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第1章統計推斷

房價問題是當前熱門的話題之一。一個城市房價的均價總是撲朔迷離。一個房價均價每平方米8千元的經濟較為發達的省會城市，可能對于年輕人具有較大的吸引力。現實卻是想要購買每平方米1萬元房子的愿望，也可能只有在城郊結合部才能實現。事實上，需要弄清楚的是這個城市房子均價的變化區間、不同樓盤均價之間的差異程度、在某一價位以上的樓盤占比多少、不同區位樓盤均價之間的差異及其差異的變化趨勢等。當不能獲得全部樓盤銷售均價的數據時(實際上難以得到真實的數據)，你如何來解決剛才提到的問題呢？

1.1隨機變量及其分布

隨機試驗的結果未必都是數量化的，如檢驗產品是合格品還是不合格品，調查居民對某一改革措施贊成還是反對等，這些實驗的結果并不是一個數值。為了研究隨機實驗的結果，揭示隨機現象的統計規律性，需要將隨機實驗的結果數量化，即需要引入隨機變量概念。

為理解隨機變量的涵義，從一個統計學文獻中常用的一個例子，即拋擲硬幣以觀察正反面出現情況的這一試驗開始。例如，將硬幣連續拋擲三次(看成一次隨機試驗)，則所有可能結果的集合為這里，用H表示正面，T表示反面。顯然，當硬幣均勻時，這8個結果的出現等可能。將試驗所有可能結果組成的集合Ω稱為樣本空間。如果僅將注意力集中在正面出現的次數上，如以X表示這一試驗中正面出現的次數，則X可能的取值為0，1，2，3。且易知，X取這4個數的概率分別為1/8，3/8，3/8和1/8。事實上，這些概率值對應著試驗結果出現的概率。例如，X=1對應著試驗結果HTT，THT或TTH的出現，則X=1的概率等于試驗結果HTT，THT或TTH出現的概率之和。因此，X是定義在樣本空間上的一個實值函數。

隨機變量的嚴格定義如下：設E是一個隨機試驗，S={e}為其樣本空間，如果對于S中的每一個樣本點e，有一個實數X(e)與之對應，則稱這個定義在樣本空間S上的實值函數X(e)為隨機變量。

隨機變量X的分布函數定義如下：對于任意的實數稱函數

為隨機變量X的累積分布函數(簡稱分布函數)。實際上，F(x)是隨機變量X取值不超過某一特定值的概率，故有累積之意。

容易看到，分布函數具有如下性質：

(1)F(x)是x的非減函數；

(2)limx→+∞F(x)=1；

(3)limx→－∞F(x)=0；

(4)P{a1.1.1常用的隨機變量及其分布

1.離散型隨機變量及其分布

一個多取可數個可能值的隨機變量，稱為離散型隨機變量。對于一個離散型隨機變量X，記，這里xi為X的可能取值，則pi>0，且對于所有的xi，有∑+∞i=1pi=1；X的分布函數。

下面介紹一些常用的離散型隨機變量。

1)0-1分布

假定一個隨機試驗，其結果可以分為成功或失敗，稱這樣的試驗為伯努利試驗。例如，試驗的結果是成功，令X=1，否則，令X=0，則X的分布律為

這里，p為試驗結果是成功的概率，且0隨機變量X也稱為伯努利隨機變量，如果其分布律由上述公式給出，稱X服從0-1分布，記為X～b(1，p)。

在實踐中，對產品進行質量檢驗，每抽出一件產品，只有兩種結果，即要么是合格品，要么是不合格品，如記產品的合格率為p，則產品的質量檢驗問題可以用0-1分布來描述。

2)二項分布

若進行n次獨立的伯努利試驗，其中每次結果是成功的概率為p，結果是失敗的概率為1－p。以X表示在n次獨立的伯努利試驗中成功出現的次數，則稱X為具有參數(n，p)的二項隨機變量，或稱X服從參數(n，p)的二項分布，記為X～b(n，p)。其分布律為

例1.1已知某生產線生產的產品是廢品的概率為0.1，且與任意的其他產品獨立。現從生產線上隨機抽取3件產品，則至多有一個廢品的概率是多少？

解以X表示這3件被抽產品中的廢品數，則X為服從參數(3，0.1)的二項隨機變量。

例1.2某公司有7個顧問。假定每個顧問貢獻正確意見的概率為0.6，且設顧問之間是否貢獻正確意見相互獨立。先對某項目可行與否個別征求各顧問意見，并按多數顧問的意見作出決策。試求作出正確決策的概率。

解以X表示7個顧問中貢獻正確意見的人數，則X～b(7，0.6)。從而作出正確決策的概率為

例1.3某車間有80臺機器，經過長時間的觀察，得知每臺機器發生故障的概率為0.01。設機器發生故障與否相互獨立，又設每個維修工在同一時間只能維修一臺機器，則配備3個維修工共同維修80臺機器，與配備4個維修工每人承擔20臺機器維修任務，哪個方案不能及時維修的概率較小?

解(1)按照第1種方案，以X表示80臺機器中需要維修的機器數，可易見，X～b(80，0.01)，則不能及時維修的概率為

(2)按照第2種方案，以Ai表示事件"第i(i=1，2，3，4)個維修工承擔的20臺機器不能及時維修"，則所求的概率為

由此可見，第1種方案較好。

注二項分布的概率計算可以調用excel中的函數BINOMDIST。

3)泊松分布

對于取值為0，1，2， 的隨機變量X，如對某個λ>0，有

則稱X為具有參數λ的泊松隨機變量，或稱X服從參數為λ的泊松分布，記為

泊松分布的一個重要性質是可以用來近似二項分布。事實上，如果二項分布參數中的n較大，而p較小，對于二項分布的隨機變量，取λ=np，則

對于較大的n和較小的p，有

從而，對于較大的n和較小的p，有

例1.4假定某書一頁上的印刷錯誤個數是一個具有參數λ=1的泊松隨機變量，則在此頁上至少有一個錯誤的概率為多少？

解以X表示此頁上的錯誤數，則X～π(1)，從而

例1.5假定每天在高速公路上發生事故的數目是一個具有參數λ=3的泊松隨機變量，則今天沒有發生事故的概率是多少？

解以X表示今天在此條高速公路上發生的事故數，則

例1.6(泊松分布在運營管理中的應用：排隊)在生活和工作中排隊是常見現象，如在銀行、超市、餐飲店等場所都會遇到排隊的情況；再如，貨車等待裝貨、生產線上的零件排隊等待裝配等。通過排隊模型，可以幫助公司管理人員掌握排隊的特征。

每小時到達某加油站要求加油的汽車數服從均值為5的泊松分布，則

(1)接下來的1個小時內只有一輛車到達的概率是多少？

(2)接下來的3個小時內有多于20輛汽車到達的概率是多少？

某ATM機使用人數服從泊松分布，每間隔5分鐘平均有1.5個使用者，則

(1)在接下來的5分鐘內沒有使用者的概率是多少？

(2)接下來的10分鐘內有3個或3個以上使用者的概率是多少？

作者可自行練習。

注也可以調用excel中的函數POISSON進行計算。

4)幾何分布

設進行獨立試驗直到首次出現成功為止，其中每次試驗成功的概率都是p，以X表示直到首次成功所進行的試驗次數，則稱X為具有參數p的幾何隨機變量，或稱X服從參數為p的幾何分布，記為X～g(n，p)。其分布律為

例1.7對產品進行檢驗，直到檢測到次品為止。設產品的合格率為0.9，求直到第11個產品才檢測到次品的概率。

解以X表示首次檢測到次品時所檢測的產品數，則X～g(11，0.9)，由此

2.連續型隨機變量及其分布

在某型號燈泡的壽命試驗中，每一個被測試燈泡的壽命是一個非負實數，它可以取到某個區間中的任意一個數。同樣該型號燈泡的壽命在某一范圍內取值的概率也是客觀存在的。將這樣能取到一個區間中任意一個數的隨機變量，稱為連續型隨機變量。

連續型隨機變量的分布函數為

這里，f(x)是連續型隨機變量X的分布密度函數。

1)均勻分布(記為X～U(a，b))

密度函數為

2)指數分布(記為X～E(λ))

密度函數為

1.8已知某種輪胎的使用壽命X～E(0.1)(單位：萬公里)。現隨機抽取這種輪胎5只，試求至少有兩只輪胎的行駛距離不足30萬公里的概率(1公里=1千米)。

解以X表示任意一只這樣的輪胎的使用壽命，則其壽命不足30萬公里的概率為

于是5只輪胎中至少有兩只輪胎的行駛距離不足30萬公里的概率為

3)正態分布

密度函數為

稱為標準正態分布的密度函數，對應的隨機變量以Z表示，且記與之間的關系為這里，為標準正態分布Z的分布函數。

由正態分布的密度函數圖像(圖1.1)可以看到，此曲線由均值μ和標準差σ決定，事實上，μ決定了密度函數曲線的位置，也稱位置參數；決定了曲線的形狀，也稱尺度參數。

圖1.1正態分布

正態隨機變量的3個重要數據:若X～N(μ，σ2)，則

我們可以看到，X的取值幾乎落在以均值為中心，3倍的標準差為半徑的對稱區間中。此性質也稱為3σ準則，其在產品的質量控制中有著重要應用。

例1.9(招生錄取線的確定)某學校近年招生情況看好，申請者越來越多，因此，錄取標準需要提高。經學校管理部門反復論證，制訂出一個錄取條件，即申請者的入學分數必須在前1%以內。如果入學分數服從均值為490，標準差為61的正態分布，則錄取的分為多少？

解以X表示申請者的入學分數，則X～N(490，612)。記錄取分數線為x0.01，則有

這里，查附表1得x0.01－49061=2.3263，即x0.01=632。

實際上，在上述常用分布的概率計算中，都可以運用excel統計計算中的相應函數，請讀者思考。本例中，可以運用excel中的函數NORMINV，立得x0.01=632。

1.1.2隨機變量的矩

若E(Xk)存在，則稱之為隨機變量X的k階原點矩，k=1，2， ；

若E(X－E(X))k存在，則稱之為隨機變量的k階中心矩，k=2，3， 。

特別地，稱隨機變量X的一階原點矩E(X)為隨機變量X的數學期望，也稱為均值；稱隨機變量X的二階中心矩E(X－E(X))2為隨機變量X的方差，稱E(X－E(X))2為隨機變量X的標準差。

在實踐中常用的當屬隨機變量的數學期望與方差。

下面給出常用隨機變量的數學期望與方差。

1.離散情形