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數(shù)學(xué)之美與效用

慧黠的觀察者看過(guò)數(shù)學(xué)家所從事的工作后，大概會(huì)認(rèn)為他們是一群狂熱流派奉獻(xiàn)者，宇宙的神秘鑰匙的追尋者。

─戴維斯(PhilipDavis)與賀須(ReubenHersh)，《數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)談》(TheMathematicalExperience)一書(shū)作者

數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入每一個(gè)需要費(fèi)盡心思的科學(xué)領(lǐng)域，并且在生物學(xué)、物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)學(xué)跟工程等方面取得無(wú)法替代的角色。我們可以用數(shù)學(xué)說(shuō)明夕陽(yáng)色彩分布的情況，也可以用來(lái)說(shuō)明人類(lèi)的大腦結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)幫助我們打造超音速飛機(jī)跟云霄飛車(chē)，模擬地球天然資源流轉(zhuǎn)的方式，進(jìn)入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想象遙遠(yuǎn)的銀河系。數(shù)學(xué)可以說(shuō)是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書(shū)中，我希望運(yùn)用少量數(shù)學(xué)公式提供一點(diǎn)數(shù)學(xué)品位，而鼓勵(lì)讀者發(fā)揮想象力。對(duì)大多數(shù)讀者而言，這本書(shū)所談?wù)摰膽?yīng)該不只是能滿足好奇心卻缺乏實(shí)用價(jià)值的單元，根據(jù)美國(guó)教育部實(shí)際調(diào)查的結(jié)果顯示，能夠順利完成高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)生升上大學(xué)后不論選讀哪一個(gè)專(zhuān)業(yè)，都能夠展現(xiàn)出比較的學(xué)習(xí)能力。

數(shù)學(xué)的實(shí)用性讓我們可以建造宇宙飛船，探索所處宇宙的幾何結(jié)構(gòu)。數(shù)字也可能是我們跟有智能的外星生物間所采用的及時(shí)種溝通手段。有些物理學(xué)家認(rèn)為掌握更高空間維度和拓樸學(xué)(topology，探索形狀與彼此間相互關(guān)系的一門(mén)學(xué)問(wèn))，或許有24小時(shí)當(dāng)現(xiàn)在這個(gè)宇宙處于在極熱或極冷的末日之際，我們就能逃出，在不同的時(shí)空環(huán)境下安身立命。

數(shù)學(xué)史上不乏許多人同步有重大發(fā)現(xiàn)的例子，就以這本書(shū)里面的莫比烏斯帶(TheMobiusStrip)為例。德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(AugustMobius)和當(dāng)時(shí)另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家利斯廷(JohannBenedictListing)同時(shí)在公元1858年各自發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶(一個(gè)只有單面，神奇的扭曲物體)。這種同步發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象就跟英國(guó)博學(xué)多聞的牛頓(IsaacNewton)與德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz)各自同時(shí)發(fā)現(xiàn)微積分的例子相似。這些例子讓我不禁懷疑科學(xué)領(lǐng)域?yàn)楹谓?jīng)常有不同人，在相同時(shí)間，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)同一件事情的情況？其他例子還包括英國(guó)博物學(xué)家達(dá)爾文(CharlesDarwin)和華萊士(AlfredWallace)都在相同時(shí)間各別提出演化論的觀點(diǎn)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶(JánosBolyai)和俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(NikolaiLobachevsky)似乎也是在同一時(shí)間各別提出雙曲幾何的想法。

最有可能解釋同步重大發(fā)現(xiàn)的理由，是因?yàn)槿祟?lèi)在那些時(shí)間點(diǎn)對(duì)于即將誕生的發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)累積足夠的知識(shí)，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來(lái)；可能兩位科學(xué)家都受到當(dāng)代其他研究人員同一篇先導(dǎo)研究論文的影響。另一種帶有神秘色彩的解釋?zhuān)瑫?huì)從較深層的觀點(diǎn)說(shuō)明這種巧合。奧地利生物學(xué)家卡梅納(PaulKammerer)曾表示：“或許我們可以說(shuō)，盡管打散、重組的過(guò)程在現(xiàn)實(shí)世界繁華的表面下與宇宙無(wú)垠的千變?nèi)f化中不斷重復(fù)發(fā)生，但是物以類(lèi)聚的現(xiàn)象也會(huì)同時(shí)在這些過(guò)程中產(chǎn)生”；卡梅納把現(xiàn)實(shí)世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來(lái)各自孤立，毫無(wú)瓜葛，不過(guò)根據(jù)他充滿爭(zhēng)議性的理論，我們其實(shí)只看到上層的波浪，卻沒(méi)注意到海面下可能存在某種同步機(jī)制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現(xiàn)出這種一波又一波的風(fēng)潮。

易法拉(GeorgesIfrah)在《數(shù)目溯源》(TheUniversalHistoryofNumbers)一書(shū)中談?wù)擇R雅數(shù)學(xué)時(shí)，順便論及了這種同步情況：

我們因此又再一次地見(jiàn)證到，散居在廣大時(shí)空環(huán)境的下互不認(rèn)識(shí)的人……也會(huì)有非常類(lèi)似甚至是一模一樣想法。……有些例子的解釋?zhuān)皇且驗(yàn)樗麄兘佑|了另一群不一樣的人并受到對(duì)方的影響，……真正的有效解釋是因?yàn)榍懊嫣徇^(guò)的深層文化融合：智人(Homosapiens)這種生物的智力具有共通性，把世界各個(gè)角落統(tǒng)整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數(shù)目字的吸引。在這個(gè)不停變動(dòng)世界的艱困年代，會(huì)不會(huì)只有數(shù)目字才是恒常不變的？對(duì)于源自一門(mén)古希臘學(xué)派、畢達(dá)哥拉斯理念的追隨者而言，數(shù)目字是具體不變、和緩永恒的—比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無(wú)法親近。

本書(shū)中有很多條目都跟整數(shù)有關(guān)，聰穎的數(shù)學(xué)家艾狄胥(PaulErdos)醉心于數(shù)論——有關(guān)于整數(shù)課題—的研究，他經(jīng)常能輕易使用整數(shù)提出問(wèn)題，盡管問(wèn)題的陳述很簡(jiǎn)單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認(rèn)為如果有任何數(shù)學(xué)問(wèn)題提出后經(jīng)過(guò)一個(gè)世紀(jì)依然無(wú)解的話，那一定是個(gè)跟數(shù)論有關(guān)的問(wèn)題。

有很多宇宙萬(wàn)物可以用整數(shù)表達(dá)之，譬如用整數(shù)描述菊花花瓣構(gòu)成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂(lè)的合弦，以及周期表元素間的關(guān)系。德國(guó)代數(shù)學(xué)家暨數(shù)論大師克羅內(nèi)克(LeopoldKronecker)曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“只有整數(shù)來(lái)自于上帝，其他都是人造的。”這句話也暗示整數(shù)是一切數(shù)學(xué)的最主要根源。

自從畢達(dá)哥拉斯的年代以來(lái)，按照整數(shù)比例演奏出的音樂(lè)，就相當(dāng)受歡迎，更重要的是，在人類(lèi)理解科學(xué)的演進(jìn)過(guò)程中，整數(shù)也扮演著相關(guān)關(guān)鍵的角色，像是法國(guó)化學(xué)家拉瓦節(jié)(AntoineLavoisier)就是依照整數(shù)比調(diào)配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強(qiáng)烈證據(jù)。公元1925年，激態(tài)原子放射出一定整數(shù)比的光譜波長(zhǎng)，也是當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)原子結(jié)構(gòu)的一項(xiàng)證據(jù)。幾乎按照整數(shù)比呈現(xiàn)的原子量，顯示原子核是由整數(shù)個(gè)數(shù)的相似核子(質(zhì)子跟中子)所組成，與整數(shù)比的誤差則促成同位素(基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學(xué)特性，只在中子數(shù)的個(gè)數(shù)上有所差異)的發(fā)現(xiàn)。

純同位素(pureisotope)原子量無(wú)法以整數(shù)比呈現(xiàn)的微小差異，確認(rèn)了愛(ài)因斯坦(AlbertEinstein)著名方程式E=mc2是成立的，也顯示出生產(chǎn)原子彈的可能。在原子物理領(lǐng)域隨處可見(jiàn)整數(shù)的存在。整數(shù)關(guān)系是組成數(shù)學(xué)最基本的一股勢(shì)力—或者引用高斯(CarlFriedrichGauss)的說(shuō)法：“數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的女王——而數(shù)論則是數(shù)學(xué)中的天后。”

用數(shù)學(xué)描述宇宙這門(mén)學(xué)科成長(zhǎng)迅速，但是，我們的思考方式跟語(yǔ)言表達(dá)能力卻還有待好好加強(qiáng)。我們一直發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)，但是，我們還需要用更先進(jìn)的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經(jīng)有人針對(duì)數(shù)學(xué)史上幾個(gè)最著名問(wèn)題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長(zhǎng)又復(fù)雜，就連專(zhuān)家們也都沒(méi)辦法確定這些論證是否正確。數(shù)學(xué)家哈里斯(ThomasHales)將一篇幾何學(xué)論文投稿到世界頂級(jí)數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)年刊》(AnnalsofMathematics)后，整整花了五年的時(shí)間等待專(zhuān)家審查意見(jiàn)——專(zhuān)家們的結(jié)論是找不到這篇論文哪里有錯(cuò)，建議該期刊加以發(fā)表，可是必須加上免責(zé)聲明——他們無(wú)法肯定這個(gè)證明是對(duì)的！另一個(gè)例子來(lái)自數(shù)學(xué)家德福林(KeithDevlin)，他在《紐約時(shí)報(bào)》(NewYorkTimes)刊出的文章中承認(rèn)：“數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)展到一個(gè)相當(dāng)抽象的程度，甚至就連專(zhuān)家有時(shí)都無(wú)法理解近期的研究課題到底在講什么。”如果就連專(zhuān)家都有這樣的困擾，想要把這些信息傳遞給普羅大眾當(dāng)然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數(shù)學(xué)家們?cè)诮?gòu)理論、執(zhí)行運(yùn)算這些方面很在行，不過(guò)他們?cè)谌跁?huì)貫通、解說(shuō)傳達(dá)先進(jìn)觀念的能力恐怕還是有所不足。

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