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第1 章 剛體力學基礎 物體的彈性

一、內容提要

1.剛體的定軸轉動

定軸轉動的剛體，角位移隨時間變化的方程稱為剛體的運動方程，即

θ = θ( t)

剛體角位移θ 隨時間的變化率稱為剛體的角速度，即

ω = dθ

dt

剛體角速度隨時間的變化率稱為剛體的角加速度，即

β = dω

dt = d2 θ

dt2

剛體勻變速定軸轉動的運動學規律為

ω = ω0 + βt ， θ = ω0 t + 1

2 βt2 ， ω2 = ω20

+ 2βθ

2.剛體定軸轉動定律

1) 力對軸的力矩

剛體受一位于轉動平面內的力F 作用時，r 為轉軸與力作用點間的垂直距離矢量.則

r 與F 的矢積稱為力F 對z 軸的力矩，即

Mz = r F

2) 剛體定軸轉動定律

剛體定軸轉動時，作用在剛體上所有外力相對某一軸的合外力矩，等于剛體相對該軸

轉動慣量與剛體角加速度的乘積.這一結論稱為剛體定軸轉動定律，即

Mz = Jz β

3.剛體相對定軸的轉動慣量

組成剛體的每一個質點的質量與該質點到定軸垂直距離平方的乘積之和，稱為剛體

相對某一定軸的轉動慣量.

質量不連續分布的剛體，相對某一定軸z 的轉動慣量為

Jz = Σi = 1

mi r2i

質量連續分布的剛體，相對某一定軸z 的轉動慣量為

Jz = ∫dJz = ∫r2 dm

4.剛體定軸轉動的轉動動能定理

在合外力矩Mz 的作用下，剛體由角位置θ1 轉動到角位置θ2 的過程中，力矩Mz 對剛

體所做的功為

A = ∫θ2

θ1

Mz dθ

剛體的轉動動能為

Ek = 12

Jz ω2

剛體定軸轉動時，合外力矩對剛體做的功等于剛體轉動動能的增量，這一結論稱為剛

體定軸轉動的動能定理，即

∫θ2

θ1

Mz dθ = 1

2 Jz ω22

- 1

2 Jz ω21 5.剛體定軸轉動的角動量 角動量守恒定律

質量為m 的質點，以速度v 運動時，角動量為

Lz = r mv

相對定軸z 轉動慣量為J z 的剛體以角速度ω 繞z 軸轉動時，角動量為

Lz = Jz ω

剛體相對定軸z 的角動量定理如下：

∫t2

t1

Mz dt = Δ ( Jz ω)

當剛體所受的所有外力相對于某一定軸的力矩之和為零時，剛體對該軸的角動量保

持不變，這一結論稱為剛體定軸轉動的角動量守恒定律，即

Σ Mz i = 0 ， Lz = Jz ω = 常矢量

6 .剛體的進動

剛體在繞自身軸高速轉動的同時，其自轉軸繞空間某一軸做轉動，這種高速自轉物體

的自轉軸轉動的現象稱為進動.

陀螺進動的角速度為

ωp =

Mzs

Jzs ωzs sinφ

7.應力

彈性體在外力作用下發生形變時，物體內部各個相鄰的宏觀部分之間便產生相互作

用的彈性內力.單位面積上的彈性內力稱為應力.應力有正應力、切應力和體應力三種.

正應力

σ = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

切應力

τ = lim Δ S → 0

Δ Fτ

Δ S = dFτ

dS

體應力

p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

應力的大小反映物體恢復原狀的能力.

在國際單位制中，應力的單位為牛頓? 米- 2 (N ? m- 2 ) ，稱為帕斯卡，簡稱帕(Pa) .

8.應變

彈性體受外力作用發生形變時，相對形變量稱為應變.應變有線應變、切應變和體應

變三種.

線應變

ε = Δ l

l0

切應變

γ = Δ x

d = Δ φ

體應變

θ = Δ V

V0

體應變描述彈性體體積變化的程度，其值越大，表明彈性體體積越容易變化，反之亦

然.應變是相對量，無單位.

9.彈性模量

在彈性限度內，材料所受的應力與相應應變之比稱為材料的彈性模量.材料的彈性模

量有楊氏模量、切變模量和體變模量三種.

當材料在法向外力的作用下長度發生變化時，楊氏模量為

E = σ

ε = l0 Δ Fn

Δ SΔ l

當材料在切向外力的作用下形狀發生變化時，切變模量為

G = τ

γ = Fτ d

Δ SΔ x

當材料在周向均勻的法向外力作用下體積發生變化時，體變模量為

K = p

θ

= - V0

Δ V p

式中的" - "號表示壓強增大時，體積是減小的.

彈性模量表征材料變形的難易程度，其值越大，材料越不容易變形，反之亦然.

在國際單位制中，楊氏模量、切變模量和體變模量的單位均為牛頓? 米- 2 (N ? m- 2 ) .

二、思考題解答

1.1 一個有固定軸的剛體，受到兩個力作用，當這兩個力的矢量和為零時，它們對軸

的力矩之和也一定是零嗎？ 當這兩個力的合力矩為零時，兩個力的矢量和也一定為零嗎？

舉例說明之.

答 不一定.例如，兩人在一扇門的兩對面距門轉軸不同的位置同時對門施予大小相

等、方向相反的推力，則門所受的合力為零，但兩力對轉軸的力矩之和不為零.

不一定.例如，兩人在一扇門的兩對面同時對門施予合力矩之和為零的兩個推力，則

一個力大，作用點必然離轉軸近，另一個力小，作用點必然離轉軸遠，此時兩力的矢量和就

不為零.

1.2 剛體的轉動慣量由哪些因素決定？

答 剛體的轉動慣量由剛體的總質量、剛體質量相對于轉軸的分布以及轉軸的方位

決定.

1.3 一個運動的小球碰在門上使門轉動.如果忽略門軸的摩擦力，小球和門作為

個系統，在碰撞過程中，系統的動量是否守恒？ 角動量是否守恒？

答 在小球和門的碰撞過程中，由于小球和門所受的合外力不為零，因此系統的動量

不守恒.因為系統所受的外力對門轉軸的力矩分別為零，即外力矩之和為零，所以系統的

角動量守恒.

1.4 一水平圓盤可繞通過其中心的固定鉛直軸轉動，盤上站著一個人，初始時整個

系統處在靜止狀態，當此人在盤上隨意走動時，若忽略軸的摩擦，則此系統對轉軸的角動

量是否守恒？

答 系統對轉軸的角動量守恒.將人和轉盤作為一個系統考慮時，任意時刻，系統

受的外力為轉軸的軸力、轉盤的重力和人的重力.由于轉軸的軸力、轉盤的重力都過轉軸，

相對轉軸的力矩為零；人的重力與轉軸平行，相對轉軸的力矩也為零.因此，系統所受的外

力矩之和為零，所以系統的角動量守恒.

1.5 人造地球衛星繞地球做橢圓軌道運動，地球在橢圓的一個焦點O 上，在衛星運

動的過程中，衛星對O 點的角動量是否守恒？ 動量是否守恒？

答 由于衛星在運動過程中始終受到指向O 點的萬有引力的作用，而萬有引力相對

于O 點的力矩為零，因此衛星對O 點的角動量守恒.因為衛星在運動過程中始終受萬有

引力的作用，所以衛星的動量不守恒.

1.6 應力是怎么定義的？ 靜止在深水中的鐵塊中的應力是什么應力？

答 彈性體在外力作用下發生形變時，物體內部各個相鄰的宏觀部分之間便產生

相互作用的彈性內力.物體內單位面積上的彈性內力稱為應力.應力的大小反映物體

恢復原狀的能力.鐵塊是一立體形彈性體，當鐵塊靜止在深水中時，在水作用的法向壓

縮外力Δ Fn 的作用下體積發生變化.而法向力Δ Fn 與其作用面積Δ S 之比在Δ S → 0 的

極限就是Δ S 上的體應力p ，即p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS .因此，靜止在深水中的鐵塊中的應力

是體應力.

1.7 什么是應變？ 靜止在深水中的鐵塊中的應變是線應變、體應變，還是切應變？

邊長為a 的正方形物塊，在切應力的作用下，受力面的邊長變為b ，怎樣表示該物塊的切

應變？

答 彈性體受外力發生形變時，相對形變量稱為應變.靜止在深水中的鐵塊中的應變

是體應變.邊長為a 的正方形物塊，在切應力的作用下發生的形變是切應變.受力面的邊

長變為b ，則該物塊的切應變為γ = Δ x

d = b - a

a .

1.8 什么是彈性模量？ 彈性模量有哪幾種？

答 在彈性限度內，材料所受的應力與相應應變之比稱為材料的彈性模量.材料的彈

性模量有楊氏模量、切變模量和體變模量三種.當材料在法向外力的作用下長度發生變化

時，在彈性限度內，應力與相應應變之比稱為材料的楊氏模量；當材料在切向外力的作用

下形狀發生變化時，在彈性限度內，應力與相應應變之比稱為材料的切變模量；當材料在

周向均勻的法向外力作用下體積發生變化時，在彈性限度內，應力與相應應變之比稱為材

料的體變模量.彈性模量表征材料變形的難易程度，其值越大，材料越不容易變形，反之

亦然.

三、習題解答

1.1 一微型電動機的圓柱形轉子可繞垂直其橫截面并通過中心的軸轉動.設電動機

由靜止開始啟動后，轉速n 隨時間t 變化的關系為n = 540(1 - e- t/2.0 )(r ? s- 1 ) .試求：

(1) 啟動后6.0s 時，電動機的轉速；

(2) 啟動后6.0s 時間內，電動機轉過的圈數；

(3) 電動機角加速度隨時間變化的函數關系.

解 (1) 由轉速n 隨時間t 變化的關系n = 540(1 - e- t/2.0 )( r ? s- 1 ) ，可得t = 6.0s

時，電動機的轉速為

n = 540(1 - e- t/ 2.0 ) = 540 (1 - e- 6.0/2.0 ) = 540 (1 - e- 3 ) = 513(r ? s- 1 )

(2) 由角速度的定義ω = dθ

dt ，有

dθ = ωdt = 2π ndt = 1080π(1 - e- t/2.0 )dt

對上式兩端積分

∫θ

0 dθ = ∫t

ωdt = ∫t

1080π(1 - e- t/2.0 )dt

可得電動機角位移隨時間變化的規律為

θ = 1080π( t + 2.0e- t/ 2.0 ) - 2160π(rad)

當t = 6.0s 時，角位移為

θ = 1080π(6.0 + 2.0e- 3 ) - 2160π = 4428π(rad)

則啟動后6.0s 時間內，電動機轉過的圈數為

N = θ

2π = 4428

2π = 2214

(3) 由角加速度的定義可得，任意時刻電動機的角加速度為

β = dω

dt = d(2π n)

dt = - 2π 540 - 1

2.0 e- t/2.0 = 540πe- t/2.0 (SI)

答 (1) 啟動后6.0s 時，電動機的轉速為513r ? s- 1 ；(2) 啟動后6.0s 時間內，電動機轉

過的圈數為2214 ；(3) 電動機角加速度隨時間變化的規律為β= 540πe- t/2.0 SI .

1.2 由三根質量均為m 、長均為l 的細棒構成一平面三角形框架，試求該系統相對

于過任一頂點且垂直于框架平面的軸的轉動慣量.

習題1.2 圖

解 由習題1.2 圖及轉動慣量的定義，該系統相對于過任

一頂點且垂直于框架平面的軸的轉動慣量為

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

r2 dx

= 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

( d2 + x2 )dx

由l2 = d2 + l2

2

，有d2 = 34

l2 .代入上式可得

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

34

l2 + x2 dx

= 2

3 ml2 +∫l/2

32

mldx +∫l/2

2 ml

x2 dx

= 3

2 ml2