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第五章 東方的數學

在前面所評述的希臘文化時期之前很久，遠東的民族就已經開始對數學表現出興趣了，因此我們現在要轉而談談東方。

在公元前1200年左右，印度河流域為雅利安民族所侵。在這之后，一種粗糙的文化慢慢開始在印度民族中出現了。跟古代其他民族一樣，印度民族的數學知識也是由于研究星體的運動而發展起來的。毫無疑問，印度人很早就有了初步的天文知識，這是他們為了表示季節的循環而培育起來的。他們早已有了根據太陽和月亮編寫出的歷書。他們經過長期地仔細觀察和記錄這些星體的運動，逐步獲得了大量的計算技巧。

習慣上都強調東方數學知識之邃古，我們不清楚為什么要這樣做，因為保存下來的數學文獻中沒有一本可以被肯定為是紀元前寫的，吠陀時期的文獻也沒有顯示出什么數學方面的東西。因此，要評價印度的成就是不可能的。即便在后來作家的著作中，也沒有援引外來的材料或談到外來的影響，可是有確鑿的證據說明，這種影響是不小的。

在公元前許多世紀，印度已與西方有所接觸。亞歷山大大帝在征服埃及后，曾出征到美索不達米亞和整個中亞細亞。到了公元前327年，印度河流域已經處在他的管轄之下了。亞歷山大向東方出征的直接后果之一，便是刺激了東西方之間的交流。在他死后，作為文化中心的巴比倫就處于塞琉西王朝的統治之下了。巴比倫人、波斯人、希臘人和印度人在這里相互接觸，而這種同希臘科學的接觸對印度人是很有好處的。但與希臘人不同，印度人在數學上只想獲得算術和代數方面的才能，他們雖然在熱心地培育這兩個學科，但數學對他們來說無非是一種計算技巧，他們并將之簡化為一套規則的技巧，他們所掌握的幾何學從來沒有達到過很高標準。許多世紀以來，它都沒有超越過用少數幾個沒有經過證明的公式來進行測量的原始形式，這些公式都是從外國抄襲來的，而在抄襲中訛誤則是屢見不鮮。在整個東方數學中，任何地方都找不到絲毫的證據可以看出有我們稱之為證明的那種東西。“印度數學家對于我們所說的數學方法是沒有什么興趣的。他們沒有提出一個定義，不大堅持邏輯順序，他們并不關心他們所用的規則制定得是否適當，而且對基本原理一般都漠然視之。他們從來沒有把數學作為一個研究科目來提高，事實上，他們對學問的態度可以說顯然是非數學化的。”雖然如此，他們的貢獻并不是不重要的，特別是他們在書寫數字方面所使用的位置值原理一直被說成是“他們最偉大的成就，并且在所有的數學發明中，是一個對智慧的總進展最有貢獻的發明”。在處理那些導致一個以上未知數的方程的問題方面，印度人獲得了大量技巧。他們解二次方程的方法即使放在現代教科書中也未必不合適，而在他們嘗試解某些簡易的三次方程和四次方程的實例時，曾預見到處理這些方程的現展。他們沒有為有理量與無理量之間的微妙區別所阻礙——這些問題一直是希臘人所感到困惑的，而毫不猶豫地接受了二次方程的無理數解，因而勝過了他們的前人。關于負數這個非常重要的概念的引出，也要歸功于印度人。然而，他們突出的貢獻是在研究不定方程方面。在這方面，他們超過了丟番圖，并且預見到現代代數中的某些發現。

如前所述，印度人研究數學的動力是由于其試圖制定一種標記季節循環的歷書，因此他們最早的著作是關于天文學的。這些著作就是所謂的《悉曇多》(Siddhantas，照字面直譯就是《已經確立的結論》)。然而，《悉曇多》的內容比那些僅僅記載巴比倫人流傳下來的結果的編纂物豐富些。它們的內容有相當多是理論知識，其中可以清楚地看到希臘影響的痕跡?！断叶唷饭灿形寰?，其中《蘇利耶歷數全書》(Surya Siddhanta)和《包利薩歷數全書》(Paulisa Siddhanta)是最重要的，可以認為其中包含有印度三角學的基礎。

隨著西方羅馬帝國的衰微，數學活動的中心移到了東方。在公元500一公元1000年期問，印度出現了四五個有名的數學家。印度數學最繁盛的時期可能是在聞名于6世紀初的天文一數學家阿耶波多的著作發表前后。他的著作實質上是《悉曇多》中所載結果的系統化，他的論文《阿耶波多歷書》(Aryabhativa)是特別有價值的，因為它不僅推動了這門學科的研究，而且還描繪了當時數學知識的狀態。書中可以找到常用算術運算的種種規則，其中包括乘方和開方。此外還有一些關于簡單的二次方程、簡單的代數恒等式和等差級數的知識。但它最重要的一個特點乃是書中用連分數處理了不定方程的問題，這和今天所用的方法實質上相同。然而，正如印度關于數學的所有其他著作一樣，它很難說是一本科學論著。它收集了66條規則，其中許多都是非常復雜并且難以遵守的，它的重點總是放在論題的計算方面。書中沒有一處地方提示過證明方法，在為了得到解答而采取的一個個步驟中，進行的方法與所有古代的東方問題一樣，都是巧妙地用文字來解釋的。如前所述，阿耶波多非常注意三角學，他引入了正弦和正矢的概念，對于托勒密的繁拙的半弦來說是一個顯著的進步。他的幾何學僅限于用少數規則來確定立體的體積，并且這些規則中不少是不的。例如，棱錐體的體積被定為底面積和高的乘積之一半，球的體積被定為具有同樣半徑的圓面積和這面積的平方根之乘積。雖然如此，他對于圓周與其直徑之比卻求出了一個非常相近的近似值。他是這樣說的：100加4，乘以8，再加62000，結果是直徑為20000的圓周的近似值，這就導致所求的比值是3.1416。但由于某種原因，直到12世紀前后印度數學家始終沒有使用過這個值。

阿耶波多以后的6個世紀，即公元600—公元1200年，是一個燦爛輝煌的時期，同時也是一個荒蕪貧瘠的時期。這個時期最不朽的貢獻仍然是在不定方程的研究方面，這個問題對印度人總是具有一種強烈的吸引力。前面我們看到，丟番圖在處理這種問題時顯示了相當的才智，但他似乎沒有得出求解的普遍法則。要把建立普遍法則的功績歸諸印度數學家會是言過其實的，但是，他們的工作對于我們在丟番圖那里所能找到的東西來說，則標志著明顯的進步。同時，有些跡象表明這個時期對幾何學的興趣恢復了，人們開始研究直角三角形的性質，對純粹幾何學的不大徹底的處理也出現了。就在這個時期，特別是在分析方面產生了許多顯示出相當技巧的數學家，他們是婆羅摩笈多(生于598年)、摩訶吠羅(活躍于9世紀)、施里德哈勒和婆什迦羅(約1114—1185)。

婆羅摩笈多是他的國家里最偉大的數學家之一。他的工作主要建立在前人的工作上，尤其是阿耶波多的基礎上，但其中也有許多創造性的東西。他的著作中經常出現算術運算(包括對開方問題的處理)、利息問題、比例、等差級數以及自然數的平方和等問題。我們在這里還可以看到他對負數及零已經有了清楚的概念。他提出了解各種二次方程的規則，這些規則是用一系列問題的解答作為例證來說明的，但在各個步驟中仍然是用文字敘述的，此外別無其他方式。然而，他在不定方程方面卻顯示出最偉大的才能。阿耶波多簡單陳述過解一次不定方程的方法。婆羅摩笈多則大大超過了這一點，他提出了方程ax by=c(a，b和c都是整數)的整數解，以及處理不定方程ax2 1=y2的巧妙方法。雖然他在這個數學分支中的工作不如我們在5個多世紀以后婆什迦羅的工作中所看到的那樣完整，但這已足夠給予他在數學史上一個不朽的地位了。他的幾何學僅限于度量方面的幾個基本規則以及關于直角三角形的性質。關于圓的幾何學，包括圓內接四邊形的性質，他已經有了初步知識，但他所求出的圓周與其直徑之比的數值是√10，不如他的前人。

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