引論：我們為您整理了13篇雞兔同籠教學設計范文，供您借鑒以豐富您的創作。它們是您寫作時的寶貴資源，期望它們能夠激發您的創作靈感，讓您的文章更具深度。

篇1

過程與方法：1、在問題的解決過程中，實現從具體問題向數學知識的成功轉化，掌握知識與實際問題的相互聯系和解決的方法，學以致用。2、理解把問題轉化成數學問題和知識在解決問題中的巨大作用。

情感與態度：1、學生在感受成功與失敗中吸取經驗和教訓，體會到數學知識的實用價值和真正之所在，從而堅定自己樂學樂探究的信心。2、通過對古人著名問題的解決和探究，樹立強烈的民族自豪感和投身于學習的信念，感受中華民族是個優秀的民族。

教學重難點：

重點：審清題意，從實際問題中找出正確的等量關系，建立相應的方程求解。

難點：理解數學知識與實際生活問題的聯系，掌握利用數學方法解決實際問題的策略。

教材分析：雞兔同籠問題是《孫子算經》中一個較為出名的問題，并且一直流傳至日本，問題的實質包含著一個非常有用的數學知識，吸引了數學愛好者的學習興趣。問題以雞兔為實際背景，從籠中雞兔的頭和腳的數量能知道雞兔各多少只，初中學生更是在驚奇中產生了強烈的求知欲望和探究信心，在學習和探究的過程中，深深體會到數學知識與生活實際的聯系，從而進一步激發對數學科學知識的向往。

教學設計：

通過講述故事等形式，引導學生自己探究、互助交流等活動形式，激發學生的愛國熱情，明確為祖國的長期繁榮而努力，長大后為社會主義祖國建設添磚加瓦。以“雞兔同籠”問題為背景，滲透方程的思想，認識用方程解決實際問題的不可估量的作用。

教學過程：

課前預習題：

1、列一元一次方程解應用題的步驟是：(1)-------------- (2) -----------------(3)----------------

(4) ------------------ (5)-------------------

2、某營業員賣出7件襯衫和4條褲子共560元，今天又賣出9件襯衫和6條褲子共680元，若設每件襯衫售價x元，每條褲子y元，則可列方程組為------------------------

引言：我們偉大祖國具有五千年的文明史，在歷史的長河中，為科學知識的創新和發展作出了巨大貢獻，尤其在數學領域有《九章算術》、《孫子算經》等古代名著流傳于世，許多問題淺顯易懂，趣味性強，如《孫子算經》中的“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到日本等國，對中國古文明史的傳播起很大的作用。

設置問題情境，引入課題：

問題1：雞兔同籠問題

雞兔共有17個頭，50只腳，問有多少只雞？多少只兔？

請思考，以往是怎樣解決這個問題的？（分組討論）

組1：我們是這樣想的——如果17只都是雞，應當有34只腳，現有50只腳，比34只多了16只，是因為有兔。有一只兔，則多兩只腳，現在多了16只腳，當然是有兔8只了。因此知有雞9只，兔8只。

師：小組1的同學是用了小學的方法，你們還有其他方法嗎？

組2：設雞x只，則兔有（17 -x）只，依題意得

2x+4(17 -x)=50

解得x=9 則 17 -x=8

師：小組2是用列一元一次方程來求解的，很好。

組3：我們是這樣別出心裁的——令雞將一只腳抬起，令兔將二前足抬起，則雞、兔頭數不變，而立在地上的腳卻減少了一半，為25只。因一只雞是一只腳立地，一只兔是兩只腳立地，故知兔數為25 -17=8，雞數為9。

組4：設雞x只，兔y只，則依題意得

x + y =17 x=9

2x +4y =50 解得 y=8

師：小組4是用剛學過的二元一次方程組來求解的，真是不錯。

[評析：學生思維活躍，充分交流合作，而且一些別出心裁的想法很風趣，它脫胎于小學的算術法，很耐人思考分析]

“雉兔同籠”原題：

今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這是有名的“雞兔同籠”問題，怎么解決呢？問題怎么探索？您能根據上面解決問題的方法來完成嗎？試試您的身手啊。

設置問題串：

(1)“上有三十五頭”的意思是什么呢？“下有九十四足”又指什么呢？

生：“上有三十五頭”指雞和兔共有35個頭，“下有九十四足”指雞和兔共有94只腳

(2)題中的等量關系是什么？您能根據(1)中的數量關系列出方程組嗎？

(3)您能解決這個有趣的問題嗎？（小組討論，由小組代表板演）

[學生自己解決完成，老師給出參考答案并給予適當點評]

這個古老的數學問題，用現代的數學方法解決，真正體現了古為今用的原則，使后人理解數學的過去和現在，也明確了數學在不斷發展的歷史長河中散發出的璀璨的光芒具有重大意義。現代數學家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時，另有一番別味風趣的解法：

全體雞兔立正，兔子提起前兩只腳，請問[學生做出回答]

(1)現在共有幾只腳？[70只腳](2)有幾只腳提起了？[24只](3)是誰的腳？[是兔子的前兩只腳](4)那么應有幾只兔子？

[24 2=12，有12只兔子] “對了，很聰明”

[可見對一個問題的解決有多種思路，同學們在解題時應及時總結解題的各種方法，做到一題多解，多解擇優]

我變！我變！我變變變！您還會做嗎？

一只蜘蛛有8只腳，一只蜻蜓有6只腳。如果蜘蛛和蜻蜓共有76只腳，而且蜘蛛比蜻蜓多，那么蜘蛛和蜻蜓各有多少只？

（小組討論，看哪小組解決了）答案：蜘蛛8只，蜻蜓2只。

問題2：以繩測井。若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？

問題串分析：(1)“三折、五折”是什么意思？題目大意是什么？(2)題目里的未知條件有哪些，等量關系是什么呢？(3)您能列出適當的方程組并解決嗎？

解：設繩子長x尺，井深 y尺，則

- y=5 x=48

- y=1 解得 y=11

答：繩子長48尺，井深 11尺。

議一議：

從上面問題的解決中，您得到了什么體會，有什么收獲？在小組里交流。

（1）在我國悠久的歷史中，數學在古代曾文明于世界，作為炎黃子孫應感到驕傲，也激發我們為祖國的日益強大而努力學習。

（2）用方程組解決實際問題時應該

a 認真讀題和審題分析，弄清古代問題的現今意義

b 正確設出未知數（注意單位）

c 找出相等關系，并列出方程組。（注意單位要統一）

d 解方程組

e 檢驗寫答（注意單位）

練一練：您真的掌握了嗎？

列方程組解古算題：

1、今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五，直金八兩。牛、羊各直金幾何？

2、今有甲、乙二人持錢數不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲半而亦錢五十。甲、乙持錢各幾何？

問題3：(探究創新樂園) 您能幫幫小亮嗎？

小亮的外婆送來滿滿一籃雞蛋，這只籃子最多能裝55只左右的雞蛋，小亮3只一數，結果剩下1只，但忘了數了多少次，只好重數，他5只一數剩下2只，可忘了數了多少次，他準備再數時，媽媽笑著說：“不用數了，共有52只”。小亮驚訝地問媽媽是怎么知道的，媽媽笑而未答，讓小亮好好動腦筋想想。您能幫幫小亮嗎？

（后來小亮運用方程知識解決了這個問題，您知道小亮是怎樣解決的嗎？）

解：設此籃子最多能放雞蛋m只，每3只一數，數了x次剩1，每5只一數，數了y次剩2，則有 3x+1=m

5y+2=m 得 3x+1=5y+2，得 y=

因為x，y都是正整數，所以3x-1 必定是5 的倍數，又因為3x+1是55 左右的數，所以3x-1應該是53 左右的數。

當3x-1=50 時， x=17 ， y=10 ， m=3x+1=52 ，符合題意

當3x-1=55時， x=18 ，不符合題意

所以m只能是52

答：這只籃子雞蛋共52只。

（您認為小亮解的對嗎？您有哪些啟發？）

點撥：經過本課的探索，您有什么收獲和體會？（小組討論總結發言）

生1：知道了數學是一門古老的學科，我們的祖先能用淺顯的數學知識解決一些實際問題，說明他們勤勞而聰明……

生2：掌握列方程組解古代數學問題時的一般步驟和方法。

生3：要像我們的祖先那樣，在飛速發展的今天，認真學好本領，為今后學習、工作打下堅實的基礎，將來建設好祖國。

師：同學們總結得很好，要想學好本領，就要扎扎實實地把現在的數學知識學好，俗話說“學無止境”，有關列方程組解應用題的問題還很多，我們下節課接著再研究。

讀一讀：數學生活實踐（洗衣粉里的數學問題，衣服洗滌后如何漂洗等）

……(寫在提綱上供學生閱讀)

小小數學沙龍：<猜猜看 > 有多少只小雞

農夫瓊斯對他老婆說：“喂，瑪麗亞，如果照我的辦法，賣掉75只小雞，那么咱們的雞飼料還能維持20天，然而，假使照你的建議，再買進100只小雞的話，那么雞飼料將只夠維持15天。”

“啊，親愛的”她答道，“那我們現在有多少只小雞呢？”

問題就在這里了，他們究竟有多少只小雞？

作業設計：習題7.4 1、2 <讀一讀、猜猜看>預習下節

篇2

1.能解決有關“雞兔同籠”的數量問題及與其相類似的數學問題，提高解決實際問題的能力。

2.經歷自主探索、合作交流的過程，學會用列表舉例、作圖分析、假設、列方程解等方法，解決“雞兔同籠”的數學問題。

3.在探索規律的過程中體會數學與日常生活的聯系，增強學習數學的興趣和自信心，滲透愛國主義教育。

【教學重點】體會解決問題策略的多樣化，培養學生分析問題、解決問題的能力。

【教學難點】能用不同的策略解決相關的實際問題。

【教學過程】

一、創設情境，鋪墊引入

師：同學們，在生活中咱們經常遇到這樣的一些問題，(幻燈出示)

1.小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，價值5.1元，1角和5角的硬幣各有多少枚?

2.12張乒乓球臺上同時有34人正進行乒乓球比賽，正在進行單打和雙打比賽的球臺各有幾張?

師：類似于這樣的問題，我們的祖先早在1500多年前就已經開始研究了，請看課件。

(課件出示《孫子算經》及題目：今有雉兔同籠……)

(板書課題：雞兔同籠)誰來解釋一下這道題是什么意思?

教師出示例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有8個頭，從下面數有26只腳。雞和兔各有幾只?(學生齊讀)

二、合作探究，學習新知

1.合作探究。

學生四人為一組，合作探究，比比誰的方法多。教師巡視指導，指名板演。

2.匯報與交流。

(1)運用列表法，讓生指著表格介紹。(板書：列表法)

實物投影展示：

(2)列方程解。

引導學生列出方程并說清解方程的過程。(板書：列方程解)

生1：設兔有x只，那么雞有(8-x)只

4x+2(8-x)=26

16+2x=26

2x=26-16

x=3

8-3=5(只)

答：雞有35，兔有55。

師：有沒有人有問題想問問我們的小老師?比如4x表示什么?

引導學生對方程的各個部分所表示的含義展開討論。

師：列方程解的確是一種好辦法!還可以怎么列?

讓生帶上自己的方法到實物展臺，投影出示，并說出理由：

2x+4(8-x)=26

32-2x=26

x=3

8-3=5(只)

答：雞有3只，兔有5只。

引導學生對上述方程的各個部分所表示的含義展開討論。

(3)假設法。

師：我們再一起來看看這種方法，誰來介紹一下?

生1：我把它們看作全都是雞：(板書：全都是雞)

2x8=16(條)求出一共有16條腿；

26-16=10(條)腿比原來少了10條；

引導討論：“為什么腿會減少?”(因為一只兔子變成一只雞就少了2條腿)4-2=2(條)；

10÷2=5(只)……兔子；

8-5=3(只)……雞

師：(小結)像這種把兔看作雞來算的方法就叫假設法。板書“假設法。”

師：除了可以假設都是雞，還可以怎樣假設呢?

生：(帶上自己的方法到實物展臺，投影出示)

我把它們全部看作是兔子(板書：全都是兔)

4×8=32(條)求出一共有32條腿

32-26=6(條)腿比原來多了6條；

4-2=2(條)一只雞看作一只兔子就多2條腿；

6+2=3(只)……雞；

8-3=5(只)……兔

師小結：假設方法在解決數學問題中的作用。

(4)介紹匭圖法。

老師介紹并加以課件演示：先畫出8個小圓圈就代表8只小動物，假設全是雞，每只有兩只腳。這樣就先畫16只腳，而題目中說共有26只腳，還少10只腳，于是我們再一次給添上兩只腳，就把其中的五只雞“改裝”成兔，這樣就有26只腳了。這種方法叫做畫圖法。

(板書：畫圖法)

(5)介紹“砍足法”。

師：我們的古人又是怎么解答這道題的?

(先指名學生讀介紹內容，再配以課件進行驗證古人的方法。)

3.小結。

師：剛才我們用了這么多的方法來解決雞兔同籠問題。大家再比較一下這些不同的解法，你比較喜歡哪種方法?能說說你的理由嗎?

師：看來不同的解法各有各的特點，它們既有聯系又有區別，我們應該根據需要靈活地選用適當的方法。當數目比較小時，用畫圖和列表的方法比較快，當數目比較大時，用假設法和列方程解比較好。我們一起驗證一下我們的解法到底對不對，用什么方法?(驗算)

生：5×4+3×2=26，剛才求出的解是正確的。

三、建構模型，鞏固新知

師：《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題流傳尤為廣泛，漂洋過海傳到了日本等國。日本人又稱它叫“龜鶴問題”。(課件出示：龜鶴的圖片)日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯系嗎?

生討論交流。

師點明這些類似的問題都稱它為雞兔同籠問題。要求學生用自己喜歡的方法去試一試算出龜和鶴各有多少。

學生獨立解決，教師巡視指導，并提醒學生“如果你已經完成了，能不能用另一種方法來解?”然后進行交流與訂正。

四、鞏固練習，拓展應用

篇3

二、教學目標

1.了解“雞兔同籠”問題，嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，體會各種方法之間的內在聯系，體會假設法與代數法的一般性。（溝通方法之間的聯系）

2.溝通“雞兔同籠”與同類問題的聯系，經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用。（溝通問題之間的聯系）

3.在學習的過程中滲透有序思考、推理、模型等數學的基本思想和方法。

4.感受數學文化，感受古代數學問題和經典解法的趣味性。

三、教學重點

讓學生經歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，體會其中的內在聯系和所蘊含的數學思想方法。

四、教學難點

理解假設法中各步的算理。

五、教學設計

1.課前談話：同學們，猜猜我有幾歲？（盲目猜、調整猜、折中猜）

2.獨立嘗試，全班交流。（溝通方法之間的聯系）

出示例題：（雞兔同籠的同類問題）全班38人去公園劃船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，問大船和小船各租了幾只？

題中有哪些條件？這個問題你會解決嗎？請把過程寫下來。

預設學生三種解題思路：猜測調整、假設法、方程法。

【設計意圖】如果直接出示耳熟能詳的雞兔同籠，學生們可能會直接用假設法或方程法這些簡便的方法，而不用列表法猜測、調整，這種簡便是數學的，而不是教育的。所以，我打算從雞兔同籠這類問題出發，同時關注一個素材的知識價值和教育價值，讓學生體會方法間的內在聯系。也回答了“為什么有更好的方法教，為什么還要回歸‘原始’”這個問題。

全班交流：從猜測調整例子著手――列表法（有序猜測、折中猜測、跳躍猜測）你是亂猜出來的嗎？你是怎么調整的？如果要把所有可能都清楚記錄下來，該怎么辦？（列表）看出什么規律了嗎？這種方法有什么好處？板書：列表法。

【設計意圖】進一步培養有序思考的習慣，滲透假設法的體驗，發現一一列舉、折半列舉、假設列舉等思考方法。引導學生發現船的總量一定，大小船只數的變化與人數變化的關系，滲透函數的思想和逼近的思想。這一環節落實得好，學生對列表法的形成過程就有了一個體驗，沒有對此過程的體驗，學生甚至根本不承認列表法是一種解題策略。

引出假設法。

有可能是0和8，或8和0嗎？有人就是這么猜的，你信嗎？（表格中補充）

假設法，請同學講，或教師引導。（投影出示學生過程或板書）

我們把這種方法叫作假設法。板書：假設法。

【設計意圖】溝通列表法與假設法的聯系，滲透極端的范圍以及在一定的范圍內思考的習慣。并且體會假設法的簡潔性。

方程法。

還有人猜大船有X只的呢？小船應該怎樣表示呢？你能想到別的方法嗎？（在表格中）

介紹方程法（結合實際情況，如學生有，則剛好利用，如沒有，則教師出示，重點講列方程的依據是什么？）板書或投影。

這三種方法有什么相同的地方嗎？板書：方程法。

【設計意圖】溝通這三種方法的聯系，讓學生分析這些方法所共同具有的假設思想。把假設的思想方法作為解決雞兔同籠問題所有方法中最為基本的解題思想，抓住了解題思路上的核心。

3.體驗結構，初步建模。（溝通問題之間的聯系）

看來看似不同的解決方法也有相聯系的地方，下面這題你會解決嗎？

出示：籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94條腿。問雞和兔各有幾只？

這問題你聽說過嗎？這可是剛才這幾個問題的“老祖宗”，介紹出處（孫子算經）。

板書：雞兔同籠。

這題題目有哪些條件？（顯性的條件和隱性的條件）

和上面的問題有相似之處嗎？交流，找到一一對應。

【設計意圖】在這個教學環節中，把雞兔同籠與前面出示變式的問題聯系起來，讓學生去理解，識別模型，從而達到同化的作用。經過提煉，讓學生更進一步明確雞兔同籠問題的結構，模型。讓學生經歷數學化的過程，這樣的過程會使學生感受到模型的力量。

你想聽聽古人以及數學家是怎么解答這題的嗎？――介紹抬腿法、翅膀作腳法、自學金雞獨立法。

【設計意圖】再次溝通方法之間的聯系，抬腿法對應著假設全是雞，翅膀作腳法對應著假設全是兔等，既讓學生感受數學文化，又體會到數學的趣味性。

出示：明明從超市買來鮮牛奶和酸牛奶共40袋，鮮牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，問鮮牛奶和酸牛奶各買了多少袋？

這里還有雞和兔嗎？

【設計意圖】由“變式題―原型題―變式題”的過渡，再次構建模型引導學生通過假設法和方程法解決這一問題，并體會這兩種方法的一般性，進一步鞏固假設法和方程法。（投影）

為什么只需把“雞兔同籠”寫入《孫子算經》就可以了？

【設計意圖】讓學生進一步感受許多問題都可以看成“有不同只腳的雞與兔”的雞兔同籠問題模型。這樣的拓展過程，無疑是進一步抽象的過程，是對模型進一步深刻理解的過程，也是進一步數學化的過程。

4.對于今天學的雞兔同籠問題，你有什么想說的？

篇4

問題:如何面對多樣的教材和參差的學情?

人教版 蘇教版

教材:在選定內容后,我就開始翻閱各種不同版本的教材,發現不同版本的教材對解決雞兔同籠方法各有側重。北師大版的教材以介紹列表法為主;人教版的教材主要介紹列表和方程法;蘇教版的教材則主要介紹畫圖和列表。

學情:通過初次試教,了解到學生課前對雞兔同籠問題也并非一無所知,有一部分在奧數班學習中已掌握了用假設法解,也有個別能用方程的方法解,原來沒有基礎的學生也會通過自己動腦筋湊出正確答案。

不同的教材和參差的學情,使教學設計曾一度陷入了困境,讓我不得不重新審視教材、揣摩學情,找尋理想的教學支點,以期能夠在教材的“主”方法和學生的“眾”方法之間找到平衡。經過慎重考慮和多次實踐,最后解決了這一問題,孕育出了第一顆珍珠――“花開四朵,單表一枝”

【實錄】:

“花開四朵”

今有雞兔同籠,上有10頭,下有28足,問雞兔各幾何?

師:我們來試試,看能不能通過自己的努力求出雞、兔各幾只?有困難的同學可以與邊上的同學討論。

生:(獨立做)

師巡視,找不同的解題方法,讓學生寫在黑色卡紙上。

師:我們班的同學真不錯,想了很多辦法解決這個雞兔同籠問題。我們一起來欣賞一下。

展示第一種方法:

(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只

生:(解釋)

(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只

生:解釋

師:你們這種方法是在哪里學的?

生:奧數班。

師:知道叫什么方法嗎?

生:假設法。(板書:假設)

師:同學們,我們來檢驗一下你們的答案是不是正確。怎么檢驗?

生:看看腳是不是28只。

師:好。2×6+4×4是不是28只呢?

生:是的。

展示第二種方法:(畫圖)

師:請這位同學解釋一下。

生:這些是10個頭,然后先在每個頭下面畫上2只腳,這樣就都成了雞,而腳只有20只,說明還要添上8只腳,就2只2只添上去……結果也是兔4只,雞6只。

師:畫圖是一種好辦法,當我們遇到問題不知道從哪里下手的時候就可以畫圖。當然我們可以畫得更簡潔美觀一些。

展示第三種方法:(方程法)

2×()+4×(10- )=28

生:如果第一個()填2,那么第二個就是(10-2),這樣去試。最后我知道了,雞6只,兔4只時正好等于28。

師:很好,這也可以看成是方程。

展示第四種方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28雞6只,兔4只

生:我是在算腳的只數,算到第四次的時候發現對了。

師:如果把他的這種思想方法列在表格里,就是我們今天重點要研究的列表法了。同學們,接下來我們就來研究列表法。(板書:列表)

“單表一枝”

在教材的主方法上,北師大版、蘇教版、人教版教材不謀而合――其中都介紹了列表法。列表法蘊含了豐富的數學思想,且充分地體現了不同學生學習不同的數學。人教版推薦方程法,并將這一內容安排在六年級上冊學習用方程解決問題之后,具有達到鞏固用方程解決問題的用意。斟酌再三,本課以北師大版教材為主,其他教材為輔,單表列表法這“一枝花”。(詳見教學實錄片段)

探索列表法:

今有雞兔同籠,上有10頭,下有28足,問雞兔各幾只?

1.第一次列表

師:出示

師:我們可以從雞有幾只開始?

生:雞1只,兔9只,腳有38只。

師:然后雞……

生:然后就雞2只,兔8只,腳36只。雞3只,兔7只,腳有34只。……

師:怎么共有幾只腳,算得這么快呢?

生:雞每增加一只,兔就減少一只,腳數就會減少2只。

師:很棒。雞每減少一只,兔每增加一只,腳數就會……?

生:會增加2只。

師:好,那我們接著往下寫。

師:很能干,最后湊到了腳數是28只。讓我們數一數,假設雞1只,兔9只,總共算了幾次腳數。

生:6次。

師:這個效率好像不是很……

生:效率不高。

師:那讓我們一起來動動腦筋,看有沒有提高效率的方法。

生:開始的時候假設是雞5只,兔5只,腳有30只。雞6只,兔4只,腳就是28只。

師:哦?!對半分。你一下就到了這里,再調整一次就成功了。對半分,好辦法。

師:命中率真高。但是這有一個問題,如果在雞5只,兔5只,腳有30只之后,我朝著相反的方向去湊,雞4只,兔6只去想,那么豈不是南轅北轍啦,越走越遠啦?

生:當你看到,腳數太多時就是兔要減少,腳數太少就是兔要增加。

師:太棒了,原來還有竅門的。還有誰也知道這個竅門呢?

生:腳數太多時就是兔要減少,腳數太少就是兔要增加。

2.《孫子算經》中歷史名題

師:大家都來施展一下自己的數學才華,同桌兩人合作用列表的方法做做這道歷史名題。看看,在做的過程中,能不能找到更好的方法提高命中率。

生(用列表法解)

今有雞兔同籠,上有35頭,下有94足,問:雞、兔共幾何?

師展示學生的作業紙。

師:他是調了7次,得到了正確答案。有沒有比他少的?拿上來展示,并說出你比他高明在什么地方。

生2:

生2:我想106只腳和94只腳相差比較大,所以雞兩只兩只增加。

師:很好,確實次數也少了。還有更少的嗎,說出你又是高明在哪里?

生3:

生3:106只腳和94相差12只腳,說明雞要增加6只。

師:她高明就高明在提高了計算的含量。

師:我們班的同學太厲害了,不管先假設有幾只雞和兔,最后都能經過調整,得出正確答案,而且還發現了這么多可以提高列表法效率的好竅門。

閃光之處:

如果說“花開四朵”是順應學情,充分展示學生的各種解決方法,那么“單表一枝”則是對學生已有水平的提升,是面對多樣教材的一種選擇。所以說“花開四朵,單表一枝”是針對參差的學情和多樣的教材找到的一個平衡。

而其中“單表一枝”更蘊含了設計者的匠心。怎樣用好列表法,是這節課的難點所在。如何讓學生抽絲剝繭自己“悟”到其竅門所在,是我們設計者最期望達到的教學效果。從以上“單表一枝”的實錄中,我們不難發現教師的幾個(黑體)關鍵問句,巧妙地讓學生悟出列表法的幾大竅門。

二、溝通聯系,渾然一體

問題:各種方法像盤散沙,自成一家。

各種方法的較好展現固然是好,但是各種方法就如它們的名稱一樣,都自成一家。難道它們真的是幾種完全不搭界的方法?還是也有一些共性存在,我試圖去尋找它們的聯系。在找尋中收獲了第二顆珍珠――“溝通聯系,渾然一體”

【實錄】:溝通方法間的聯系

師:同學們,現在讓我們回過頭,來認真地研究一下這幾種方法,看看能不能找到它們之間的聯系。

師:如果有用這種方法湊腳數的話,它是有方程的思想在里面的,(板書:方程)好,同學們仔細研究一下,這幾種方法的聯系。

生:畫圖法和假設法是同一種方法。

師:這兩種方法一起看的話,在數學里是很重要的思想,叫數形結合。

生:方程和列表是同一種方法。

師:說的很好。再仔細看看,這幾種方法是不是有同樣的思想存在呢?

生:都是有假設思想。

師:說的太好了!只是有的是假設后,一步到位,有的是假設后慢慢調整。接下來我們要去解決問題,到底選擇哪種方法,就看自己的喜歡。

閃光之處:

從教方法到教思想,是一種不同的境界和高度。在這個環節中,教師創設平臺讓學生去領會方法中蘊含的思想。學生容易找到畫圖法和假設法,不定方程法和列表法它們兩兩相似,而且思想幾近一致。但教學并沒有止步于此,而是讓學生更進一步找這四種方法共同存在的思想――假設。將來學生或許會忘卻具體的解決方法,但是只要想到假設思想,就定能解決雞兔同籠問題。

三、破立之間,建構模型

問題:如何能讓學生有較強的解決生活中雞兔同籠問題的能力?

其實會解決雞兔同籠這個歷史名題并不難,難的是:能夠解決各種由雞兔同籠變式出來的生活問題。而學習雞兔同籠問題的一部分價值也正在于此,如何能讓學生擁有這樣的能力呢?于是就有了第三顆珍珠――“破立之間,建構模型”

“立”基本模型

【實錄】:

1.初建模型

師:龜鶴共11只,腳共32只。問龜幾只?鶴幾只?

你能解決嗎?試試。

生:(獨立解決)

師:說說,龜鶴各幾只,你是用什么方法做的?

生:龜是5只,鶴是6只。用畫圖法的……

生:龜是5只,鶴是6只。用列表法的……

師:為什么大家都用解決雞兔同籠問題時的方法來解決這個問題呢?

生:它和雞兔同籠是一樣的。雞和鶴都是2只腳,兔和烏龜都是4只腳的。

師:其實,雞兔同籠從中國傳到日本,日本人才改名為“龜鶴問題”的。如果現在給你們一個重新取名的機會,你會取名為什么呢?

生:鴨貓問題……

師:雖然大家取的名字聽起來有些可笑,但是從數學的角度看,都抓住了問題的本質特征,在腦子里,初步建立了這類問題的模型。

“破”基本模型

2.完善模型

師:生活中也有類似的問題,請看這是什么?(課件:四副照片,由學生自主選擇看照片,然后引出相關的題)

師:12張乒乓球桌上同時有34人在比賽。正在進行單打與雙打的球桌各有幾張?是雞兔同籠問題嗎?

生:是雞兔同籠問題。

生:12張乒乓球桌就是12個頭,34人就是34條腿。單打就是雞,雙打就是兔子。

師:小明的儲蓄罐里有12張2元、5元的紙幣共30元。2元紙幣有幾張?5元紙幣有幾張?是雞兔同籠問題嗎?

生:是的。12張就是12個頭,30元就是30只腳,2元紙幣就是雞,5元紙幣就是5只腳的怪兔。

生:58名同學去劃船,租了10條船,每條大船坐9人,每條小船坐5人。問大船要幾條?小船要幾條?

師:這是雞兔同籠問題嗎?你是怎么想的?

生:10條船就是10個頭,58名同學就是58條腿,大船相當于9條腿的怪兔,小船相當于5條腿的怪雞。

師:在這個活動中,把生活中的問題與雞兔同籠問題建立了聯系,大家發揮了很強的想象力,甚至想象出了5條腿的怪兔,3條腿的怪雞。說明大家頭腦中的模型越來越清晰、完整。那么選擇其中的一題進行解決吧。

再現模型

3.再現模型

師:能不能編編生活中雞兔同籠問題呢?

生編在作業紙上,師展示。

閃光之處:

從取名――初建模型,到和歷史名題建立聯系――完善模型,最后編雞兔同籠問題――再現模型,是循序漸進的過程。在其間,初建模型是“立”基本模型,完善模型環節則是“破”基本模型,建更完整的模型。“破與立”之間,模型更完善與深刻,使“建立模型,由點及面”這顆珍珠更熠熠生輝。

篇5

知識與技能：了解“雞兔同籠”問題，掌握畫畫數數的解法及其升華——假設法，并能用來解決生活中簡單的該類問題。

過程與方法：掌握將畫畫數數解法抽象升華到假設法的過程，培養初步的抽象邏輯思維能力、符號和數學建模意識，滲透對應思想、優化思想。

情感與價值：獲得解決問題的成功體驗，提高學習數學的興趣和自信心；了解有關的數學史，增強民族自豪感；體會“雞兔同籠”問題的應用價值。

教學重點與難點：將畫畫數數的解題方法抽象升華為假設法及模型的過程。

教學準備：多媒體課件、白紙等

教學過程：

一、觀察提煉，做好鋪墊

師：同學們，你們喜歡小雞和小兔嗎？

生：喜歡。

師（放錄像）：我們先放一段有小雞和小兔的錄像，同學們觀察一下一只雞和一只兔子各有幾個頭、幾個身子、幾條腿，一樣多嗎？

生1：一只雞有一個頭，一個身子，兩條腿；一只兔有一個頭，一個身子，四條腿；一只兔比一只雞多兩條腿。

師：很好！可雞和兔子的腿長在哪里呢？

生1：長在身子上。

師：雞和兔的身子都像什么圖形？

生1：扁圓形。

師：同學們觀察得很仔細。雞和兔的身子有相似性，都接近于扁圓（橢圓）形，也就是這種 形狀。

【評析：引導學生對雞兔的頭、身子、腿的數量及對應關系進行觀察，提煉出身子的形狀，為后面畫身子、畫腿做了鋪墊。這有別于大多數教學設計“用圓或橢圓表示頭，在頭上畫腿”的不合情理的教學設計。】

二、創設情境，導入新課

師（課件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串門，發現阿姨把養的雞和兔關進了一個籠子里。他就問：“為啥關在一個籠子里？”阿姨說：“家里只有這一個籠子，晚上把它們關在一個籠子里睡覺好管理。”小明又問：“您養了多少只雞，多少只兔？”阿姨說：“籠子里的雞和兔共有8個頭，20條腿，你就自己算算吧。”“啊！這也需要數學？”

師：是啊！生活中到處都要用到數學。為了方便，我們先結合這個問題產生的背景給它起個名字，然后幫幫小明吧。

生2：叫“籠子里的雞兔問題”。

生3：名字太長，也沒說明是同一個籠子。叫“雞兔同籠”吧。

師：同學們真善于動腦筋。我國古代的勞動人民早就給它起了“雞兔同籠”問題這個名字，既簡短，又能反映其產生的背景。這節課，我們就來探討這個問題。（板書課題：雞兔同籠問題）

【評析：教者從創設生活情景入手，既體現了數學與生活的密切聯系，又使問題的引出水到渠成。】

三、誘導啟發，主動探索

師：同學們都喜歡畫畫，看看能不能用畫畫數數的辦法來解決這個問題呢？當然，沒有必要像美術課那樣去畫，只要簡單地畫出來，能體現題目中雞和兔子的有關數量關系就行。可不知道各有幾只，畫多少個雞頭、兔頭好呢？頭的差異又比較大，難畫，畫錯了改的時候也麻煩。怎么畫好呢？

生4：一個頭對應一個身子，身子都是扁圓形，先畫身子，再畫腿，確定了雞和兔后再畫頭。

師：同學們真善于動腦筋。那就用 表示身子，用一道豎杠“|”表示一條腿試試吧。少畫了補上好辦，多畫了擦掉麻煩，不多畫當然最好。

（教師巡視，以便選擇不同畫法的學生回答）

師：我看到同學們都畫完了，也都畫對了，而且畫法好多啊！有的先全畫成雞；有的先全畫成兔；有的先畫2只雞，再畫6只兔；有的先畫5只雞，再畫3只兔；有的先畫4只雞，再畫4只兔；有的按一只雞一只兔的順序畫；有的按兩只雞兩只兔的順序畫；等等。結果都是——

生（齊答）：6只雞，2只兔。

師：由于時間關系，老師下面請三位同學把畫的過程說出來。

生5：我先畫了8個身子，再在身子下畫腿。考慮到多畫了還得擦掉，就把它們當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，比實際的20條腿少4條腿，需添上4條腿。一只兔比一只雞多兩條腿，畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了兩只雞上，所以兔有2只，雞有6只。

師：這個同學很善于動腦，思路很清晰，表述得也很好。

生6：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我估計雞應該多，就先在5個身子下畫2條腿當雞，在3個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了22條腿，比20條腿多2條腿，就把畫4條腿的一個身子擦掉了2條腿改成雞，所以兔2只，雞6只。

師：這個同學首先進行了估計，思路也很清晰，值得我們學習。

生7：我也先畫了8個身子，再在身子下畫腿。我喜歡兔，就先在每個身子下畫4條腿當兔，數一數畫了32條腿，比20條腿多12條腿，就每個擦去2條腿改成雞，擦到第6個時就一共擦去了12條腿，所以6只雞，2只兔。可惜我喜歡的兔太少了。

師：這個同學從喜歡的角度出發開始畫，思路也很清晰，表述也很好。老師也給出了多種畫法，就包含這三位同學的畫法。同學們比較一下這三種畫法，哪種最簡單呢？（展示課件，讓學生瀏覽）

生8：第一種畫法簡單，沒多畫腿，省了擦的工夫。

師：以后我們解題時，既要善于探討不同的方法，又要比較哪個方法更好，爭取掌握最好的方法。

【評析：不同畫法的展示及優劣比較，既培養了學生的發散思維能力，又滲透了數學優化思想。尤其是讓學生把畫的過程用語言表述出來，實際上是解決問題思維過程的展現，有利于學生思維的清晰化、條理化、系統化，以及方法的內化和語言表達能力的培養。】

四、抽象提煉，思維升華

師：既然大家都認為第一種畫法簡單，我們一起把這種畫畫數數的過程邊說邊用算式來表示一下。

師（課件展示過程）：把8個身子當雞來畫，在每個身子下畫2條腿，數一數畫了16條腿，可以列成——

生9：2×8=16（條）腿。

師：比實際的20條腿少4條腿，可以列成——

生10：20-16=4（條）腿。

師：一只兔比一只雞多兩條腿，可以列成——

生11：4-2=2（條）腿。

師：畫的每只雞上添2條腿就改成兔，4條腿添到了2 只雞上，所以兔有2只，雞有6只。可以列成——

生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）雞。

師：同學們真棒！寫出畫的過程太麻煩，我們把能用式子表示的語言替換下來，寫成下面的解法。

解：全當做雞，有2×8=16（條）腿，比實際少20-16=4（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，兔有4÷2=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們看，簡單吧？

生：簡單。

師：以后我們再解這類問題就沒有必要真的去畫，只要在自己大腦里展現畫的過程，邊說邊寫就行了。

【評析：首先，教者不厭其煩地引導學生從畫法中提煉、抽象算式的做法有著重要的意義。這種把漢語語言轉化為數學語言過程的展現，有利于學生掌握轉化的方法，為升入高年級解數學應用題奠定了基礎。因為，解應用題的實質就是實現這兩種語言的轉化。同時，也有利于學生的認知由具體運算階段向形式運算階段過渡，由具體形象思維向抽象邏輯思維發展。

其次，教者在畫畫數數方法的基礎上進行提煉、升華，呈現出了用假設法解決雞兔同籠問題的解題過程。這一渾然天成的處理方式，既抓住了兩種方法之間的聯系，又展現了假設法的實質就是畫畫數數解決問題的這一學前兒童都能掌握的方法，實現了兩種方法的統一，有利于學生掌握。另外，假設法出而不點的處理方法還是很有新意的，既避免了不同方法的羅列，又避免了學生產生新的疑惑。】

師：同學們能仿照著老師寫解法的過程，把第二和第三種畫畫數數的過程，邊說邊寫嗎？（課件展示畫法及畫圖過程）

（教師巡視指導，讓兩個學生板演）

生13：寫第二種。

解：5只當做雞，3只當做兔，共有2×5+4×3=22（條）腿，比實際多22-20=2（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），雞有8-2=6（只）。

答：有6只雞，2只兔。

生14：寫第三種。

解：全當做兔，有4×8=32（條）腿，比實際多32-20=12（條）腿。一只兔比一只雞多4-2=2（條）腿，雞有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。

答：有6只雞，2只兔。

師：同學們都寫得很好（課件展示這兩個解法）。大家都掌握這個問題的解法了嗎？

生（齊聲答）：掌握了。

【評析：教者首先示范，再讓學生去抽象、提煉解法，既發揮了低年級學生模仿性強的優勢，又可促進學生抽象邏輯思維的發展。尤其是三種不同假設法的展現，打破了大多數書籍、教學論文中只假設全是雞或全是兔的做法。事實上，若雞和兔共有n個頭，可以假設有m（0≤m≤n）只雞（兔）來解答。】

五、鞏固拓展，建立模型

師：前面說過，我國古代的勞動人民早就提出了雞兔同籠問題。大約在1500年前，數學著作《孫子算經》中就有一個這樣的問題。（課件展示）“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

師：雉就是雞，足就是腳，幾何是指多少。用現代話來說是“現在有若干只雞和兔在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問雞兔各有幾只？”

師：同學們幫古人解決這個問題好嗎？要邊在大腦里畫，邊說邊寫解法。

（學生獨立練習，小組交流自己的解法）

師：《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題還漂洋過海傳到了世界上很多國家，如日本、俄羅斯等。人們又仿照它編出了“龜鶴問題”、“人狗問題”等，這說明了它具有重要的價值。其實，“雞兔同籠”問題不是一個題，而是一類問題，畫畫數數的解題過程可作為一個模型用來解決很多類似的問題。

師（課件展示）：這個問題就屬于“雞兔同籠”類問題。老師買了兩種不同的圓珠筆共16支，一種每支3元，另一種每支5元，共花了62元。問兩種圓珠筆各買了多少支？

生15：這里沒有雞和兔啊？

師：不要緊啊，我們可以把每支3元的圓珠筆當成“1個頭，3條腿”的“怪雞”，把每支5元的圓珠筆當成“1個頭，5條腿”的“怪兔”。這樣，16支變成了什么？62元變成了什么？

生16：16支變成了16個頭，62元變成了62條腿。真有意思！

師：那就在大腦里想象畫畫數數的過程，邊說邊寫，把解法寫出來吧。可要靈活啊！

生17：全當做是3元的圓珠筆共花3×16=48（元），比實際少62-48=14（元）。1支5元的圓珠筆比1支3元的圓珠筆多花5-3=2（元），所以5元的圓珠筆有14÷2=7（支），3元的圓珠筆有16-7=9（支）。3元的圓珠筆有9支，5元的圓珠筆有7支。

師：大部分同學解的都很好，只是個別同學把圓珠筆真的寫成了“怪雞”、“怪兔”。我們說可以當做 “怪雞”與“怪兔”，但不要機械地往上套啊！

【評析：教者通過對有關史料的介紹，在傳承我國古代數學文化的同時，也使學生體會到我國文化的博大精深，有利于學生民族自豪感的培養。另外，讓學生感受問題的變式，使其解法成為解決這類問題的模型，既滲透了建模思想，又有利于學生的靈活應用。】

六、課堂小結

師：今天我們學習了什么內容？你有什么收獲？

生18：學習了“雞兔同籠”問題，會解這類問題了。

師：這類問題難不難？

生：不難。

師：這可是五六年級的哥哥姐姐們才學的呀！

生：啊！

師：這說明只要我們勤動手、勤動腦，數學一點都不難。也說明同學們真棒（伸大拇指）！最后請同學們在大腦里再畫一遍，嘴里默默地把過程再說一遍好嗎？

生：好！

【評析：通過回顧總結，讓學生對知識進行梳理，再次鞏固和內化了解“雞兔同籠”問題的數學模型。最后揭示該問題是五六年級所學知識，使學生樹立了信心，培養了學生的自豪感。】

七、課后作業（略）

總評：“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的有名的古算題。由于解決這個問題的思 維含量高，人們常常拿它來考察一個人的智力狀況，也成了小學高年級奧數的經典題型，現已進入小學五六年級的數學教材。因此，讓二年級的學生掌握這類問題的解法，是一具有挑戰性的教學任務。當我的學生劉慧進行課外實踐，提出想給二年級學生講這堂課時，我為她捏了一把汗。沒想到的是，她的教學設計取得了很好的教學效果，不僅深受學生歡迎，還得到了任課教師的好評。總之，這是一堂出色的課，除了穿插的評析外，再指出以下幾點。

1.符合學生的認知和思維發展水平是本節課成功的關鍵

教學從畫畫數數入手，抽象與提煉解法時要求學生腦子里想象畫法、邊說邊寫，以及解法用語言與式子混合寫出，沒有只用算術表達式（含綜合算式）等，均符合二年級學生的認知發展與思維發展水平。

2.引導到位，放收合理

篇6

“雞兔同籠”問題始見于公元3～4世紀的《孫子算經》，該書作者不詳。從清代的《子部集成?科學技術?數理化學?孫子算經?孫子算經（宋刻本）?卷下》中看，“雞兔同籠”問題的敘述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何。”［1］（見圖1）

其中的“雉”是“野雞”的意思，“幾何”是“多少”的意思。用現在的語言可以把這個問題敘述為：“雞和兔在同一個籠子中，總頭數為35，總足數為94。問雞和兔各有多少只？”《孫子算經》中對這個問題的解法分為如下的四個步驟：

第一步：上置三十五頭，下置九十四足

我國古代是用算籌進行計算的，所謂“算籌”就是用于計算的小棒，是古人用于計算的一種工具。這里所說的“上置三十五頭，下置九十四足”，就是把題目中的頭數“35”和足數“94”用小棒分別擺在上面的位置（上位）和下面的位置（下位）。（見圖2）

古人用算籌表示數時，擺放方式分縱式和橫式兩種。通常用縱向小棒擺放個位數字，橫向小棒擺放十位數字，以后依次縱橫交替擺放。比如“35”就擺放成如圖3形式。

如果橫向擺放的數大于5，就用縱向小棒代表5，比如圖2中的“”就表示5＋4＝9。

第二步：半其足得四十七

意思是求出下位總足數94的一半等于47。圖2就變成了圖4的形式。

圖4中“”上面的橫向小棒表示“5”，下面兩條縱向小棒表示“2”，因此“”表示5＋2＝7。

第三步：上三除下三，上五除下五

這里的“除”是“除去”或“減少”的意思，“上三除下三”就是“從下位四十七中除去與上位相同的三十”，“上五除下五”就是“從下位四十七中除去與上位相同的五”。（見圖5）

用現在的語言說，就是從47中減去35為12，得到兔子的只數。這一過程在《孫子算經》的“術”中叫做“以少減多再命之”（見圖1），意思是以少減多之后，下位“總足數”的含義發生了改變，需要重新命名，也就是把“總足數”重新命名為“兔頭數”。（見圖5）

第四步：下有一除上一，下有二除上二即得

與前面類似，這句話的意思是用總只數35減去兔只數12就得到雞的只數了。上位的“總頭數”需要重新命名為“雞頭數”。（見圖6）

以上算法的合理性并不難理解。總足數94取半成為47，此時相當于所有雞都成為了金雞獨立的“獨足雞”，所有兔都站立起來成為了“雙足兔”。此時每只雞的頭數和足數都是1，每只兔的頭數是1，足數是2，所以用47減去總頭數35就得到兔的只數是12。最后用總頭數35減去12就得到雞的只數。《孫子算經》中把這一算法概括為：“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得。”不妨稱此方法為“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈現這一過程。

二、 《算法統宗》中的“雞兔同籠”

“雞兔同籠”問題后來又收錄于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法統宗》第八卷的“少廣章”。［2］（見圖7）

其中對問題的敘述把“雉”改為了“雞”，因此“雞兔同籠”的說法沿用至今。《算法統宗》中對問題給出了兩種算法，這兩種算法與《孫子算經》中的算法是不一樣的，相當于現在所說的“假設法”。第一種算法的過程為：

第一步：“置總頭倍之得七十”，意思是將總頭數35加倍，也就是乘2，得到70。

第二步：“與總足內減七十余二四”，也就是從總足數94中減去70得到24。

第三步：“折半得一十二是兔”，將24折半（也就是24除以2），得到12，這就是兔的只數。

第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足數4乘12，得到兔的總足數48。

第五步：“總足減之余四十六足為雞足”，用總足數94減去兔的總足數48得到46，就是雞的總足數。

第六步：“折半得二十三”，將雞的總足數46折半（46除以2），就得到雞的只數為23。

另外一個算法是先求雞的只數，與前面先求兔只數的程序基本相同，這一算法可以用下面表格的形式呈現出來。

《算法統宗》中關于“雞兔同籠”問題的兩個算法，在書中概括為兩句話：“倍頭減足折半是兔”和“四頭減足折半是雞”（見圖7）。第一句話的意思是把求兔只數的過程分為了倍頭、減足和折半三個步驟，“倍頭”就是把總頭數35加倍變成70；“減足”是用總頭數94減去70得到24；“減半”就是取24的一半得到兔子的只數為12。這個過程寫成如今的算式就是：

（94－35×2）÷2＝12（只）

第二句話的意思是把求雞只數的過程分為了四頭、減足和折半三個步驟，“四頭”就是用4乘總頭數35得到140；“減足”是用140減去總足數94得到46；與求兔只數的過程類似，“折半”就是取46的一半得到雞的只數23。寫成算式就是：

篇7

二、“雞兔同籠”問題的教學片段摘記

片段一：“畫一畫、劃一劃”開始部分

生1：老師，我不會畫雞，更不會畫兔。

生2：不用畫雞，也不用畫兔，只要簡單畫雞頭雞腳和兔頭兔腳就可以了。

師：你的簡單法是怎樣的呢？

生2：圓圈表示頭，雞下面畫兩豎表示兩只腳，兔下面畫四豎表示四只腳。

師：（出示圖a）這個圖片表示什么？誰能看懂？

生3：6個正方形。

生4：6只雞或兔，一個正方形表示一只雞或兔。

生5：應該是表示一只雞和一只兔，左邊一列表示一只雞，2個正方形表示雞有兩只腳，右邊一列表示一只兔，4個正方形表示兔有四只腳。

師：（出示圖b和圖c）這兩個圖片又分別表示什么，誰能看懂？

生6：圖b表示8只兔有32只腳，圖c表示8只雞有16只腳。

生7：我不完全同意你的觀點，我認為虛線表示“不確定”，這兩個圖表示的就是例題1，雞兔共8只，但腳還沒有畫好。

師：那怎樣才算畫好？

生8：圖b顯然腳數大大超過26只，要劃去一些，圖c顯然腳數不足26只，要再畫上幾只。

……

我的理解：以上教學事實說明，學生可以通過這樣的圖形去理解“雞兔同籠”的問題，這樣的圖形比用圓圈和線段表示的方法更簡單，凌亂的線段之“腳”顯然不如連成一片的方框之“腳”，這樣的“腳”顯然更富數學意義；這樣的圖形更能說明問題，學生可清晰地知道，一只雞與一只兔的轉換，腳數改變2，這樣的“畫一畫、劃一劃”的方法具有現實的教學意義與價值。我堅信，二年級學生適用的直觀手段，對于五年級學生來說，適用性是值得懷疑的，是需要改進的。

片段二：其他方法的自主探究后的交流之一

生1：我是從雞兔各半的情況開始想的，3×8=24只腳，26-24=2只兔，兔比雞多兩只，所以雞有（8-2）÷2=3只，兔有5只。

師：3×8=24只腳，哪種動物有3只腳？（生大笑，以為該同學說錯了）

生1：沒錯啊，我說雞兔各半的話，把兔子4只腳中的一只腳看做對應的一只雞的腳，這樣這對雞和兔就各3只腳。題中雞兔共26只腳，多了2只腳，說明這兩只兔子沒有對應的雞，沒有借出自己的1只腳，所以兔比雞多2只。

師：你們聽明白了嗎？我們一起來畫個圖（見前，圖略，教師在畫出圖形后，進一步提出“三腳法”的另一種情況：按1頭3腳計算，腳數比已知腳數多。面對老師的圖形表示，學生驚嘆：哇，原來是這樣的！）

……

我的理解：想不到“三腳法”被第一個提出，為什么？我和那些語文老師交流這類問題時，語文老師一般也是從雞兔各半或很接近的情況開始的，難道是中庸之類的哲學影響在發揮作用？ 通過畫圖，為學生展示了這種方法的幾何意義，學生更能接受這種方法。

片段三：其他方法的自主探究后的交流之二

生1：我們剛學過方程，所以我選用方程的方法。

解：設雞有x只，則兔有（8-x）只，根據題意得：2x+4（8-x）=26，但是這個方程我解不好。

師：誰能幫幫他？

生2：第一步去括號，2x+32-4x =26，交換2x與32的位置，得32+2x -4x =26，加2x減4x相當于減2x……

師：還可以怎樣列方程？每人做一做……

生3：我的方程是4x+2（8-x）=26，我發現這樣列方程比較容易解。

師：好的，原來把腳數多的動物只數設為未知數，解方程比較方便，我們能把這個方程用圖形來表示一下嗎？（略，見前。）

……

我的理解：方程法應該是本課的學習重點，但用方程法解決問題時學生解方程的能力，往往被教師疏忽。我之所以要讓全體同學用方程的方法練一練，不僅要求每個學生掌握這種方法，而且要讓學生明白，把腳多的動物只數設為未知數，解方程時可以避免出現學生現有知識水平難以支撐甚至不能支撐的情況，這種方法應該是“雞兔同籠”問題教學的重點方法。通過畫圖的方法，學生明白了兩個不同的方程表達的意義，明白如何設未知數可以給自己解決問題帶來方便。

片段四：《孫子算經》的論戰

師：今天我們學習了“雞兔同籠”問題，讓我們看看《孫子算經》原題“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，問雞兔各幾何”，你能用現在的話來表述嗎？

生：雞兔35頭，94腳，雞、兔各幾只？

師：你會幾種方法？你喜歡什么方法？

生1：我會假設法和方程法，我喜歡方程法。解：設兔有x只，則雞有（35-x）只，方程是4x+2（35-x）=94。

生2：方程書寫麻煩，我還是喜歡“三腳法”，3×35=105只，105-94=11只，說明雞多11只，（35+11）÷2=23只，兔有12只。

生3：方程書寫麻煩，我也還是喜歡假設成“全部是雞”，比實際少多少腳就換相應的兔。35×2=70（只），94-70=24（只），24÷2=12（只），兔12只，雞23只。

生4：我還是喜歡畫圖法的。

師：你準備畫35列正方形方框？

生4：那也不必，用省略號表示一下也可以。我看題目中的頭數與腳數，我估計雞多兔少，我先省略20只雞，5只兔，共60只腳，余下10頭35腳，這樣也可以畫出來。

師：你對畫圖的方法進行了改進，老師覺得你很有創造精神。就使用是否方便的角度而言，你覺得選用什么方法比較方便？這個問題每個同學自己想一想。

……

我的理解：從哪里來，到哪里去，我們回到了課的出發點。但是，這時的學生不僅能解決這一問題，而且能選用自己喜歡的方法解決，這是一個更高的學習出發點。學生嘴上的選擇，出于多種原因，有時候不一定與真實的選擇相符，這就需要老師的引導，盡量使學生走上“通式通法”之路。有一定創新的畫圖法是好的，有一定古典人文價值的假設法也是好的，但我認為就是學生認為“書寫麻煩”的方程法，才是學生最應該掌握的方法。

三、“雞兔同籠”問題的教學思考

以新的圖形表征方法為依托，這一問題的一次教學嘗試獲得了一定的成功，我還希望在下次的教學中能繼續用這一方法，其他老師也能采用這一方法。

在“畫腳法”這一環節中，我們發現，與原來用圓圈與線段表示的方法相比，用正方形小方格列表示這一方法更具可操作性，更富數學化傾向，若一定要選用“畫腳法”，則可以思考我們的方法。

篇8

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-3712（2014）26-0027-03

[作者簡介]楊金珠（1983―），女，江蘇南京人，本科，南京市江寧實驗小學教師，小學一級。

蘇教版六（上）解決問題的策略（假設）是在學生已經學習了畫圖、列表、一一列舉和倒推等策略基礎上又一次有關策略的學習，許多課外輔導用書和提優訓練都把此類問題稱之為“雞兔同籠”。解決此類問題需要學生具備較高的思維水平和邏輯推理能力。

一、了解學生學習情況

為了全面掌握學生知識情況，筆者課前對所教兩個班級103名學生進行“學習前置”（只做“自主探索”部分）。

表1學生預習表

江寧實驗小學六年級數學（上）第七單元

姓名

預習日期年月日

課題解決問題的策略（2）

自主

探索

例2：全班42人去公園劃船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？

想一想：你能用已學過的策略解決這個問題嗎？

結果統計如表2。

表2學生預習情況統計

從上表信息可知：學生想到用列表方法（含多種方法中的列表）解決的有50人，占49%；畫圖9人，占8.7%；算式54人，占52.4%；方程14人，占13.6%。通過分析能看出學生解決此類問題時所使用的一般方法是列表法和假設法。接著，筆者對學生做了進一步調查。

師：你是怎么想到用這些方法的？

生1：我們在五年級學過一一列舉，這道題目數字不大，我一個一個列出來就能找到答案了。

生2：畫圖的方法比較直觀，好理解。

生3：這學期第一單元我們學的就是方程，根據等量關系就可以列出方程，不過怎樣解方程是我爸爸教的。

生4：我在輔導班的時候學過用假設法求解。

師：對于用假設法列出的算式你能解釋每一步表示的意義嗎？

生4：我只是記住算式模型。

通過訪談，可以較客觀地了解到學生對于此類問題的一般思考過程和個體間的思維差異。教學中要尊重這種差異，充分展示彼此間不同的觀點和想法，在多維立體互動中不斷對學生差異進行比較、修正和提升。而這，無疑是需要教師進行思考和正視的。

二、教學案例分析

（一）列表

1.陳諾：我先從9只大船1只小船開始想。9只大船1只小船可以坐50人，比42人多，8只大船2只小船……

生1：當我們列舉出“6只大船4只小船”正好坐42人時，下面就不要再列舉了。因為隨著大船的增加，小船的減少，人數會越來越多，肯定不符合條件。

師：對于這張表格的數據同學們有什么發現？

生2：每增加1只大船，減少1只小船，人數會多2人。

生3：我補充一下，應該有個條件“船的只數10只”要保持不變。

一一列舉是學生以前學過的策略，這其中就蘊含了“假設”的思想，學生通過同學對列表方法的介紹，初步體會“假設”思想在列表中的運用。同時，與以前所學的一一列舉答案的多樣性不同，此類題目答案是唯一的。

師：我覺得應該從“10只大船0只小船”開始想。雖然“10只大船和0只小船”一看就知道不符合條件，但如果寫出來的話，這樣列表就會很有序。

（用紅筆補上“10只大船0只小船”）

假設策略的重心是假設后的調整，調整的過程實質上是替換的過程。在“一一列舉”中其實就蘊含“一一替換（1只小船替換1只大船）”的思想。當教師提出需要補上“10只大船0只小船”時，“10大0小”或“0大10小”正是下面學生畫圖、假設法的基礎，這樣從學生熟知的列表法切入符合學生的實際。

2.唐沛年：我和陳諾的方法有點不一樣，我是從1只大船9只小船開始想的……

生1：我發現陳諾列舉的次數多。

師：你能解釋其中的原因嗎？

生1：當我們假設9只大船1只小船時，總人數是48人，48離42很近。而1只大船和9只小船總人數是32人，離42比較遠。

生2：有價值的發現！如果從不同的角度思考，替換次數會有不同。

生3：應該像陳諾那樣補上“0只大船和10只小船”的情況。

設計意圖：學生兩種不同的列表方法實際上就是兩種不同假設法的原型。在這里通過師生對話、生生互動，為下面調整假設策略解決問題做了提前滲透和有力鋪墊，可謂“未成曲調先有情”。

3.岳晨曦：我先假設有5只大船和5只小船，可以坐40人，然后4只大船6只小船發現人數少得更多，所以應該是6只大船4只小船。

師：是的，當岳晨曦先假設“5大5小”時發現和42人是有“差距”的，岳晨曦先用向小船方向調整，發現人數少更多，所以才向大船方向調整，誰能解釋其中的道理？

生：當5只大船5只小船時坐40人，比42人少，所以應該增加大船減少小船，因為大船能坐更多的人。

設計意圖：調整可以是“漸進式”的，也可以是“跨越式”的，無論從哪個角度想起，重點都是要讓學生借助表格感受為什么要把大船換成小船或者為什么要把小船換成大船，以及因為“換”而帶來的人數變化。充分展開這個過程，使學生深刻體會調整的目的、方向和方法，進而初步形成調整意識。

（二）畫圖

陶致遠講解畫圖過程。

師：陶致遠為什么一次只畫去2人？

生：一只小船替換一只大船只能少2人。

師：誰能把陶致遠和陳諾的方法聯系來說一說？

設計意圖：借助圖示，結合學生的講解把結果的呈現過程化、動態化，清晰呈現畫圖過程。并與列表方法相互比較，相互驗證，相互啟迪。這其中算式方法的雛形已初見端倪，使學生對假設策略的認識進一步接近其核心和本質。

（三）算式

蔣霏凡介紹自己的思考過程。

師：同學們，“數形結合”是一種重要的思想方法，你能不能根據陶致遠的“圖”來解釋這位同學的算式呢？

設計意圖：細細分析列表、畫圖和算式，可以發現都有假設和替換的影子。某些時候，它們的思路完全一致。“打通”這些方法的聯系，讓學生通過不同的方式理解同一種策略，理解會更深刻。

師：明明假設的全是大船，怎么求出來的卻是小船呢？

（學生一時難以回答，沉默片刻后，從畫圖方法中找到了解釋）

生1：因為假設全是大船，會多算出8人。

生2：把多算的8人要“趕下船”，1只大船“趕”下兩人后就變成小船，因為要“趕”4次，就變成了小船。所以假設全是大船，求出來的就是小船。

生3：如果假設全是小船，求出來的就是大船。

設計意圖：為什么明明假設的是大船，求出來的卻是小船？這歷來是不少學生的困惑之處。在這里，教師應放大這個環節，在反問、追問中，放慢進程，借助表格的直觀、示意圖的支撐、形成式的凝練，理解掌握假設法的內涵和本質，在此基礎上抽象出一般算式方法。

三、分析總結

通過列表和畫圖不難發現，隨著小船數量的逐一增加，總人數逐次減少2人，正是這一基本的變化規律，我們很容易得出“如果人數要減少2人，應該將一只大船‘變成’小船，反之，人數要增加2人，應該將1只小船‘變成’1只大船”。進而思考：如果人數要減少8人（增加12人），應該將幾只大船（小船）“變成”幾只小船（大船）？有了這些觀察思考的基礎，在列表和畫圖中就找到了“假設法”的影子。如果說第一次列舉被視為假設的前提，那么接下來就可以根據人數的差距，計算出應該將多少只大船（小船）“變成”小船（大船），就能解決一共有多少只大船和多少只小船的問題。由此，解決“雞兔同籠”一類問題的典型方法――假設法，便躍然紙上。這樣教學不僅切合教材的實際，而且切合教學的實際，更是切合學生的實際。

參考文獻：

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中圖分類號：G421；623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）17-0044-01

綜合與實踐活動越來越被廣大學者、教師所重視，在小學數學中體現得尤其明顯。小學階段是學生思維開發與發展的最佳時期。根據學生的年齡特點，作為教師和各級教育研究人員，提高小學數學綜合與實踐活動的有效性，對活動進行合理設計迫在眉睫。

一、精心設計問題，開展實踐活動

在綜合與實踐活動中，學生的學習更加注重生活實踐，所以教師在數學問題設計中，要突破傳統教學中對數學應用問題以人為編造為主的模式，注重數學與生活的聯系。結合學生的知識經驗，結合教材內容，設計一定的問題，讓學生對所學知識進行多方面的思考與創新。例如，在小學數學六年級課本當中，學生要學習“扇形統計圖”這一知識，需要學生學會畫圖和計算各分量所占總量的百分比。針對這一學習內容，教師可以結合學生生活進行設計。比如，可以讓學生詢問班級同學們的體育運動愛好情況，然后根據調查的數據制作扇形統計圖。首先學生列出三到四項常見的體育運動，然后去詢問同學，通過畫‘正’字的方法進行數據收集，最后得出同學們參加各項體育運動的人數。再分別計算出參加各項體育運動學生人數所占全班人數的百分數，最后畫出扇形統計圖。學生通過親身實踐收集數據，進行整理加工，繪制統計圖，使得學生對這個知識點理解得更加輕松和透徹，激發了他們對數學的學習興趣。

二、注重動手操作，發展學生創新思維

動手操作有利于開發學生創造力，促進學生大腦和語言的發展，能夠有效培養學生各方面的能力，尤其是能培養學生的創新能力。學生動手能力培養在小學低年級尤為重要，數學教師一定要引起高度重視，把培養學生動手能力落到實處。在小學課本中，有一節知識“有趣的七巧板”，利用這節知識，能夠對學生動手操作能力進行培養，還能夠培養學生的想象力和創造力。在這節知識的學習中，教師如果只是拿著課本說應該怎么做，不應該怎么做，顯然對培養學生動手操作能力、想象力和創造力作用不大，并且還會遏制學生思維的發展。教師如果讓學生自己動手操作，與同學進行交流，相互欣賞，學習效果就會大大提高，而且能培養學生動手能力、合作能力，更重要的是能夠培養學生的創新能力。

三、滲透數學思想，發展思維能力與合作能力

學生在數學學習中，學習知識固然十分重要，但是思想方法的掌握也不容忽視。在開展綜合與實踐活動時，教師要多組織學生進行交流與合作學習，并在教學當中滲透一些主要的數學思想。例如，在小學六年級數學課本中講到了“雞兔同籠”的問題，這一學習內容對于學生來說，有一定的學習難度。為了幫助學生理解，教師可以先出示這樣一個題目，雞兔同籠，有15個頭，50條腿，問雞和兔子各多少只？在這個問題的解決中，教師要發揮引導作用，牢記課堂的主角是學生，要充分發揮學生的主體作用。教師讓學生先用自己的思維方式自主地嘗試解Q，并且把自己的想法和思考進行記錄與小組同學進行交流探討。學生通過相互交流可以得出很多種解題方法。即：列表法、假設法和列方程。列表法和假設法對于六年級的學生來說比較容易理解，而列方程是屬于學生新接觸的知識，因此，教師可著重引導學生理解用方程解決問題的方法。下面是采用列方程的方法解決“雞兔同籠”這一經典例題的解題過程。由題意可知，雞和兔子一共有15只，且雞的腿加上兔子的腿一共有50條。先假設在15個動物之中，有x只兔子，那么雞的數量就是（15-x）只。我們知道兔子有4條腿，雞只有2條腿，根據題目所給的數量關系，可以列出以下方程，即：4x+2（15-x）=50，化簡得2x+30=50，最終就可以計算出 x=10，15-x就是5，就可以得出兔子有10只，雞有5只。在解決這個問題的過程中，教師要讓學生自主進行合作交流，思考解題方法，同時還要讓學生自行解決難度較大的這種類型的數學題，以鞏固學生所學。在運用列方程的方法解決實際問題時，學生進行了較好的合作，都能做到開動腦筋想辦法，學生的思維能力和合作能力得到了培養。教師必要的指導和在問題解決中滲透數學思想，再加上學生的實踐，會對學生以后數學學習具有實質性的幫助，學生的思維能力、合作能力、創新能力都得到了培養。

四、結束語

綜合與實踐活動的開展，為學生知識經驗的積累打開了一扇門，提升了學生的數學創新精神和實踐能力。對此，廣大教育工作者必須跟上教育改革的步伐，結合學生的學習特點，積極探索合理有效的教學方法，讓基礎教育越辦越好，為學生的成長成才奠定堅實的基礎。

參考文獻：

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然而在初中數學復習中，不少學生“一聽就懂、一看就會、一做就錯、一考就倒”，其原因就在于復習課教學的有效性不高。有效的課堂教學是指教學行為在達到教學目標和滿足學生發展需要方面獲得成功，是教學的社會價值和個體價值的雙重表現，既要關注學生當前發展，同時又要關注學生的未來發展，可持續發展。那么在新課標的要求下，怎樣進行數學復習課有效教學的設計呢？筆者結合自己的教學實踐進行了思考。

要上好每一節復習課，老師不能只是對已學過的知識進行簡單的重復，而要根據新課程標準對知識進行重點梳理，把握學科主干知識的內在聯系，精選例題，優化教學過程，對已學知識的重點、難點進行分析、講解，以便形成科學的知識體系，這樣才有利于學生理解和運用，達到事半功倍的效果。

一、明確復習目標，拓展數學思維

上好復習課的關鍵在于如何讓學生都有收獲，使后進生把以前不明白的真正并明白，優秀生也有新發現。如果復習課僅滿足于講題做題就太籠統。因此教師要合理定位，找準復習課的目標，具體要做到：

1.鉆研課程標準，增強學生信心。

教師要認真鉆研初中數學新課程標準，理解教學要求，充分認識到新課程的教學理念，認識到復習課的目標該定位在大部分還不達標的學生。這些學生覺得數學難，有畏難心理，從而導致復習失敗。教師要鼓勵這些學生樹立信心，認識到只要把握好復習的方法，人人都會有進步。數學有其自身的規律，這取決于他們在復習時是否有勇氣和毅力去改正，因此要幫助學生樹立上好復習課，學好數學的信心。

2.構建知識體系，滲透思維方法。

數學是思維性的學科，學生的數學能力取決于思維方法。復習教學中，要將知識點串成線、線形成面，進行復習，以便于學生理解，讓學生逐步形成應用數學思想方法的意識，以利于他們深層次地理解數學的核心內容，從而形成獨立分析問題和解決問題的能力。如“特殊的四邊形”的復習課，可以通過設置下面的問題幫助理清知識脈絡。

問題1：請說說平行四邊形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，直角梯形，彼此之間有什么聯系？

問題2：如何判斷一個四邊形是平行四邊形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形，直角梯形？

圖1 特殊四邊形關系圖

通過問題1的思考，利用維恩圖讓學生形成清晰的概念圖，明白外延；而通過問題2，讓學生填寫圖1箭頭方向上的各種條件而使學生清楚各種特殊四邊形之間的內在差異和變化聯系，把握內涵。用問題將相關知識（包括方法和技巧）自然、順暢、扎實地聯系起來，并有序地延展開去，能使知識得到深化拓展。

二、抓住復習重點，突破復習難點

復習教學要抓住重點，充分利用學生的固有經驗達到難點的突破。在教學過程中教師明確告訴學生這節課的重點是什么，難點是什么，讓學生做到心中有數，解決問題時有的放矢。

三、精選例題習題，優化教學過程

在明確復習目標，把握復習的重難點之后，教師要優化教學設計去實現教學目標，才能真正實現有效復習。

1.精心編寫例題習題。

要通過題目的解答過程為學生提供分析問題和解決問題的方法和模式，促進學習遷移。所以，在復習教學中，教師要精心設計題組進行訓練，將知識轉化為技能，使學生從題海中解脫出來，優化復習過程，實現有效復習。可以近幾年各地中考試題為基本素材，根據學生基礎設計例題、習題。讓不同層次、不同水平的學生都能輕松完成，既吃飽又吃好。

例如：有這樣一道中考題：課本中介紹我國古代數學名著《孫子算經》上有一道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾頭（只）？如果假設雞有x只，兔有y只，請列出關于x、y的二元一次方程組，并寫出你求解這個方程組的方法。

在指導學生解題后，筆者對原題又重新設計，要求學生分組合作解決。

改編1：今有雞兔同籠，上有三十五頭，問雞兔各幾頭（只）。請你和同學們探討二元一次方程的概念和解的概念。你能求出它的解嗎？

改編2：假如此題為：今有雞兔同籠，下有九十四足，問雞兔各幾頭（只）。你對二元一次方程組的解的概念又有什么發現？

改編3：對于本題的方程組x+y=35（1）2x+4y=94（2），請你用盡可能多的方法，求出方程組的解。

改編4：請歸納解二元一次方程組的基本方法有？搖？搖？搖 ？搖？搖和？搖？搖 ？搖？搖？搖。它的基本思想是？搖？搖？搖 ？搖？搖。

這些問題覆蓋了《二元一次方程組》中概念、解法和消元思想等知識要點，題目容易，又典型，便于學生總結。環環相扣的問題不僅可以激發學生探究問題的興趣，而且使學生學得主動，同時加深對知識的理解，有利于培養學生思維的靈活性和創造性。當學生經過努力完成問題解答沉浸在成功的喜悅時，老師又將一個看似熟悉但又不同的問題放在他們的面前。由于剛才的成功，他們不會放棄眼前的問題主動探究。老師從不同的角度透視問題，開拓了學生的思路，從而提高了他們的思維能力和探索能力。

2.設計不同難度例題。

復習課的教學設計要詳細明了，具有趣味性和挑戰性。教師要有自己的創新，大膽改革知識的系統性結構進行合理重組，要考慮讓不同的學生都有所收獲，問題設計要有層次性，結論要有開放性。不要只設計一些低難度的問題（基礎題可另外限時完成），要更多、更細地設計讓不同的學生有不同的結論的好問題。如在復習《方程、不等式、函數的綜合應用》時，筆者設計了以下問題：

某服裝店經營某種品牌的兒童服裝，有A、B兩種型號，其中A型號兒童服裝80元/套，B型號兒童服裝100元/套。

（1）聽說店里平均每天賣出兩種型號的兒童服裝共32套，銷售額為2800元，你知道平均每天分別售出A、B兩種型號兒童服裝各多少套嗎？

（2）已知店里平均每天賣出兩種型號的兒童服裝共32套，若欲使銷售額不低于2960元且不超過3000元，請你幫店主制訂出當天進貨計劃。

（3）又知店里某天賣出兩種型號的兒童服裝共32套，試說明如何銷售才能獲得最大的銷售額，并求出最大的銷售額。

（4）因為服裝質量不錯，價格合理，單是A型號兒童服裝的月銷量就從一月份的600套上升到三月份的726套，請你求出平均每月銷售量的增長率。

（5）由于季節原因，該店主欲對A型號兒童服裝進行降價處理，他先做了個市場調查，發現這種A型號兒童服裝每套每降價一元，就可多售出2套。已知A型號兒童服裝成本價為40元/套，現平均日銷量為20套。為了盡快處理掉A型兒童服裝，請你幫店主計算一下每套降價多少元時，可獲得1200元的利潤？

（6）在降價處理的過程中，店主欲獲得最大利潤，每套A型兒童服裝應售價多少元？并求出最大利潤是多少？（已知這種A型兒童服裝每套每降價一元，就可多售出2套。且知A型兒童服裝成本價為40元/套，現平均日銷量為20套。）

六個不同的問題存在同一背景下，六個問題的解決用到不同的知識：方程、不等式、函數，沒有貼標簽，又不給暗示的情況下，起到了“異步訓練”的作用，問題的設計符合學生的生活實際，易于學生理解接受。

三、引導學生主動探究

為了讓學生能形成良好的知識結構，教師在問題解決過程中應更多地暴露思維過程，通過問題的合理設置激活學生原有的知識經驗，啟發他們形成新的理解、新的認識。因此復習教學的有效開展離不開教師的科學引導，教學中突出以問題為主線，啟迪學生思考，使學生在課堂中深刻感受如何發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個過程，理解和認識發生和發展的因果關系，從而領悟到分析、思考和解決問題的數學思想方法，最終內化為自身知識結構的重要部分。如在復習三角形時，筆者就通過問題的設置及時引導學生主動探究。

如圖，已知點C是線段AB上的一點，ACM、CBN都是等邊三角形，求證：AN=BM.

本題的證明不難只需證CAN≌MCB即可，但在上課時，筆者并沒有到此為止，而是趁熱打鐵，讓學生結合圖形，深入討論，并引導學生證明以下結論：

（1）求證：ACD≌MCE，DCN≌CBE；

（2）連接DE，求證：CDE為等邊三角形；

（3）求證：DE∥AB；

（4）若AN與BM交于點O，求∠MOA的度數；

（5）取AN的中點G，BM的中點H，連接CG、CH、GH，求證：ACG≌MCH；

（6）求證：CGH是等邊三角形；

（7）若將CBN繞點C順方時針方向旋轉角α（α為銳角）后，以上結論是否還成立，為什么？

上述探討和證明思維指向清晰，復習目標明確，把原來相對孤立的知識點有效地串聯起來，優化學生的知識體系，能促進他們更深入地思考，引導他們從知識倉庫中提取用的東西，從而產生一個好的思路，使學生的思維不斷得以深化，知識得到拓展。

總之，為了提高數學復習課教學的有效性，我們必須以教學理論作指導，在課堂教學的設計上，必須符合學生的認知規律及各年級學生的特點，對問題生成單的設計，難度上要適中，方法上要典型，熟練地運用課堂教學的有效性策略，才能真正提高復習課的教學質量。

參考文獻：

篇11

二、親歷過程，學會探究方法

探索性學習是一個充滿著觀察、思考、實驗、模擬和推斷的過程，學生是否親自參與研究及探究，往往比結果更重要。學生自學能力、認識水平和數學素養的提高與形成，就是在對相關信息提取、加工、分析、處理的過程中發展生成的。下面介紹幾種課堂中經常用到的探究方法。

1.列舉法。即把事情發生的各種可能逐個羅列，并用某種形式進行歸納總結，從而得到問題的答案。數學學習中有許多實際問題，列式計算往往比較困難。如果聯系生活經驗，用一一列舉的方法就能比較容易地解決。如搭配問題：有兩件上衣，兩條裙子，一條褲子，一共可以搭配出幾套衣服？又如解決雞兔同籠問題也運用到列舉法。因此，一一列舉是解決問題的常用策略之一。而且在一一列舉的時候要有序地思考，做到不重復、不遺漏，這對發展思維也很有作用。

2.操作法。“我聽見了就忘了，我看見了就記住了，我做了就理解了。”這是華盛頓圖書館墻壁上的三句話。它形象地說明了動手操作的重要性，小學數學學習更要注重動手操作。學生自主操作、動手實踐、經歷探索知識的過程，對知識的理解才能深化，記憶才會牢固，推理才能嚴密。而“猜測―動手操作實驗―驗證―下結論”是探究性學習的一種常見的好方法。如擲硬幣猜一猜是正面還是反面，讓學生對正面和反面出現的可能性作出預測，繼而讓學生通過實驗來證明。通過每個人擲20次出現正反面的情況統計，學生發現與預測的結果相比有較大出入，這是為什么呢？從而引發學生進一步思考和探究，親身經歷和體驗科學研究問題的過程，掌握科學研究問題的方法。

3.調查法。數學知識與技能的獲取，一般是直接在課堂上通過創設問題情境，探索研究而獲得的。但有些課題需要學生對問題情境進行調查、統計，對所需要的數據進行搜集、整理、研究、分析。例如教學“統計買多少水果”一節，可讓學生自主在小組里調查每個同學喜歡吃什么水果，搜集小組每個同學喜歡吃的水果信息，然后進行整理分析，統計出哪種要多買，哪種水果可以少買。學生在這一活動中學會與人溝通交流，初步經歷統計的過程，學會簡單統計的基本方法與步驟，這樣的學習有利于從小培養學生的探索意識和創新能力。

4.推因法。數學學習效果究竟如何，衡量的標準就是學生對知識點，是否達到不僅知其然而且知其所以然的境界。例如在學習平行四邊形的面積時，很多同學通過課前預習就已經知道：平行四邊形的面積等于底乘高。這時候，老師就要進一步追問為什么通過底乘高就能求出平行四邊形的面積，從而引導學生探索把平行四邊形轉化成已學過的長方形，然后推導出平行四邊形的面積公式。由學生自己收集素材，自創探究方法，共同歸納、總結出科學知識，使學生感受知識“再創造”的探究過程，充分展示各自的才能，成為知識的發現者、探索者、創造者；充分體驗到成功的樂趣，更有利于培養學生的探索意識。

三、開放性練習，在自主探究中創新

教師要努力創造條件，使學生最大限度地發揮潛能，創造性地學習，從而培養創新精神。除在學習新知識時引導學生用不同的方法探究外，還可設計開放性練習，啟發學生在探索中創新。

篇12

一、農村地區初中數學教師課堂教學設計現狀

1.習慣以教材為中心

“為了每一位學生的發展”，是新課程教學改革的核心理念。素質教育課程改革實施以來，不少教師已經認識到以學生為中心開展教學設計的重要性，但在農村地區，受教育環境閉塞以及中考壓力的影響，數學教師依舊習慣于以教材為中心進行教學設計。在教師看來，教材上的教學內容是教學設計的出發點與落腳點，學生在課堂上獲得數學知識、掌握解題技巧即視為完成教學目標，很少有教師從學生角度出發開展教學設計。

2.教學設計認識不足

生本教育理念使教師的角色發生了翻天覆地的變化，相應

的，嶄新教學設計理念應運而生。新教學設計理念對教師課堂教學設計的更新發出呼喚，但是，通過對“我怎樣認識教學設計”這一問題的調查發現，大部分初中數學教師認為教學設計就是寫教案，忽略了“教學設計是一個動態過程”這一關鍵問題。這反映了教師對教學設計的認識不足，缺少對教案與教學設計有效區分的正確理解。

3.嚴重脫離學生生活

對教學內容的分析是數學教師開展課堂教學設計的基礎，教學內容是一個具有生命力、動態多變、開放性的系統，與學生生活的經驗世界緊密相關。因此，教師應根據教學內容靈活開展教學設計。但是農村初中數學教師在進行教學設計時并沒有考慮數學知識與生活的聯系，學生很難理解學習數學知識對于改造世界的重要意義，教學質量的進一步提高受到阻礙。

二、導致農村地區初中數學教師教學設計不利局面的原因

1.環境因素

農村地區經濟條件落后，初中數學教師所處的教學環境比較封閉，這對教學設計能力的提高造成一定影響。新課程教學改革要求教師創造性地使用教材，大膽地對教材進行二次創造，但教師反映，新課程參考資料匱乏、教學資源有限，對教學設計質量提高造成負面影響。

2.教師因素

高素質教師隊伍的建設困難重重，農村地區的初中數學教師普遍是本科文憑，有的教師甚至不是師范院校畢業，自身職業素質“先天不足”，加上后天“營養不良”，加劇了教學設計形勢的嚴峻。一些教師對教育教學觀念、數學課程學科規律、教育心理學等問題缺乏專業認識，職業素養頻頻扯后腿，他們自己也不知道如何提升教學設計能力。組織教研會議時，大多數教師都是自顧自，敷衍了事，導致教研名存實亡，教學設計能力的提高成為一句

空話。

3.學生因素

學生是教學設計的最終服務對象，教學設計以學生能力為前提和基礎。但在農村地區，學生成為制約教學設計質量提高的重要因素。新課程教學改革強調對學生學習方式的轉變與培養，因此教師開展教學設計的過程中嘗試突出學生的主體地位，但由于學生自身基礎知識儲備不足，他們經常跟不上進度，表現出厭學心理。學生明顯缺乏合作學習意識和自主探究能力，對數學學習興趣不高。

三、對策研究

1.深入與課程標準對話

《義務教育數學課程標準》是初中數學教材編撰、課堂教學組織、中考命題的根本依據，也是農村初中數學教師開展教學設計的根本參考。教師應當深入研讀《義務教育數學課程標準》，嚴格按照標準當中所提出的教學要求進行教學設計。

《義務教育數學課程標準》明確指出：“數學教育活動必須建立在學生的知識水平和已有的知識經驗基礎之上，教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分的從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的笛е識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，學生是數學學習的主人，教師是數學學習的引導和組織者。”這就明確啟示廣大數學教師，開展課堂教學設計的過程中應當充分考慮學生數學學習情感的激發，為學生提供參與數學課堂活動的機會，從而促使教學質量的提高。

以“一元一次方程”教學為例，筆者設計了一道經典問題：小梅數她家的雞與兔，數頭有35個，數腳有94只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？“雞兔同籠”是最常見的一元一次方程問題，大熱的綜藝節目中也曾經出現過這道題目。上課之前，筆者一在黑板上出示這個問題，底下學生就紛紛來了興致，絞盡腦汁想要找到答案。筆者趁勢導入一元一次方程知識，提示學生設雞的只數為x只，則兔為（35-x）只，即2x+4（35-x）=94，解得x=23，所以兔有12只。通過對“雞兔同籠”這一趣味問題的解答，一元一次方程知識順理成章被導入課堂，再開展方程教學學生就明顯配合得多。

2.深入與學生主體對話

學生是教學設計的主體，教師應當對學生情況有良好把握，并針對學生數學學習活動當中表現出來的具體情況，因人制宜、因時制宜開展教學設計。教師應當多與學生溝通，了解學生數學學習方面的具體需求，將教學設計的重點轉移到促進每一位學生發展這方面來。

班級學生人數多，不同學生數學學習水平不盡相同，教師應當將小組合作學習貫穿至課堂教學設計當中。學生可按照數學成績高、中、低，均衡結合成4～6人小組，實行組內幫扶學習制度。學習上一旦有任何需求，可嘗試先在組內討論解決，組內討論解決不了的，組長向教師反映，從教師處獲得幫助。借助于小組合作學習，不同學生學習需求得到有效滿足，而且在互幫互助之間，學生加強了交流與合作，優等生學習品質進一步升華，后進生學習水平進一步提高，班級學生整體學習能力的提高指日可待。

3.深入與鄉土資源對話

課程標準中指出：“教師應高度重視學科教學資源的開發與利用，創造性地開展各類活動，多方面提高學生收集、整理、分析材料的能力。”農村地區經濟面貌落后的局面一朝一夕難以轉變，教師不妨考慮如何在教學設計當中關注可利用的鄉土教育資源，轉變以參考書、教材為主要內容進行教學設計的方法，真正將數學課程內容延伸至學生生活的每一個場所。

例如，在“豐富的圖形世界”一課教學過程中，為了加深學生對球、圓柱、圓錐、長方體、正方體、棱錐、棱柱等基本幾何體的認識，教師可以聯系農村學生生活當中常見的事物進行教學設計。

比如，葡萄與球、水桶與圓柱體、磚頭與長方體、紙箱與正方體、吊錐線與圓錐、走馬燈與四棱錐等。又如，“數據在我們周圍”一課教學過程中可以設計這樣的任務：到本村調查10戶人家，了解本村某一年11月水稻的平均產量。通過這樣的調查任務，學生加深了對總體、個體、普查、抽查的理解，利用數學知識解決生活中問題的能力也得到了培養，可謂一舉兩得。

篇13

新課程強調教學要改變學生學習方式，大大加強探究式學習的比重，這就要求教師在教學中處理好學生自主與教師指導之間的關系，在合適的時機，合適的情境，合適的階段，開展非指導性教學。而不是僅把分析思考后得出的結論直接呈現在教材中，意在促進學生的主動學習和探索。教師要引導學生親歷探究過程，給學生自主活動提供機會和空間，當然，探究學習強調學生的自主性，但并不忽視教師的指導。應該特別強調教師適時的、必要的、謹慎的、有效的指導，以追求真正從探究中有所收獲，包括增進對世界的認識和學生探究素質的不斷提升，從而使學生的探究實踐得到不斷提高和完善。下面結合新教材的特點，談談本人在數學課堂教學中讓學生自主學習的一些體會。

1.創設問題情境，激法興趣能培養學生自主學習的能力

激法興趣有于學生自主學習方面下了苦功，如學習導語引人，強調以圖代文等，教師要注意利用教材中的素材，促進學生的學習興趣。亞里士多德曾說過："思維是從驚訝和問題開始的"。學生的創新想法、創造活動往往來自對某個問題的興趣和好奇心，而興趣和好奇心又往往來自教師創設的問題情境。因此，教師要有意設疑，使學生因 "疑"生奇，因"疑"生趣，去自主探究、創新。例如我在教學《直線與圓的位置關系》一節時，考慮到這一內容比較抽象，學生難以理解，所以我運用多媒體展示海上日出的情境，讓學生感知太陽是一個圓，海平面是一條直線，提出質疑問題：直線和圓的位置關系？此時學生都產生了強烈的求知欲，特別是我讓學生觀看動畫。對學生產生了極大的興趣和好奇，學生自主探究了直線和圓的三種位置關系。可見，創設恰當問題情境的教學演示，點燃了學生的好奇之火，激起了他們探索知識的欲望，在整個教學過程中都極大程度地培養了學生自主學習的能力。

2.聯系新舊知識，創造主動學習的條件

蘇聯霍姆林斯基說過，"越是利用和運用學過的教材來領會新教材，學生的腦力活動就越積極，新的教材就領會越深，過去學過的知識就變得越鞏固。"在教學中，教師要善于引導學生把新舊知識聯系起來。用舊知識引出新知識，再把新知識納入舊知識結構，從而產生新的知識結構。例如：在教學異分母分式加減法時，讓學生回顧小學異分數的加減法，然后教師有意識地與準備題中的通分相比較，再讓學生進行嘗試練習，對比訓練，通過比較，最后讓學生交流學習過程，總結出異分母分式加減法的法則，這樣更突出了學生學習的主動性。

3.優化教學環境，加強交流與合作

現代教學論認為，數學教學過程應是學生主動學習的過程，它不僅是一個認識過程，而且也是一個交流與合作的過程。交流與合作的互利過程，為學生主動學習提供了開放的活動方式，提供了寬松和民主的環境，更有利于發展學生的主體性，促進學生智力、情感和社會技能的發展及創造能力的發展。為此，我們應當強化小組交流與合作學習，改變課堂教學中教師主講，單一教學組織形式，促進各個層次學生的共同發展。這樣就應當重視座位的編排在教學環境優化中的作用，合理設計和編排課堂座位，對整個教學環境的創設有重大的意義。有利于學生交流，更重要的是，這是一種合作學習空間，是一種開放式學習群體。使得課堂氣氛寬松，學生容易進入學習狀態，教師針對性地提出問題讓小組圍繞問題進行交流和合作學習。教學成效明顯。

4.鼓勵學生質疑反問，培養學生思維創造性

在教學活動中，教師與學生關系應充分體現平等與和諧。教師的提問是一項重要教學手段，成為發展學生思維，開發學生智能的鑰匙。學生的質疑與反問是一個知識擴展的過程，根據教學實際，恰如其分的提問，能開拓、引導學生思路，指導學生去探索所要達到的途徑，點燃學生創新思維的火花，使教學具有針對性。教師教學設計過程中，可以從幾個方面著手：在教材關鍵處設問；在探索規律中設問；在容易混淆地方設問。總之，教學活動中所提出的問題應具有新穎性和挑戰性，以激勵學生的創造性，培養他們自學能力。

5.重視解題教學，促成自主參與學習