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我們將探討的9個悖論當中的及時個，可追溯至2500年前。經歷這么長時間的琢磨，相信讀者并不會訝異它已被徹底破解。不過對于初次接觸的人而言，這個悖論乍聽之下還是令他們暈頭轉向。這個謎題名為“阿基里斯悖論”(the Paradox of Achilles)，又稱為“阿基里斯與龜的問題”，它其實是希臘哲學家芝諾(Zeno)所提出的一系列問題之一。作為邏輯思考的范例，它其實再簡單不過了。但別以為本章僅只于此；我們將深入探討數個芝諾悖論(Zeno's paradoxes)，以其中一個悖論的現代版作結；它僅能以量子論來解釋。嘿，我從來沒有說要輕易放過各位讀者。

首先來看芝諾悖論當中最著名的一個：在一場與身手矯健的阿基里斯的賽跑中，烏龜被允許率先出發；當阿基里斯起跑時，烏龜已經抵達路途中的某處(姑且稱為A點)。由于阿基里斯跑得比烏龜要快許多，他很快就抵達A點。然而，當他跑抵該處時，烏龜已經移動到更遠的地方，我們把它稱做B點。當阿基里斯跑抵B點，這時烏龜已經爬到更遠的C點；這個過程不斷重復。盡管阿基里斯不斷追近烏龜，每個階段兩者之間的差距也不斷縮小，前者卻永遠不可能超越后者。這個敘述錯在哪里呢？不論是聰明才智、各種邏輯難題的推敲，或者僅是概括性的深刻思考，我們都無法凌駕希臘人。事實上，這些古哲學家們如此犀利，他們的邏輯具有如此深刻的洞察力，令人老是忘記他們是2000多年前的人物。時至今日，當我們想舉天才的例子時，除了人氣始終居高不下的愛因斯坦之外，也常提及諸如蘇格拉底、柏拉圖以及亞里士多德等人，作為人類智識典范的代表性人物。

芝諾誕生于古希臘的埃利亞城，該城位于現今意大利西南部。我們除了知道他是埃利亞哲學家巴門尼德斯的學生之外，對其生平與著作所知皆不多。他們與另一位出身該城的哲學家麥里梭共同組成現今所稱的埃利亞學派。他們的哲學思想主張，一個人不能僅僅透過感官及感官經驗來理解這個世界，最終還必須依賴邏輯與數學。整體而言，這是合理的看法；不過讀者將會察覺，這個理念卻將芝諾引入歧途。

就我們對芝諾思想僅有的了解，他似乎少有自己原創的建設性觀點，而是熱中于推翻他人的論證。盡管如此，活躍于芝諾之后100年的亞里士多德依然將他視為“辯證法”這個論證方式的創始人。辯證法是古希臘人(尤其是柏拉圖與亞里士多德等哲學家)擅長的一種開放式討論，透過邏輯與推理在討論中解決想法意見上的歧異。

芝諾的原著當中只有一部篇幅甚短的著作流傳至今，因此我們所知關于他的一切皆來自于他人的著述，特別是柏拉圖與亞里士多德。芝諾于40歲左右旅行至雅典，并在那里遇見年輕的蘇格拉底。他晚年活躍于雅典政壇，最終因共謀推翻埃利亞城的統治者而被補入獄，并且刑求致死。有一則關于他的故事說，他寧愿咬掉自己的舌頭吐在逮補者的臉上，也不愿供出共謀者。但他最著名的，還是透過亞里士多德的巨著《自然哲學》(Physics ) 流傳后世的一系列悖論。一般相信他共提出過約莫40個悖論，但只有少數流傳下來。

芝諾的所有悖論都圍繞著一個中心思想：一切都是亙古不變的； 運動狀態只是一種假象，而時間本身并未真正存在。其中最著名的4個悖論分別被亞里士多德命名為：阿基里斯(the Achilles)、 二分法 (the Dichotomy)、運動場 (the Stadium) 與飛矢不動 (the Arrow) 悖論。如果有什么是希臘人擅長的，那當然是哲學思考了。像“一切運動皆為假象”這種恢宏的宣言，正是他們著名的抽象思考得到的結果，充滿煽動性。我們可以用現代的科學方法來駁倒這些悖論， 不過它們實在有趣極了，值得我們重新探討。本章將逐一檢視這些悖論，并且說明如何運用較為謹慎的科學分析來破解它們。首先從我剛剛描述過的悖論開始吧。

這是我個人最喜歡的芝諾悖論，因為它乍看之下合乎邏輯， 卻以出乎意料的方式挑戰邏輯。阿基里斯是希臘神話中最偉大的戰士，擁有天生神力、勇氣與戰斗技巧。半人半神的阿基里斯，其雙親為色薩利國王珀琉斯與海神忒提斯。在荷馬描述特洛伊戰爭的史詩《伊里亞德》(Illiad)里，他的角色非常突出。據說當他還是小男孩時，速度已經快到足以捉住鹿，身體強壯得足以殺死獅子。

芝諾在他的悖論中選擇這位神話英雄與笨重的烏龜賽跑，顯然是兩種極端的對比。

此悖論乃是基于更古老的龜兔賽跑寓言，出自于名叫伊索的另一位古希臘人，大約活躍于芝諾之前的100年。在原本的寓言中，烏龜遭到兔子嘲笑，因此向兔子下戰帖賽跑，結果烏龜及時抵達終點而獲勝。兔子過于自大，以為自己的速度快到可以在中途睡上一覺，結果卻太晚醒來而追不上烏龜。

在芝諾的版本里，飛毛腿阿基里斯取代了兔子的角色。與兔子不同的是，他專注于比賽，卻因為讓烏龜率先起跑而種下敗因。無論賽跑距離多長，乍看之下烏龜終將贏得比賽，盡管在古希臘人眼里兩者抵達終點的順序也許難分軒輊。根據芝諾的解釋，不論這位英雄跑多快，或是烏龜爬多慢，阿基里斯永遠無法超越烏龜。這顯然與事實不符，究竟怎么回事呢？對于古希臘時期的數學家而言，這是個重大的難題，因為在當時還沒有所謂的“無窮級數收斂”(converging infinite series)概念，甚至連“無窮大”的意義都尚不明朗(這些觀念稍后會加以解釋)。在當時，擅長思考此類問題的亞里士多德已經認為芝諾旳想法是一種“謬誤”。問題在于亞里士多德及其他古希臘哲學家并無人知曉以下這個基本的物理學公式：速率等于距離除以時間。時至今日，我們對于物理學的了解已經比希臘人深刻許多。