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01 算術篇

萬物皆數，若沒有數，則既不能描述也不能理解任何事物。

-畢達哥拉斯(Pythagoras，希臘數學家，公元前580—前500

1.1 從2 + 2 = 4談起

一位聰明天真的小朋友問媽媽："為什么2加2等于4?"媽媽答: "傻孩子，連這么簡單的算術都不懂!"于是這位母親伸出左手的兩個指 頭，又伸出右手的兩個指頭，左右的兩個指頭往一起一并，說："這就 叫2加2，你數一數，看是不是4?"孩子勉強點頭，接著又問："可是4 是什么玩意兒呢?"媽媽欲言而無語。是呀，如果母親說這些指頭的數 目就叫做4，孩子再追問什么叫做999999999，那可就不好用指頭之類 的東西來比劃著解釋了！

事實上，反思我們小時候對加法的學習，確實是非理性的，是 老師和家長向我們的腦子里灌進去而記住了的七加八一十五，七加五一 十二之類的指令而已；認真思考起來，究竟每個自然數是如何定義的， 加法是什么，為什么2 + 2 = 4，4 + 4 = 8，等等，確實是一個嚴肅的數學問題。

原始人已有自然數的初始概念，他們用小石頭來記錄捕捉的獵物的個數(或用"結繩記事"法)。有人捕來一只野兔，他們就在小坑里放 上一顆石子，又有人捕來一只野兔，他們就在小坑中又投放一顆石子， 等等。事實上，這逐一地向小坑中投石子的過程恰是加法運算的真諦， 投一顆石子就叫做加上1，1加1得到的數量就叫做2，2再加1得到的 數量就叫做3，等等。再后來，人們發現了加法的結合律，即1 + 1 + 1 + 1= (1+1) + (1 + 1)，等等。公元6世紀，印度數學家引人零的符 號"0"，它是自然數的"排頭"。到了 19世紀，皮亞諾(G.Peano， 1858!1932)提出了五條算術公理，才從理論上徹底解決了什么是自然 數，為什么2 + 2 = 4等數學上的這些基本問題，他的三個概念與五個公 理是：

0，后繼和自然數，以及如下五條公理：

公理1，0是自然數。

公理2任何自然數的后繼是自然數。

公理3 0不是任何數的后繼。

公理4不同的自然數后繼不同。

公理5對于某一性質，若0有此性質，而且若某自然數有此性質 時，它的后繼也有此性質，則一切自然數都有此性質。

具體地說，0的后繼中國人叫做一，美國人叫做one，1的后繼中 國人叫做二，美國人叫做two，等等。第五公理談的是數學歸納法。一 個自然數生出它的后繼的過程是加法，記成0 + 1 = 1，1 + 1 = 2，2 + 1 = 3，3 + 1 = 4，n+1= (n+1)，等等。

由皮先生的公理可以明確無誤地回答什么是自然數的問題，例如4 是什么？答：4是3的后繼，或曰4是3之"子" 3呢？ 3是2的后繼(2呢？ 2是1的后繼(1呢？ 1是0的后繼(0呢？ 0是祖宗，它不是誰 的后繼，是自然數的發源點。

2+2 = 4證明如下：

因為1 + 1 = 2，所以2+2= (1 + 1) + (1 + 1)，由結合律得 2+2= (1+1 ) + (1+1 ) = (1+1+1 ) +1 又因 1 + 1 + 1= (1 + 1) +1 = 2 + 1 = 3 所以2+2 = 3 + 1，而3 + 1 = 4，故知2 + 2 = 4是正確的。

證畢。

有了加法的概念，減法是加法的逆運算，乘法則是幾個相同的數連 加的"簡寫"，除法是乘法的逆運算?？梢?，從皮氏公理出發已經把+ 一X +的概念弄了個水落石出，不再是那種原始的直觀感覺(例如結繩 記事)或死記的九九表了。

查閱《現代漢語詞典》上加法詞目，詞典稱！ "加法(i@D，數學中的一種運算方法%兩個或兩個以上的數合成一個數的方法'"這種解 釋實在科學`例如它只說"合成一個數"，并不說這個數(我們稱其為 和)是多少。事實上，現代數學對于1 + 1的和未必總是算出2來的。遙 想原始人怎樣形成數量的概念，最初只是"有"與"無"兩個概念，他 們尚沒有"多少"的概念和斤斤計較的壞習氣。就是現代，有時也只需 考慮有與無，是與否，而不必細說有多少，例如我們要寫字，關心的是 有筆還是沒有筆，至于有筆時有幾枝，那都是一回事。如果這時規定0 代表無(或否)，1代表有(或是)，則應有0 + 0 = 0，0+1 = 1，1 + 0 = 1，1+1=1。這個1+1=1的算式有點不習慣，但對于此處的實際背 景，如此定義加法是再合適不過了。這種1 + 1不等于2，而等于1的加 法稱為"邏輯和"，1 + 1 = 1，于是(n是自然數)。

再看某種電視機開關，你用指頭捅一下，它就為你播放節目，再捅 一下，它就關機了，如果把關機狀態記成0，把播放狀態記成1，則有 加法法則！

0+0=0 ，1+0=1 0+1=1 ，1+1=0

這種加法1 + 1≠2，1 + 1≠1，而是1 + 1 = 0。看見沒有，這就是數字之 妙，這種"數學志異"勝似《聊齋志異》！

1.2算術的基因和基理

算術四則運算，人人都有體會，那就是加減法簡單，乘法也不太 難，有個"九九歌"，背熟了去乘就是了。除法里"事兒"多，除得盡 還好，除不盡還要考慮約分與余數，等等，花樣不少。例如：100 + 4可 寫成

我們看到，除法實質上是分子分母的約分，等到把分子分母的公共因子 都約光了，剩下的就是既約分數，如果這時分母為1，就除盡了。分子 上的因子有兩個2，兩個5，這兩個因子不能再變小，當然4和25，或 20，也是100的因子，但它們還可以變小，那些不能再變小的因子，即除了1與自身外，別的自然數除不盡的自然數，是最簡單樸素的了，我 們稱這種數為素數(樸素的素)或質數(質t卜的質)，1也是這類性質 的數，但大家約定1不稱為素數，因為如果讓1取得素數資格，例如 100則可以寫成100 = 1X1X1X1X1X X1X2X2X5X5，前方愛寫 幾個1就寫幾個1，這就很不妙，一個自然數寫成素數之積的形式時， 形狀就不了。經驗表明，如果不讓1參加，一個自然數若不是素 數，例如100，4什么的，可以地寫成若干素數的積，這一結論可 以用數學歸納法證明，這就是著名的算術基本定理。

大于1的不是素數的自然數稱為合數，即由若干素數相乘而成 的數。

素數是合數的基因，任給大于1的自然數N，存在的素數列P1≤P2≤ ≤Pn，使得N地寫成N = P1P2 Pn，此定理稱為算術 基本定理，算術中很多證明，尤其是涉及除法時，主要靠這條結論去 說理。

如果N是合數，則N=P1a1 P2a2 pmam，m≥1，P1，P2， ，Pm 是互異素數，a1， ，am是正整數，其中P1

由于不超過N的合數的最小素因子不超過槡N，因此欲求不超過 N的一切素數，只需把1，2， ，N中不超過槡N的素數的倍數劃去 (篩除)，剩下的就是素數。

30

顯然，這種方法只能寫出不超過N的自然數中素數的清單，N后 面的自然數中還有不少素數，例如30之后的31就是。歐幾里得及時個 證明，素數的個數是無窮的。

事實上，若所有素數為P1，P2， ，Pk，取N =P1P2 Pk + 1，N>1，設N本身是素數，N能除P1P2 Pk + 1 (商為1)，又P1，P2， ，Pk 是所有素數，則N是某個Pi，i∈ {1，2， ，k}，于是N 能除盡P1P2 pk，P1P2 pk+ 1被N除余1，與P1P2 pk+1矛盾。若N是合數，則N有一個素數因子P，于是P =Pi，i∈{1，2， ，k}，P能除盡P1P2 pk，不能除盡P1P2 pk+1，即P不能除 盡N，與P是N之因子矛盾，可見全體素數不是有限個。

素數既然是算術中的基因，幾乎所有的算術命題當中，都有素數參 與其中，有關素數的命題集中了算術學科的難點。廣為人知的難題很 多，例如下面兩個就是算術中難題的代表。

1)關于孿生素數的黎曼猜想：孿生素數有無窮個

所謂孿生素數，即相差為2的一對素數，例如(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。

至今無人能證明或反駁這一猜想。

2)哥德巴赫猜想

1742年6月7日，圣彼得堡中學教師，德國人哥德巴赫(Gold-bach)給瑞士數學家歐拉寫信提出如下猜想：

每個大于或等于6的偶數都是兩個素數之和；每個大于或等于9的 數都是 個 數之 。

兩素數之和當然是偶數，但是事情讓哥德巴赫反過來一提，可就給 數學界惹來了天大的麻煩。歐拉給哥德巴赫的回函中說："我不能證明 它，但是我相信這是一條正確的定理。"歐拉無能為力的問題，別人怕 是很難解決了。在其后的150多年當中，多少專業的和業余的數論工作 者，都興趣盎然地沖擊這一看似真實的命題，無奈人人不得正果。1900 年，數學界的領袖人物希爾伯特(Hilbert)在巴黎召開的世界數學家 大會上向20世紀的數學家提出23個待解決的名題，其中哥德巴赫猜想 列為第八問題?？上?0世紀的百年奮斗仍然辜負了希爾伯特的期望。

奉勸閱歷尚淺、熱情十足的年輕朋友，不可受某些不懂數學的記者 們的誤導，隨便立志以攻克哥德巴赫猜想為己任，而應當從實際出發， 打好堅實的數學理論基礎，培養數學研究的能力，再來考慮攀登哪個高 峰的問題。

這里面對的是一個數學問題，不能沿用物理學家訴諸反復若干次實驗來證實的辦法，例如有人對不超過33X106的偶數逐一驗證，哥德巴 赫猜想都是成立的，但那仍然不能解決問題。

下面是近百年來關于哥德巴赫猜想的大事記。

1912年，數學家朗道提出相近的弱猜想：

存在一個自然數M，使得每個不小于2的自然數皆可表成不超過 M個素數之和。

此猜想于1930年證明為真；如果M

1937年，蘇聯數學家維諾格拉多夫證明了哥德巴赫猜想的后半句 為真，即大于或等于9的奇數是三個素數之和，這是關于哥德巴赫問題 的重大突破，引起了不小的轟動。但前半句至2000年基本上未被解決。

我們約定：命題"大于等于6的偶數可表示成a個素數之積加上p 個素數之積"記成(a+戽，則哥德巴赫問題是：證明或反駁(1 + 1)。

1920年，朗道證明了(9 + 9)。

1924年，拉德馬哈爾證明了(7 + 7)。

1932年，依斯特曼證明了(6 + 6)。

1938年，布赫塔布證明了(5 + 5)。

1938年，華羅庚證明了幾乎所有的偶數都成立(1 + 1)。

1940年，布赫塔布等證明了(4 + 4)。

1947年，雷尼證明了(1+?)。

1955年，王元證明了(3 + 4)。

1957年，小維諾格拉多夫證明了(3 + 3)。

1957年，王元證明了(2 + 3)。

1962年，潘承洞證明了(1 + 5)。

1962年，潘承洞、王元證明了(1 + 4)。

1965年，布赫塔布、小維諾格拉多夫、邦比尼證明了(1 + 3)。

1966年，陳景潤證明了(1 + 2)，于1973年發表。

盡管(1+2)離(1 + 1)只"一步之遙"，但一步登天的事談何容 易！從陳景潤搞出(1 + 2)至今已有30多年，一直沒有人在這個陣地 上前進半步，我國的陳景潤仍然是此項世界紀錄的保持者。

培養出如陳景潤這樣杰出的數學家，不但具有廣深扎實的數學素 質，而且具有全身心奉獻科學事業的品質，乃是我們教育工作者的一項