間，我們分別利用了自相關函數法計算出序列的延遲時間以及利用Cao方法計算出時間序列的嵌入維數。利用構造好之后的相空間，我們就可以求得時間序列的lyapunov指數，根據lyapunov指數的大小判斷上證指數的波動性是否具有混沌的特征。

二、理論依據

（一）重構相空間

為了恢復“混沌吸引子”，我們需要做的第一件是是“重構相空間”。所謂“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系統具有某種規律性，它既不向一點靠近，也不遠離這一點，而是在一定的軌道內變化。該混沌系統的一部分的演化過程與其他部分有著密切的聯系。每一部分的信息都包含在另一部分的發展之中。這樣，我們就可以從某一部分的時間序列數據中得到并模擬該混沌系統的規律。可以這樣說，一個混沌系統的軌道經過一定時間的變動，最終會產生一種有規則的軌道，這也就是“混沌吸引子”。但是這種軌道在轉化成時間序列時表現出一種復雜并且混亂的特征。因為混沌系統的各個部分之間是相互影響的，在時間序列上產生的數據也具有相關性的特征。[2] 我們利用Packad等人的坐標延遲相空間重構法，對于一維時間序列[WTBX]

{x（t）}，t=1，2，…，N可以構造m維的向量

Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，

n=1，2，…，N-m-1）τ

其中：m為嵌入維數，τ為延遲時間。相空間重構的關鍵在于嵌入維數與延遲時間的確定。Takens定理[3]表明：我們可以從一個一維混沌時間序列中模擬一個與原來的動力系統在拓撲意義下相同的相空間，這樣就可以模擬時間序列的規律。混沌時間序列的性質各方面的分析都是基于相空間重構之上的，因此，相空間重構是混沌時間序列研究的關鍵。[4]下面我們將討論延遲時間與嵌入維數的確定方法 。

1延遲時間τ

延遲時間的選擇關鍵在于使x（n）與x（n+τ）表現出獨立性，但又不能使其在統計學角度上完全不相關。確定延遲時間的方法主要有：自相關函數法與互信息法。下面我們主要闡述的是自相關函數法，因為我們后面也會用到這種方法。

自相關函數法[5]主要考察觀測量x（n）與x（n+τ）與平均觀測量的差之間的線性相關性。其定義用數學方法表示為：

C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]

1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2

篇11

眾所周知，一個理想的電力系統和供電系統是以單一恒定頻率和恒定幅值的穩定電壓供電的，它的電壓和電流理論是純粹的正弦波形。隨著現代工業、交通等行業使用的換流設備數量越來越多、容量越來越大，另外電弧爐、家用電器等非線性用電設備接入電網，將其產生的諧波和間諧波電流注入電網，所有這些都影響了電能質量。諧波為基波頻率整數倍的電壓或電流信號，間諧波為任何非整數倍基波頻率的電壓或電流信號。諧波使電能的生產、傳輸和利用的效率降低，使電氣設備過熱、產生振動和噪聲，并使絕緣老化，使用壽命縮短，甚至發生故障或燒毀；頻率高于基波頻率的間諧波會干擾音頻設備正常工作，引起感應電機噪聲和振動等，頻率低于基波頻率的間諧波會引起電壓閃變，低頻繼電器的異常運行等等。諧波和間諧波的危害使得治理和檢測就變得十分緊迫，然而間諧波多表現為微弱信號，其精準檢測成為難點，本論文利用混沌振子對周期信號十分敏感和噪聲的免疫特性，探索實現對微弱間諧波信號精準檢測及對虛假間諧波的識別[1-5]。

1 頻譜泄漏

在諧波和間諧波測量中，所要處理的信號均是經過采樣和A/D轉換得到的數字信號。設待測信號為x（t），采樣間隔為Ts秒，采樣頻率fs=1/Ts滿足采樣定理，即fs大于信號最高頻率分量的兩倍。則采樣信號為x（n）=x（n·Ts），并且采樣信號的長度總是有限的，即n=0，1，…，N-1。也就是說，所分析的信號的持續時間為T=N·Ts，這相當于對無限長的信號做了截斷——相當于給無限長的信號加了一個矩形窗，因而造成離散傅立葉變換的泄漏現象[6]。

圖1 泄漏的產生

頻譜泄漏現象如圖1所示，顯然泄漏誤差來自兩個方面，由信號負頻分量引入的長范圍泄漏（Long-Range Leakage）和由窗的扇形損失引入的短范圍泄漏（Short-Range Leakage）。由于泄漏頻譜的存在，使得微弱電力信號淹沒在泄漏頻譜中難于檢測，同時由于頻譜泄露產生虛假間諧波，探索新的檢測方法就十分必要。

2 Duffing混沌振子特性分析

2.1 Duffing混沌振子對噪聲免疫特性分析[1]

常用的Duffing混沌振子方程為

■+k■-x+x3=γcos（ωt）（1）

其等價系統為

x■=ωx■x■=ω（-kx■+x■-x■■+γcos（ωt））（2）

對于給定的阻尼比k，隨著γ的變化，Duffing系統表現出的復雜的動力學行為：

（1）當γ=0時，系統任意初值的演化軌線將收斂到其中的一個焦點；

（2）當γ從0逐漸增加時，系統解在相空間中的軌線將出現偶階次分岔，系統按外加周期策動力的周期或倍周期振蕩；

（3）當γ進一步增加至γc（混沌臨界值），系統將會產生Smale馬蹄意義下的混沌運動；

（4）當γ>γp（大周期臨界值）時，系統將進入大尺度周期振蕩。

混沌系統隨參數變化的分岔圖見圖2所示：

圖 2 Duffing混沌系統分岔圖

假設Duffing系統處在混沌臨界狀態的混沌解為x，由于0均值、方差為σ2的高斯白噪聲n（t）的影響，混沌解受到擾動x。那么此時的Duffing方程為

（■+■）+k（■+■）-（x+x）+（x+x）3=γcos（ωt）+n（t）（3）

可以證明，E{x（t）}=0，方差D{x（t）}0。這說明噪聲對混沌系統的擾動幾乎不存在，在實際檢測中t不可能為無窮大，所以噪聲會對系統產生一定的影響，但其影響較小，不會改變系統原有的運行軌跡，只會使軌跡變得粗糙。因此，可以說混沌系統對噪聲表現出較強的免疫特性。

2.2 Duffing混沌振子對周期信號敏感特性分析[1]

考慮一種變形的Duffing方程

■+kω■-ω2x+ω2x3=ω2γcos（ωt）（4）

其中γcos（ωt）為周期策動力，ω為策動力角頻率，γ為周期策動力幅值，方程（2-26）改寫為

■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）]（5）

將系統狀態調整到混沌和大周期的臨界狀態，此時γ=γp，外加信號假設為單頻信號，s（t）=acos（（ω+ω）t+φ），其中ω為外加信號與振子策動力頻率差，φ為相位差，噪聲為0均值的高斯白噪聲n（t），則檢測系統表示為

■=ωy■=ω[-ky+x-x3+γcos（ωt）+s（t）+n（t）]（6）

可以證明，若ω=0，當π-arccos■≤φ≤π+arccos■時，系統仍保持混沌演化，當φ不在這個區間時，系統將由混沌態躍遷到大周期態。若ω≠0，此時系統將間歇性地出現混沌現象，間歇周期為2π/ω。可見頻差不能太大，如果頻差太大會導致間歇混沌周期很小，而無法觀察間歇混沌行為。（下轉第290頁）

（上接第293頁）3 Duffing混沌振子對微弱電力信號的檢測

3.1 電力信號模型

考慮噪聲的信號模型為[7-10]

x（t）=■Am（t）sin[ωm（t）t+φm（t）]+v（t），v（t）為隨機噪聲（7）

根據v（t）噪聲類型不同，又可以分為白噪聲和色噪聲情況下的電力系統諧波和間諧波檢測。目前較多考慮的情況為

x（t）=■Amsin[ωmt+φm]+v（t），（8）

其中v（t）為白噪聲，工程中信號的初始采樣點具有隨機性，可以反映為初始相位的隨機性，可以把φm看作服從0～2π范圍內均勻分布的隨機變量。

3.2 檢測步驟

第一步：利用FFT算法檢測電力信號基波和諧波成分；

第二步：進行陷波器設計，濾除電力信號基波和諧波成分，保留殘余電力信號；

第三步：構建Duffing混沌振子電路，參數置于大周期臨界值；

第四步：間諧波信號作為Duffing混沌振子電路，觀察電路輸出特性。

3.3 檢測結果判斷

由于間諧波在殘余信號中，無可避免會受到噪聲干擾，然而Duffing混沌振子電路對噪聲具有特殊的免疫特性，不會對周期信號間諧波的檢測產生干擾。觀察Duffing混沌振子電路的輸出特性，按照Duffing混沌振子電路出現分叉的動力學行為，可以判斷間諧波的存在和虛假間諧波的識別。

4 結論

利用Duffing混沌振子對噪聲的免疫特性和對微弱周期信號的敏感特性，可以高精度實現對微弱信號間諧波的檢測和對虛假間諧波的識別，但是該方法只能對微弱電力信號間諧波的存在和虛假進行識別，對信號的頻譜特征識別還需要應用譜估計和FFT算法進一步識別。

【參考文獻】

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[7]張賢達. 現代信號處理[M].北京：清華大學出版社，2002.

篇12

本文根據動力學的理論，建立兩自由度振動系統的動力學方程。首先，對模型進行分析，求出運動的微分方程，采用正則模態矩陣將系統解耦，運用解析法推出了Poincaré映射的解析解，由初始的邊界條件推導其穩定性，編程實現非線性系統的數學模型；然后選取合適的參數，調出系統通向混沌的Poincaré圖進而分析非線性系統的動力學特性。基于六維Poincaré 映射方法研究了系統的Hopf分岔和Hopf-flip余維二分岔以及由環面倍化和概周期通向混沌的過程。對該系統的分岔與混沌行為的研究為工程實際中含間隙對碰機械系統的優化設計提供了理論依據。

1.概述

確定性非線性動力學系統中對初值極為敏感的，貌似隨機的運動稱為混沌。它不同于無序、紊亂或噪聲，具有某種自相似結構。它起源于非線性相互作用，因而普遍地存在著。混沌振動之所以產生，是由于非線性振動系統對初始條件的敏感性[1]。為什么初始條件的微小差別會產生捉摸不定的混沌原信息就損失一位，若 有 位信息，經 次迭代，就完全損失原有信息。由于迭代 次后，原來小數點后第 位，迭代成第一位，則兩個僅有小數點 位后微小差別的初值，迭代 次后，差別就變大，故非線性系統對初始條件的微小差別是十分敏感的[2]。正如poincaré所說，“初始條件的微小差別，最終導致根本不同的現象，本來難以預測”，這就是混沌產生的數學機理[3]。一般，混沌振動研究的問題有：（1） 機理，即研究混沌振動出現的原因；（2） 參數，即研究混沌振動出現的條件，估計出現混沌時系統的參數；（3） 通道，即研究從規則振動通往混沌振動的道路；（4） 識別，即研究混沌振動的定性特征與定量特征，識別的方法和手段；（5） 控制，即由混沌振動的多樣性，控制系統參數，靈活地得到所需的各種不同的穩定運動狀態；（6） 模擬，即用混沌振動裝置，作為簡單可靠的擬隨機振動發生機構，用混沌信號模擬噪音環境。

2.兩自由度碰撞振動系統的強迫振動

2.1.兩自由度碰撞振動系統的力學方程及其解耦后的解一個存在間隙的兩自由度振動系統的力學模型，質量為 和 的振子分別由剛度為 和 的線性彈簧和阻尼系數為 和 的線性阻尼器相聯接，兩個振子只作水平方向的運動，并分別受到簡諧激振力 的作用。當質量為 的振子的位移 等于間隙 時， 將與剛性平面 碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次與 碰撞，如此往復。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼（ ），碰撞過程由碰撞恢復系數 確定。

2.4.本章總結

本文用解析解求出一類兩自由度碰撞振動系統單碰撞周期運動及其Poincaré映射。分析碰撞振動系統的Poincaré映射和周期運動的穩定性，討論概周期碰撞運動向混沌運動的演化過程。對于存在耦合性質的兩自由度碰撞振動系統，首先解耦，利用系統周期運動的邊界條件求解微分方程，并且推導Poincaré映射，理論分析了不同系統的周期運動的穩定性。然后在適當的系統參數下，系統發生倍化分岔和Hopf分岔，尋找到系統經環面倍化和Hopf分岔向混沌演化的道路，并且給出了系統在發生混沌運動時的Poincaré映射圖。激勵頻率 是一個影響系統發生分岔和混沌的重要參數，它的微小變化都可能影響系統的整個進程。

3.結 論

在該設計中，把解析法和數值法相結合，全面分析了系統的各種分岔與混沌的形成過程。通過選擇一個碰撞界面作為Poincaré映射的截面，證明含間隙系統通向混沌的道路不僅包含倍周期道路、擬周期道路，而且還存在倍周期道路中含有Neimark-Sacker分岔、倍周期道路中含有叉式分岔的復雜道路[4-6]。文中分析了各種分岔及其混沌的演化過程。對其分岔與混沌行為的深入研究為工業實際中含間隙機械系統和沖擊振動系統的優化設計提供了理論依據。因而對于含間隙機械系統和沖擊振動系統而言，如何趨利避害、進行動力學優化設計、提高可靠性以及降低噪聲等問題的研究，既具有理論價值又有著重大的現實意義[7-9]。一些根本問題的解決，將不僅推動非線性學科的發展，同時為工程設計提供全新的準則。

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篇13

    2. 當然問題還是有的，而且也不算是小問題。第一，literature review既要做到介紹，更要做到評述，更重要的還要做到一切都講完后的畫龍點睛的一筆，這才是要害之處，一般研究生做不好這一點，這才是你review半天的真正目的所在；第二，理論創新意識要加強。他人的理論介紹做得很好，運用他人理論分析語料也很不錯，但還要做到突出自己的理論創新點，有的同學并不是沒有自己的創新，可是都隱含在字里行間了，表述不夠明了，我們要旗幟鮮明地道出自己為解決某一問題所設計的理論框架和分析程序，這是根本的原則性問題，千萬不能忽略。有了自己解決問題的框架，隨后的分析才是順利成章的，否則，只能使別人懷疑你如此這般而不是那般解決問題的方法，自然而然你的研究結論也就大打折扣了啊。一般碩士研究生的通病。第三，細節值得重視，不是有個說法叫“細節決定成敗”嘛，注意了細節就等于為自己的臉上擦了粉，可以掩蓋一些瑕疵。不過，我覺得這也是培養嚴謹的做學問精神的一種好方法，細致了才能嚴謹。