引論：我們?yōu)槟砹?3篇數(shù)學概念教學范文，供您借鑒以豐富您的創(chuàng)作。它們是您寫作時的寶貴資源，期望它們能夠激發(fā)您的創(chuàng)作靈感，讓您的文章更具深度。

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數(shù)學概念的學習不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等多種學習方式。但在教學實踐中，我們一線教師都有一個共同的困擾，即在學生自主探索的時間內(nèi)，①有的學生根本提不出問題，②有問題也無從下手分析，③大部分學生抓不住要點。一節(jié)時間過去了，什么教學任務沒有完成。教師看在眼里，急在心上，屬于無效教學。現(xiàn)代教育提倡自主探索、情景激發(fā)、合作學習，但并不是每節(jié)數(shù)學課必不可少的步驟，數(shù)學課不能以“生活化”和“社會化”代替“數(shù)學化”。一個數(shù)學概念的形成是前人把大量的同類事物某方面的特性單獨抽出來研究，經(jīng)過比較、分析、歸納和抽象再把這類事物的共同特性綜合起來概括出數(shù)學概念。嚴謹科學的數(shù)學概念的理解，對學生來說不是一下子就能領會深刻的。因此教師必須搞清楚數(shù)學概念的屬性，有些概念只需識記；有些概念需弄清楚它的來龍去脈、深刻理解；有些概念不僅要理解還要應用其解決問題。這樣就能合理地安排教學。

一、原始概念的教學

原始概念指不加定義的概念，根據(jù)人們的直覺，形象描述，舉例說明。我們在教學中要找到現(xiàn)實的最佳原型，把這個概念的特性表征出來。如：自然數(shù)、點、線、平面、集合、對應、平行、相交、代數(shù)式、等式、不等式等。例1：代數(shù)式的說明：經(jīng)過舉例后，描述為像這樣由數(shù)和字母乘積組成的式子就叫代數(shù)式。例2：集合的說明：通過舉同種性質(zhì)事物全體后，描述為像這樣特定對象的全體構成集合。原始概念是概念中的基石，有了原始概念就可以在其基礎上抽象出新概念。這類概念的教學，只需舉出日常生活、生產(chǎn)中的實例形成這類概念的印象，搞清楚其特征。教學的要求是達到了解水平，即能說出這些知識是什么，能在有關問題中識別它們。

二、規(guī)定式概念的教學

由于數(shù)學發(fā)展的需要而作出的規(guī)定。模長等于1的向量是單位向量。非零實數(shù)的零次方等于1。還有絕對值、圓周率、自然對數(shù)的底數(shù)等。教學要求也只需達到識別、回憶、套用即可。因為這些概念是硬性規(guī)定的。但應用時要抓住使用條件。

三、構造式概念教學

日常生活、生產(chǎn)中研究的對象變化符合某種規(guī)律，就可構造出相應數(shù)學模型。通常由數(shù)與式通過運算法則和符號組成固定形式。如：“形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)”叫指數(shù)函數(shù)。這類概念形式有嚴格的要求。要理解這類概念，就需進行概念辨析。如：y=3-x，y=2·3x，y=（-3）x，y=3x+1是不是指數(shù)函數(shù)。這類概念教學用不上情景和啟發(fā)，用得上點撥與討論，記住這些基本函數(shù)的形式。

四、邏輯式概念的教學

在已學過的數(shù)學概念基礎上，用若干個原始概念或者改變某些條件形成新的數(shù)學概念。例：棱柱的定義為：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體。其中已學過的定義有“平行平面”、“四邊形”、“公共邊”、“平行”、“多面體”。此類的概念還有：等腰梯形、圓錐等。教學中需要用到原來已學過的概念，再搞清要改變的條件即可。

五、程序性概念

經(jīng)過有限步驟的運算或畫圖由數(shù)學基礎知識和技能而形成的概念。此類概念是教學中的重點，有時也是難點。這類概念占的比例最大，又可細分為兩種情況：（1）過程型定義：完成運算步驟，就可以得到該概念的定義。例1：要想理解平均數(shù)的定義。①給出一組實數(shù)，②求這組實數(shù)的和③用和除以這組數(shù)的個數(shù)④所得的數(shù)即為這組數(shù)的平均數(shù)。例2：理解函數(shù)的定義。①觀察兩個非空數(shù)集A、B中有哪些元素，②分析對應關系f，③集A中的元素在f作用下的結果在B中能否找到④做出判斷。（2）結構型定義：觀察數(shù)學對象的各部分結構加上組合方式做出的判斷。例1：理解單項式定義時：舉出幾個式子，觀察每個式子都是數(shù)字與字母的乘積。例2：理解三角形定義時：觀察三條線段首尾順次相連即可。 教學中要搞清楚形成該概念有幾個步驟或分解這個概念的組成成分。

六、數(shù)形結合式定義

先通過畫圖認識其形狀結構，再通過蘊含的數(shù)量關系搞清其本質(zhì)特性。例1：在平面內(nèi)到兩個定點距離的和等于定長的點的軌跡形成橢圓。我們雖然通過線繩操作畫出橢圓，但這些感性知識還是不夠的。其中的數(shù)量關系式①兩定點距離為2c，②動點到兩定點的距離之和為2a，③2c

數(shù)學概念除了定名稱，搞清定義以何種方式形成外，還應舉出適當數(shù)量的正例和反例加深理解和記憶。要熟練的掌握數(shù)學概念，還應對定義進行變式訓練，即加強或減弱或隱含某些條件來辨析概念的正誤以及適用范圍。

【參考文獻】

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1．注重概念的本源，概念產(chǎn)生的基礎。

每一個概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念是傳統(tǒng)教學模式中司空見慣的做法，這種做法常常使學生感到茫然，丟掉了培養(yǎng)學生概括能力的極好機會。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規(guī)定性，傳統(tǒng)教學中往往比較重視培養(yǎng)思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主讓學生“占有”新概念，置學生于被動地位，使思維呈依賴，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。“學習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。學生如能在教師創(chuàng)設的情景中像數(shù)學家那樣去“想數(shù)學”，“經(jīng)歷”一遍發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養(yǎng)他們的創(chuàng)造精神。由于概念教學在整個數(shù)學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數(shù)學概念教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。概念引入時教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象，讓學生經(jīng)歷數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段。牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”猜想作為數(shù)學想象表現(xiàn)形式的最高層次，屬于創(chuàng)造性想象，是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力，因此，在概念引入時培養(yǎng)學生敢于猜想的習慣，是形成數(shù)學直覺，發(fā)展數(shù)學思維，獲得數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)，也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的重要因素。

2．概念的教學中注重思維品質(zhì)的培養(yǎng)

如何設計數(shù)學概念教學，如何在概念教學中有效地培養(yǎng)和開發(fā)學生的思維品質(zhì)，是我們在教學中經(jīng)常遇到并必須解決的問題．

1．展示概念背景，培養(yǎng)思維的主動性，思維的主動性，表現(xiàn)為學生對數(shù)學充滿熱情，以學習數(shù)學為樂趣，在獲得知識時有一種愜意的滿足感． 2．創(chuàng)設求知情境，培養(yǎng)思維的敏捷性思維的敏捷性表現(xiàn)在思考問題時，以敏銳地感知，迅速提取有效信息，進行“由此思彼”的聯(lián)想，果斷、簡捷地解決問題． 3．精確表述概念，培養(yǎng)思維的準確性思維的準確性是指思維符合邏輯，判斷準確，概念清晰。新概念的引進解決了導引中提出的問題．學生自己參與形成和表述概念的過程培養(yǎng)了抽象概括能力． 4．解剖新概念，培養(yǎng)思維的縝密性思維的縝密性表現(xiàn)在抓住概念的本質(zhì)特征，對概念的內(nèi)涵與外延的關系全面深刻地理解，對數(shù)學知識結構的嚴密性和科學性能夠充分認識．在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數(shù)學思想方法．5．運用新概念，培養(yǎng)思維的深刻性。思維的深刻性主要表現(xiàn)在理解能力強，能抓住概念、定理的核心及知識的內(nèi)在聯(lián)系，準確地掌握概念的內(nèi)涵及使用的條件和范圍．在用概念判別命題的真?zhèn)螘r，能抓住問題的實質(zhì)；在用概念解題時，能抓住問題的關鍵．鞏固深化階段：在學生深刻理解數(shù)學概念之后，應立即引導學生運用所學概念解決“引入概念”時提出的問題（或其他問題），在運用中鞏固概念．使學生認識到數(shù)學概念，既是進一步學習數(shù)學理論基礎，又是進行再認識的工具．如此往復，使學生的學習過程，成為實踐?認識?再實踐?再認識的過程，達到培養(yǎng)思維深刻性的目的．6．分析錯解成因，培養(yǎng)思維的批判性。思維的批判是指思維嚴謹而不疏漏，能準確地辨別和判斷，善于覓錯、糾錯，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動．舉反例，從反面來加深學生對概念的內(nèi)涵與外延的理解，培養(yǎng)思維的批判性．

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概念是客觀事物本質(zhì)屬性、特征在人們頭腦中的反映。數(shù)學概念是反映現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質(zhì)屬性的思維形式。在初中數(shù)學教學中，加強概念的教學，正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和數(shù)學思想的基礎，搞清概念是提高解題能力的關鍵。在新一輪課改理念的引領下，結合我的教學實踐，就數(shù)學概念教學的有關問題與大家共同探討。

一、新舊理念下數(shù)學概念教學模式的層次分析。

傳統(tǒng)的數(shù)學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行。通常分為

以下幾個步驟：

1、揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；

2、對概念的進行特殊分類，揭示概念的外延；

3、鞏固概念，利用概念解決的定義進行簡單的識別活動；

4、概念的應用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學概念與其他概念間的

聯(lián)系。

這種教學過程簡明，使學生可以比較直接地學習概念，節(jié)省時間，被稱為是“學生獲得概念的最基本方式”。但是，僅從形式上做邏輯分析讓學生理解概念是遠遠不夠的。數(shù)學概念具有過程——對象的雙重性，既是邏輯分析的對象，又是具有現(xiàn)實背景和豐富寓意的數(shù)學過程。因此，必須返璞歸真，揭示數(shù)學概念的形成過程，讓學生從概念的現(xiàn)實原型、概念的抽象過程、數(shù)學思想的指導作用、形式表述和符號化的運用等多方位理解一個數(shù)學概念，使之符合學生主動建構的教育原理。

美國教育心理學家布魯納曾指出：“獲得的知識如果沒有完滿的結構將它聯(lián)系在一起，那是一個多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”就數(shù)學概念教學而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。新課改理念下的數(shù)學概念教學要經(jīng)過四個階段：

1、活動階段。

2、探究階段。

3、對象階段。

4、圖式階段。

以上四個階段反映了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動。其中的“活

動”階段是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系；“探究”階段是學生對“活動”進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、概括過程，學生在頭腦對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)；“對象”階段是通過前面的抽象認識到了概念本質(zhì)，對其進行“壓縮”并賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個思維中的具體的對象，在以后的學習中以此為對象進行新的活動；“圖式”的形成是要經(jīng)過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學習，建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式

二、新課改理念下的概念與法則的教學案例。

1、代數(shù)式概念

代數(shù)式（字母表示數(shù)）概念一直是學生學習代數(shù)過程中的難點，有很多學生

學過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)在于將求知數(shù)和數(shù)字可以像數(shù)一樣進行運算。認識這一點，需要有以下四個層次。

（1）通過操作活動，理解具體的代數(shù)式

問題一：讓學生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并請?zhí)顚懞孟卤恚?/p>

正方形個數(shù)

1

2

3

4

……

100

……

n

火柴棒根數(shù)

問題二：有一些矩形，長是寬的3倍，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

寬

1

4

7.5

11

長

周長

面積

通過以上兩個問題，讓學生初步體會“同類意義”的數(shù)表示的各種關系。

（2）探究階段，體驗代數(shù)式中過程。

針對活動階段的情況，可提出一些問題讓學生討論探究：

①問題一中3n+1，與具體的數(shù)有什么樣的關系？

②把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義？（需

經(jīng)反復體驗、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運算關系；字母表示一類數(shù)等）。

這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，可設計下題讓學生進一步體會代

數(shù)式的特征：

①每包書有12冊，n包書有________冊。

②溫度由t℃下降2℃后是_________℃。

③一個正方形的邊長是x，那么它的面積是_________。

④如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費（每立方米b元），共花去_______________元錢？

（3）對象階段，對代數(shù)式的形式化表述。

這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項、因式分

解及解方程等運算。學生在進行運算中就意識到運算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù)，代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運算結構關系，而不只是運算過程。這一階段，學生必須理解字母的意義，識別代數(shù)式。

（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式。

通過以上三個階段的教學，學生在頭腦中應該建立起如下的代數(shù)式的心理表

征：具體的實例、運算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學思想、代數(shù)式的定義，并能加以運用。

2、有理數(shù)加法法則

（1）運算操作：計算一個足球隊在一場足球比賽時的勝負可能結果的各種

不同情形：

(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3

(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1

(+3)+0——+3…………

（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分數(shù)）。

（2）探究規(guī)律：把以上算式作為整體綜合進行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結果對照總結規(guī)律，理解運算意義。

（3）形成對象：把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：

有理數(shù)+有理數(shù)=①符號②數(shù)值

這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運算律進行任意的有理數(shù)和的運算和代數(shù)式求值的運算等。

（4）形成圖式：有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實例、有抽象的操作過程、有完整的運算律和形成的模式。而且通過以后的學習獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系。

三、兩種教學模式下學生學習方式的對比分析。

與新課改理念相比，傳統(tǒng)的教學模式下學生的學習缺少“活動”階段，對概念的形成過程沒有充分體驗，學生數(shù)學概念的建立靠教師代替快體驗、快抽象。反映出的情況有：

（1）過快的抽象過程使得只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發(fā)全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數(shù)學概念，只能靠死記硬背。例如學生學習有理數(shù)運算很長時間，還經(jīng)常出現(xiàn)符號運算錯誤，這就是學生對有理數(shù)運算沒有理解而造成的。

（2）由教師代替學生快體驗、快抽象出數(shù)學概念，即使是能跟隨教師進行有意義學習的學生其學習活動也是不連貫的，建構的概念缺乏完整性。例如學生學習了代數(shù)式的概念，經(jīng)常出現(xiàn)a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等錯誤，這是因為學生沒有進行必要的“活動”，使“探究”的體驗不完整需用造成的。又如在求解方程中出現(xiàn)(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等錯誤，說明學生還停留于運算過程層面，對方程對象的結構特征不理解。

（3）學生建構概念的圖式層面是學習的最高階段，在現(xiàn)有教學環(huán)境下很多學生難以達到這一層面。例如，為什么要學習解方程？解方程的本質(zhì)是什么？

四、新課改理念下數(shù)學概念教學的策略。

新課改理念下的數(shù)學概念教學是由學生活動、探究到對象、圖式的學習過程，體現(xiàn)了數(shù)學知識形成的規(guī)律性。為此，我結合自己的教學實踐對數(shù)學概念教學采取以下策略：

（1）教師要把“教”建立在學生“學”的活動中。

為了使學生建構完整的數(shù)學知識，首先要設計學生的學習活動。這需要教師創(chuàng)設問題情境，設計時要注意以下幾個方面：①能揭示數(shù)學知識的現(xiàn)實背景和形成過程；②適合學生的學習水平，使學習活動能順利展開；③適當數(shù)量的問題，使學生有充足活動體驗；④注意趣味性，活動形式可以多種多樣，引起全體學生的學習興趣。

（2）體現(xiàn)數(shù)學知識形成中的數(shù)學思維方法。

數(shù)學思維方法是知識產(chǎn)生的靈魂，把握數(shù)學知識形成中的數(shù)學思維方法，是學生展開思維、建構概念的主線。學生學習中要給予提示、建議并在總結中歸納。另外，要設計能引起學生反思的提問，如“你的結果是什么？”“你是怎樣得出的？”“你為什么怎樣做？”……使學生能順利完成由“活動”到“探究”，“探究”到“對象”的過渡。

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二、數(shù)學概念課的教學任務

就是要使學生認識概念的來源，準確的掌握概念的內(nèi)涵和外延，弄清概念間的關系，并運用概念解決問題，從而提高學生的能力。

三、 數(shù)學概念課教學的幾點方法

這是數(shù)學教學課教學的關鍵一步。

1. 概念的引入

數(shù)學概念，有的是從客觀事物的數(shù)量關系和空間形式反映而得來，有的是在抽象的數(shù)字理論基礎上得來的。這就要求我們在概念教學中，既要從學生接觸過的具體事物，具體內(nèi)容引入，也要從數(shù)學內(nèi)容問題提出。如初一代數(shù)中，數(shù)軸的概念教學，可用溫度計作為數(shù)軸原型，明確三要素—原點，正方向和單位長度，從而給數(shù)軸下定義；從具有相反意義的量引入正數(shù)和負數(shù)，同時也要從正數(shù)減法運算（被減數(shù)小于減數(shù)）的需要，引入負數(shù)概念，使學生認識到引入負數(shù)是生產(chǎn)實踐的需要。

這就是說：⑴在概念數(shù)學教學中，常常需要提供新概念的原型，從多個原型中進行歸納，引入新概念。例如，引入平行線的概念，給出教室黑板的兩邊，讓學生觀察以上對象有什么特點，再通過分析、對比、歸納、抽象出以上對象共同的本質(zhì)屬性，即都具有：在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交的本質(zhì)特征，然后給出定義。

⑵在數(shù)學概念教學中，還需要利用新舊概念之間的聯(lián)系引入新概念，如學生已有了方程，一元一次方程的知識，要引入一元二次方程的概念時，就可寫出3x2-2x+1=0，y2-3y-2=0等方程，學生從觀察未知數(shù)個數(shù)及未知數(shù)的最高次數(shù)而說出它們叫一元二次方程。

2. 概念的明確

在明確數(shù)學概念中：⑴應重點講解概念中的屬概念和種差，使學生認識到被定義的概念既具有它的屬概念的一切屬性，又具有它自己獨有的特性，即定義的種差，這樣學生就初步掌握了概念的內(nèi)涵，例如，有理數(shù)教學中，既要弄清它的分類，又要弄清各種概念與屬概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。⑵同時，應引導、啟發(fā)學生從知識的整體中，認識概念，挖掘概念間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)和認識同類概念間的相互聯(lián)系，以及兩個同類概念的內(nèi)涵和外延間存在著包含和被包含關系，例如，四邊形平行四邊形矩形正方形；函數(shù)一次函數(shù)正比例函數(shù)，這樣學生就會明確這幾個概念之間的內(nèi)在區(qū)別與區(qū)別，從而更好的掌握概念。⑶為了明確概念在概念教學的一定階段或一個單元之后，應讓學生把所學概念與同類概念放在一起進行分類，這樣不使學生只見樹木，不見森林的獨立學習第一概念，如y=kx+b何時為一次函數(shù)，何時為正比例函數(shù)。⑷還應使學生正確理解和應用數(shù)學概念的名稱和符號。例如， sinα表示∠α 的正弦函數(shù)，是一個整體，sin 與α 不是相乘關系， sinα是正弦符號。

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根據(jù)二十五年的教學實踐，以及新課標對數(shù)學課教學的要求，我深深的感悟到要搞好數(shù)學概念課的教學，應從概念的引入、形成、深化、應用四大環(huán)節(jié)入手。

一、概念的引入

眾所周知，數(shù)學概念是比較抽象的，教師在授課的過程中學生理解起來也相對較難，作為一名教師如何調(diào)動學生思維的積極性和創(chuàng)造性，更好地理解和掌握所學的概念，概念的如何引入就顯得尤為重要。因為一節(jié)好的數(shù)學課猶如一只優(yōu)美的樂曲，“起調(diào)”賞心悅目，“”激情似火，“尾聲”余音繚繞。作為從事多年數(shù)學教學工作的我，要想自己的教學達到上述效果，其中的“起調(diào)”即概念的如何引入是決定這節(jié)課成敗的關鍵之所在。

在具體教學中，我常采用下列方法：（1）以舊引新：數(shù)學中許多概念都是具有聯(lián)系的，都是舊知識的引申和延續(xù)。因為我們在初中學過四種三角函數(shù)：正弦；余弦；正切；余切。當時是針對銳角定義的，當我們學過角的概念的推廣和弧度制后，就借助銳角的三角函數(shù)自然地推廣任意角的三角函數(shù)的定義上，學生也易于接受。（2）觀察概括：在講奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念時，我讓學生在我事先建好的坐標系紙張上快速畫出函數(shù)y=x2和y=x3的圖像，然后讓學生觀察每個圖像的特征，啟發(fā)學生用符號語言表示兩圖像的特征，最后教師揭示課題，給出奇函數(shù)和偶函數(shù)的準確定義。（3）類比猜想：這種方法可用于新舊知識之間、相似或同類知識之間。課本中的許多知識都存在這種屬性，如等差數(shù)列和等比數(shù)列；指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)；三種圓錐曲線等。（4）故事導入：就是用講與新授內(nèi)容有關的生動有趣的小故事來到如新課，吸引學生的注意力和想象力。如在講《反證法》一課時，我以歷史典故引入：相傳古時候，有一位忠臣被一個奸臣所害，被判死罪。可皇帝念其功大，決定用運氣來決定最后的處決辦法：用兩張小紙條，一張寫上“死”字，另一張寫上“活”字，讓他自己抽簽來決定其死活，可奸臣把兩張紙條都寫上死字，恰巧被忠臣的朋友看見告訴了他，忠臣思索片刻便高興地說我有救了。當他抽出第一張紙條時，誰也不讓看，便吞進肚子里，斬官只好看第二章紙條，剩下的無疑是“死”字了，于是這位忠臣被赦免了，以此引出反證法的概念。（5）實例引入：中等職業(yè)學校的數(shù)學教材為了適應新課改的需要，改變了以往的編寫模式。新教材特別注重從生活中的具體實例引入新概念，這種方法最適用于我們職業(yè)學校的學生，也是我最常用的方法。它讓學生感知概念的產(chǎn)生和發(fā)展的過程，從而把抽象的概念變成了學生易于理解和接受的客觀事實，激發(fā)了學生學習數(shù)學的熱情和創(chuàng)造性思維，再加上自己在教學過程中充分挖掘教材，并把具體問題設置成合理的教學情景、多媒體動態(tài)演示，展示知識的發(fā)生、發(fā)展的過程，引導學生從感性材料中挖掘出事物的本質(zhì)屬性、抽象出數(shù)學概念，實現(xiàn)從感性認識到理性認識做好了鋪墊。

例如，在講指數(shù)函數(shù)的概念時，我借助多媒體演示細胞分裂的的過程，每一個細胞分裂一次變?yōu)?個

第一次：1個分裂為2個

第二次：2個分裂為4個

第三次：4個分裂為8個

第四次：8個分裂為16

……

第x次：細胞分裂的個數(shù)y=2x

從上面的例子中，發(fā)現(xiàn)自變量出現(xiàn)指數(shù)位置上，從而揭示課題――指數(shù)函數(shù)。

二、概念的形成

概念是在感性認識的基礎上形成的，所以在對感性材料進行分化的基礎上，抽象出概念的本質(zhì)屬性，然后進行高度概括而形成概念，并用精準的語言給出定義，給出概念的符號表示，有時還需要給出反映概念本質(zhì)屬性的圖形，有意識的讓學生在文字語言，圖形語言和符號語言三者之間建立聯(lián)系，形成相互間的信息通道。

例如，指數(shù)函數(shù)的概念：形如y=ax （a>0，a≠0）函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。它的本質(zhì)屬性是底數(shù)是常量，指數(shù)是變量。其圖像如下：

于此同時，通過題組讓學生進行辨析，引導學生把握指數(shù)函數(shù)的特征，進一步完善概念。

三、概念的深化

有些概念，從大量引入感性材料后，初步形成了理性認識，但這樣的理性認識是膚淺而不深刻的，學生對于這樣的概念的理解，由于基礎薄弱顯得有些措手不及，有些學生即使理解也模棱兩可。這時就需要我們教師在教學中，有目的性地安排一些強化活動，讓學生在操作中理解和掌握新概念，顯然最佳的方案就是練習，教師通過題組讓學生正反分析實例，加深對所學概念的透徹理解。

例如，講完指數(shù)函數(shù)的定義后，我安排一組訓練題：指出下列哪些函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，那些不是，為什么？

（1）y=2.1x （2）y=3*2x

（3）y=x3（4）y=3-x

答案：（1）是；（2）不是，因為前面的系數(shù)不是1；（3）不是。因為冪底數(shù)不是常數(shù)，冪指數(shù)不是變量。（4）不是。冪指數(shù)的系數(shù)不是1。

（二）函數(shù)（a2-3a+3）ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值為（C）

A.a=1或a=2 B.a=1

篇6

恩格斯說：“在一定意義上，科學的內(nèi)容就是概念的體系。”數(shù)學概念是整個數(shù)學知識體系的基礎，是進行數(shù)學推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學定理、法則、公式的基礎，也是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點。數(shù)學概念的教學既是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學學習的核心，其根本任務是準確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，是學生思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題。可以說掌握數(shù)學概念是學好數(shù)學的關鍵。因此，數(shù)學概念的教學也相應稱為數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)。高中數(shù)學教學實踐表明數(shù)學概念是數(shù)學中既不易教也不易學的內(nèi)容。在數(shù)學教學中要自始至終抓住數(shù)學概念的本質(zhì)屬性及其內(nèi)部聯(lián)系，就要了解概念的體系，關注概念的引入，剖析概念的本質(zhì)，掌握概念的符號，重視概念的鞏固。

一、了解概念的體系

數(shù)學概念是導出全部數(shù)學定理、法則的邏輯基礎，數(shù)學概念是相互聯(lián)系、由簡到繁而形成的學科體系。人們認識事物的本質(zhì)特征通常不可能一次性孤立完成。事實上，學生“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把他聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命”。因此，數(shù)學概念的教學，要弄清楚學習這個概念需要怎樣的基礎，分析這個概念以后有何用處，它的地位和作用如何。這樣，在講授時就能主次分明，輕重得當，既復習鞏固已學過的概念，又為后繼概念作恰當?shù)脑蟹＠纾敖^對值”是貫穿整個中學數(shù)學的重要概念，先是在有理數(shù)中引入；接著在算術根中出現(xiàn)了，把絕對值得概念拓展到實數(shù)范圍；最后在復數(shù)中，絕對值的概念擴展成了復數(shù)的模

二、關注概念的引入

傳統(tǒng)的概念教學將獲得知識結論作為主要目標，忽視了學生在知識形成過程中的重要作用，使學生的學習行為更多的表現(xiàn)為機械記憶，而不是理性分析。根據(jù)建構主義學習理論學習應是認知主體的內(nèi)部心理過程，學生是信息加工的主體。高中數(shù)學新課標中提出了“過程與方法”這一教學目標維度，在這一維度下，新課程對學生的學習要求從原來的“知識性”向“過程性”轉變。概念的引入是進行概念教學的第一步，這一步走得如何，對學好概念有重要的作用。

1.提供現(xiàn)實原型。著名教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應該是一種過程的經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟。”數(shù)學教學中，教師應立足教材，著眼學生的發(fā)展，把握核心知識內(nèi)容，有效開展自主探究活動，向學生展示本質(zhì)，是學生理解數(shù)學概念的形成過程。形成準確概念的首要條件，是使學生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料。因此，在教學中要密切聯(lián)系數(shù)學概念的現(xiàn)實原型，引導學生分析日常生活和生產(chǎn)實際中常見的事例，觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上引入概念。例如在“異面直線”概念的教學中，教師應先展示概念產(chǎn)生的背景，如在粉筆盒這樣一個長方體模型中，當學生找出兩條既不平行又不相交的直線時，教師告訴學生像這樣的兩條直線稱之為異面直線，接著教師可提出問題“什么是異面直線呢？”可讓學生進行討論，嘗試敘述，再進行反復修改可得出異面直線的簡明、準確而嚴謹?shù)亩x“我們把不在任何一個平面上的兩條直線稱為異面直線”。再讓學生找出教室中的異面直線，再以平面為襯托作出異面直線的圖，這樣學生對異面直線的概念就有了一個較為明確的認識，同時也讓學生經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗。

2.從數(shù)學內(nèi)在需要引入概念。例如，在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x2+1=0沒有解，為了使它有解，就引入了一個新數(shù)i，i滿足i2=-1，它和實數(shù)一起可以按照通常的四則運算法則，進行計算。由此再引入復數(shù)的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用類比的方法引入概念。類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法。任何數(shù)學概念必定有與之相關的最近概念，因此教學中要以學生已掌握了的知識為基礎，引導學生探求新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過類比教學引出新概念。例如，二面角可類比平面角引入，平面與平面的位置關系可類比平面上直線與直線的位置關系引入，平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則概念的引入可以與物理學科中的位移的合成、力的合成進行類比引入等。

三、剖析概念的本質(zhì)

概念在人們頭腦中形成，僅是人們對概念認識的開始，對概念認識的深化必須從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析。概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的對象的本質(zhì)特征。概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象。內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，即概念所反映的事物是什么樣子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的適用范圍，它說明概念反映的是哪些實物。以三角函數(shù)的概念為例，對六個基本三角函數(shù)的定義，應抓住其中一個，如正弦函數(shù)sinα=y，可這樣進行分析：正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個“比值”，它是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值，因此它是一個數(shù)值；指出由于｜y｜≤r，所以這個比值不超過1，這個比值與點在角的終邊上的位置無關，這可用相似三角形的原理來說明；這個比值的大小，隨著α的變化而變化，當α取某個確定的值，比值也有唯一確定的值與之相對應。如此，以函數(shù)概念為基本線索，從中找出了自變量、函數(shù)以及對應法則，從而對正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經(jīng)過對正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點P（x，y）一經(jīng)確定，就涉及x，y，r這三個量，任取其中兩個量組成比值，有且僅有六個。因此，基本三角函數(shù)就有六個，從而對三角函數(shù)的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符號

用數(shù)學符號表示數(shù)學概念既是數(shù)學的特點又是數(shù)學的優(yōu)點。由于數(shù)學概念本身就十分抽象，加上用數(shù)學符號表示，就更加抽象了，因而在數(shù)學概念教學中使學生真正掌握概念符號的意義是十分重要的。例如，學生往往將正弦函數(shù)的符號“sin”看成一個數(shù)，從而得出如下的錯誤等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教學中，要始終給形式符號以具體的內(nèi)容，時刻提醒學生注意符號的意義及使用符號的條件。

五、重視概念的鞏固

初步形成的概念，鞏固程度差，易受相近概念的干擾，適時利用變式訓練有助于糾正學生的思維偏差。概念鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié)。心理學原理告訴我們，概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。鞏固概念，首先應在引入、形成概念后，及時進行復述，以加深對概念的印象。其次應重視在發(fā)展中鞏固。第三是通過概念的應用來鞏固。概念的應用要注意遞進的過程，即由初步的，簡單的應用，逐步發(fā)展到較復雜的應用。要引導學生在判斷、推理、證明中運用概念，在日常生活、生產(chǎn)實踐中運用概念，以加深對概念的理解，達到鞏固概念的目的。例如，教學對數(shù)的概念后，可以通過以下四類練習題予以鞏固：

通過這些練習，可以使學生逐步學會運用對數(shù)概念進行判斷、推理和證明。在運用的過程中，加深對對數(shù)概念的理解。

人類的認識過程是一個特殊的心理過程，對于數(shù)學概念的理解和掌握，智力不同的學生完成這個過程往往有明顯的差異。在教學中要面向全體學生出發(fā)，從不同的角度，設計不同的方法，使學生對概念作辯證的分析，進而認識概念的本質(zhì)屬性。例如選擇一些簡單的鞏固練習來辨認、識別，幫助學生掌握概念的內(nèi)涵與外延；通過變式或變式圖形，深化對概念的理解；通過新舊概念的對比，分析概念的矛盾運動，抓住概念之間的區(qū)別與聯(lián)系來形成正確的概念。只有讓學生深刻理解并掌握了概念，才能更好的幫助學生認識數(shù)學，進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生的理解能力。

參考文獻

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一、在體驗數(shù)學概念產(chǎn)生的過程中認識概念

數(shù)學概念的引入，應從實際出發(fā)，創(chuàng)設情境，提出問題。通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性。

如在“異面直線”概念的教學中，教師最好先陳述概念產(chǎn)生的背景。如在長方體模型中，讓學生觀察長方體的各條棱中，是否存在兩條既不平行又不相交的直線？若存在，請同學們找出來。教師接下來告訴學生像這樣的兩條直線就叫做異面直線。接著提出“什么是異面直線”的問題，讓學生相互討論，嘗試敘述，經(jīng)過反復修改補充后，給出簡明、準確、嚴謹?shù)亩x：“我們把不在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線。”經(jīng)過了學生自己的直觀感知，歸納概括的基礎上，再讓學生找出教室或長方體中的異面直線，進一步深化學生對概念的理解。最后以平面作襯托，引導學生如何畫出異面直線的圖形。學生經(jīng)過以上過程對異面直線的概念有了明確的認識，同時也經(jīng)歷了概念發(fā)生發(fā)展過程的體驗，更有利于學生對概念的把握。這一點在新課標教材改革后有明顯的體現(xiàn)。

二、在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎上理解概念

一個新概念的引入，無疑是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。如三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個循序漸進、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義；（2）用點的坐標表示銳角三角函數(shù)的定義；（3）任意角的三角函數(shù)的定義，等等。可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重，是整個“三角”部分的奠基石，它貫穿于與“三角”有關的各部分內(nèi)容，并起著關鍵作用。所以重視概念教學，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，對于學生理解概念顯得更有必要。常言道：磨刀不誤砍柴工。事實上，也正是如此，對概念的內(nèi)涵與外延的把握，不但不會耽誤例題的講解，反而會相得益彰。

三、類比鄰近概念，引入新概念

篇8

1.聯(lián)系生活中具有相反意義的量。如用收入與支出，前進與后退，盈利與虧損，上升與下降等引出正負數(shù)的概念。

2.從實物抽象出概念。如利用桿秤引出數(shù)軸的概念。用桿秤稱量物體時，移動秤砣保持秤桿平衡，秤桿上星點表示的數(shù)就是物重，秤砣左右移動表示物體的重量增減變化，從這一過程中抽象出本質(zhì)屬性：稱量要有起點，稱量要定單位，有表示增減變化的方向。由此啟發(fā)學生思考如何用一個比較簡單形象的方法來表示？學生容易聯(lián)想到用直線上的點表示數(shù)，從而引出“數(shù)軸”的概念。

3.通過復習舊概念提出新概念。如復習一元一次方程類比得出二元一次方程。

4.讓學生動手操作，發(fā)現(xiàn)新問題，提出新概念。新課程理念倡導讓學生自主，合作探究的學習方式。因此在概念教學時，可讓學生親自動手試一試，在實驗中發(fā)現(xiàn)問題，提出新概念。學習鑲嵌時，讓學生剪一些多邊形（包括正多邊形）紙片，動手拼圖觀察探究，發(fā)現(xiàn)鑲嵌的條件。即體現(xiàn)了學生的主體地位，也活躍了課堂的學習氣氛。

在概念引入時要鼓勵學生大膽猜想，讓學生依據(jù)已有的知識做出推測。經(jīng)歷概念形成的最初階段，培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本素質(zhì)。

二、重視概念的形成過程

一般來說概念的形成過程為：創(chuàng)設情景，歸納特征――建立模型，抽象概念――理解定義，鞏固應用。注重概念的形成過程，可以完整地揭示概念的本質(zhì)屬性，使學生理解概念具有思想基礎，培養(yǎng)學生的思維能力。例如在學習“有序數(shù)對”這一概念時，問：“同學們，你怎樣向家長說明你的座位位置？”學生：“我在第五排第三行。”“很好，那么單獨用排數(shù)或者行數(shù)能確定你的位置嗎？”“不能。”再讓第五排學生站一下，第三行學生也站一下。通過這樣的過程讓學生體驗利用一對數(shù)來確定一點位置的正確性，加深了對概念的理解。

三、重視概念的理解過程

數(shù)學概念是用精煉的語言表達出來的。在教學中，抽象出概念后，還要注意深入分析概念的定義，幫助學生進一步理解概念的含義。

1.分析概念的定義。例如，學習“單項式”這一概念抓住“只含有數(shù)字和字母乘積運算”這一特征進行分析。如果還有其他運算如：加、減、除，這樣的式子都不是單項式，只有理解這個定義，學生在判斷時才不會出現(xiàn)失誤。

2.剖析概念中關鍵詞語。例如：同類項就是“含相同字母，并且相同字母的指數(shù)也相同”的項。抓住“相同”做分析，明確“相同”是指字母和它的指數(shù)都相同。

3.揭示概念的內(nèi)在聯(lián)系。對于有內(nèi)在聯(lián)系的概念要做好比較。例如“一元一次方程”的概念是以“元”“次”“方程”這三個概念為基礎的。“元”表示未知數(shù)，“次”表示未知數(shù)的最高次數(shù)，次數(shù)是針對整式來說的，“一元一次方程”是最簡單的整式方程，學生掌握“一元一次方程”為后面學習“二元一次方程、一元一次不等式”打下基礎。類比內(nèi)在聯(lián)系的概念，學生用起來才會得心應手。

4.歸納對比，區(qū)分概念的異同。數(shù)學中的許多概念之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，學生容易混淆。教學應引導學生歸納比較。如“三角形的角平分線”“與角的平分線”

是密切聯(lián)系的兩個概念，相同點是它們都是能夠平分角，不同點是前者是線段后者是射線。

四、重視概念的鞏固過程

心理學認為概念形成后要及時鞏固，否則就會被遺忘。鞏固是概念課教學的重要環(huán)節(jié)，首先復習要及時。遺忘規(guī)律指出，識記后最初遺忘得較快，以后漸漸減慢，因此在概念初步形成后，趁熱打鐵，及早復習，引導學生正確敘述，把握概念的要點、特征、優(yōu)點是既省時間，效果也好。其次，適當采用復習，通過單元，章節(jié)，周末，月考等多種方式進行復習，維持學生的學習興趣，增強主動性，積極性，讓學生看到成績，增強信心，進而取得好的復習效果。還要善于利用最佳時間進行復習，早晨頭腦清醒，干擾因素少，把概念溫習一下，晚上臨睡前把學習的概念回憶一遍，使獲得的概念理解更準確，影響更深刻，鞏固得更有效果。

篇9

一、抓概念的形成，正確理解概念

在教學一個新的概念時，首先要注意它是如何形成的，是如何從具體的事物中抽象出來的，此概念的內(nèi)涵（就是概念所反映的本質(zhì)屬性的總和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本質(zhì)的所有對象的集合）是什么，只有這樣，才能使學生正確理解概念.例如：“函數(shù)”這一概念定義為：“如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函數(shù)，記作y=f(x)”.從定義可以看出，函數(shù)的概念的本質(zhì)屬性有：變量x的取值范圍（定義域），對應法則f，每一個確定的x對應唯一確定的y值（y值的集合叫值域）.如果聯(lián)系到我們前面學過的集合A到集合B的單值對應（也叫映射），應當發(fā)現(xiàn)，函數(shù)實質(zhì)上就是定義域A，值域C以及A到C的對應法則f三部分組成的一個特殊的映射.

再如，講授數(shù)列｛an｝的極限是A（即an=A），采用從直觀描述，再由定性到定量，由淺入深地進行。（1）數(shù)列｛an｝的極限是A的描述是：當自然數(shù)n無限增大時，數(shù)列｛an｝無限趨近A.（2）什么叫數(shù)列｛an｝無限趨于A，就是| an-A|無限趨向于0，即當自然數(shù)n無限增大時，| an-A|無限趨近于0.（3）什么叫|an-A|無限趨近于0？就是|an-A|能任意小，即對預先指定的任意小的正數(shù)ε恒成立，通過對極限由表及里、由淺入深的認識，數(shù)列｛an｝的極限A可表述為“無論預先指定多么小的一正數(shù)ε，都能在數(shù)列中找到一項an，使得這一項后面的所有項與A的差的絕對值都小于ε（即當n>N時, | an-A|

二、抓概念的要點，分層次掌握概念

數(shù)學概念的教學，要注意對概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的層次要點，多層次、全方位地啟發(fā)學生理解概念.例如：“奇函數(shù)”的概念，課本上是這樣寫的：“對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x).那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).“那么，這個概念的內(nèi)涵是什么呢？通過深“深摳”，使同學們認識到：（1）對奇函數(shù)來講， x與-x都應該在定義域中，即它們的定義域關于原點必須是對稱的，這是一個隱含條件；（2）對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)= -f(x),這就是說它的自變量，因變量之間有這樣的一種特定的對應規(guī)律，即對于自變量的兩個相反值x與-x，它們對應的函數(shù)值f(x)與f(-x)恰好是相反數(shù)；（3）這種特定的對應規(guī)律，反映在作圖上，必然是函數(shù)的圖象關于原點對稱.這樣一“摳”就使學生清楚地認識到奇函數(shù)的三條性質(zhì)是從它的定義中引伸出來的，定義和性質(zhì)是源與流的關系，因與果的關系.兩者之間不是孤立的、割裂的，這樣一步一步地使學生正確理解函數(shù)的奇偶性是函數(shù)定義域上的一個整體，而不是局部的性質(zhì).使學生深刻理解概念理論體系和理論發(fā)展中的科學價值，從系統(tǒng)上，本質(zhì)上正確掌握概念。

三、抓關鍵，找本質(zhì)強化概念

概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映，要正確理解某一概念，必須引導學生全力找出概念的本質(zhì)，把概念的本質(zhì)屬性向學生講清楚，切忌讓學生死記硬背。例如：“橢圓的定義”，課本上是這樣定義的：“平面內(nèi)到兩定點的距離的和等于常數(shù)（大于兩定點的距離）的點的軌跡叫做橢圓。”通常表示為橢圓就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同學死記這個公式，認為只要形式上符合這個公式，則M點的軌跡就是橢圓，認為滿足方程|z-i|+|z+i|=2的點z的軌跡是橢圓，事實上，點z的軌跡是不存在的，因為定義要求動點到兩定點的距離之和大于兩定點的距離，即2a>|F1F2|，之所以發(fā)生此類的錯誤，主要原因是學生沒有掌握概念的本質(zhì)屬性。

再如，集合的概念，課本上是這樣說的：“像這樣，把具有某種屬性的一些對象，看作一個整體，便形成一個集合。”通過典型的例題分析，引導學生發(fā)現(xiàn)集合的本質(zhì)屬性是：集合的范圍、集合的特征、集合的對象”。而形成集合的元素必須具備以下三點：（1）集合里的元素是確定的，這就是說，任何一個對象或者是這個集合的元素，或者不是這個集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互異的。這就是說，一個集合里的元素都是彼此不同的，即在一個集合里元素不能重復出現(xiàn)如方程（x-1）2=0的實數(shù)解的集合里只有一個元素1。（3）集合里的元素是無序的，在一個集合里，通常不考慮它的元素之間的順序，也就是說，集合的元素哪個在前，哪個在后是無關緊要的，只有讓學生掌握了概念的本質(zhì)屬性，才能不出現(xiàn)象“花園里好看的花”、“較大的數(shù)”等組成的集合的錯誤。

四、抓變式、舉反例深化概念

數(shù)學概念大都是從正面闡述的，從而導至教師講解時，機械地講授數(shù)學概念，如果在教學中，在學生正面認識概念的基礎上引導他們從反面或側面去剖析，那么就可以深化對概念的理解。例如，在講授等比數(shù)列的定義后，可以向學生提問：“是否存在公比為0的等比數(shù)列？”通過分析討論知道，這種數(shù)列是不存在的。而且學生可以得到一個新的發(fā)現(xiàn)――等比數(shù)列中的項是不能為0的，至此，學生對等比數(shù)列的概念加深了了解。

“曲線和方程”的對應關系比較抽象，學生不易理解，教學中，可先通過實例，使學生弄清曲線和方程的內(nèi)在聯(lián)系，再歸納出曲線和方程的一般關系。

（1）“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有點都適合這個條件而毫無例外（純粹性）.

（2）“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”闡明適合條件的所有點都在曲線而毫無遺漏（完備性）

只有具備了上述兩個條件，才能稱為“曲線的方程”和“方程的曲線”，為了使學生正確理解曲線和方程間的對應關系，可舉實例從反面加以說明：

過點（2，0）平行于y軸的直線L與方程|x|=2之間的關系，如圖1直線L上的點只具備條件（1）而不具備條件（2），因此，方程|x|=2不是直線L的方程，直線L也不完全是方程| x|=2的直線，它只是方程|x|=2所表示的圖形(如圖2)的一部分。

例2、到兩坐標軸距離相等的點軌跡與方程y=x之間的關系，只具備條件（2），而不具備條件（1），如圖3因為到兩坐標軸距離相等的點的軌跡有兩條直線L1和L2，直線L1上點的坐標都是方程y=x的解，但直線L2上的點（除原點外）的坐標就不是方程y=x是直線L1的方程，方程y=x不是所求的軌跡方程，通過上面兩例，使學生對曲線和方程概念的理解等到了深化。

在教學中，尋求分式的多變形式，逐步培養(yǎng)學生靈活多變的思維能力，同時也加深了對概念的理解，如對數(shù)tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可變?yōu)閠gα+tgβ=tg(α+β)?(1- tgαtgβ)也可變?yōu)椋?- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

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數(shù)學新概念的產(chǎn)生一般都有生產(chǎn)和技術發(fā)展的需要，或者數(shù)學本身發(fā)展的需要。參照數(shù)學發(fā)展史，模擬創(chuàng)設符合學生認知水平概念出現(xiàn)的情境，使學生真正感受到數(shù)學對象的存在。

如“負數(shù)”的引入，負數(shù)的概念是學生進入初中學習的第一個重要概念，一般的教科書中都列舉了很多實例，無非是要說明引入這個概念的必要性。諸如“收入500元”和“支出200元”、“海平面以上2000米”和“海平面以下1000米”等等這樣相反意義的量在生活中是大量存在的。也許有的學生會想，引入“負數(shù)”這個概念有必要嗎？沒有使用“正數(shù)”和“負數(shù)”不也把意思表達得很清楚嗎？根本就不需要引入這兩個概念呢。這時，我們可以讓學生比較：“海平面以下1000米”與“－1000米”哪個簡潔？而且，如果不引入“負數(shù)”這個概念，“海平面以下1000米”如何與其他數(shù)字進行計算？學生這時明白，意思表達雖然也很清楚，但是卻不簡潔，而且很難進行計算。這樣不僅顯示出負數(shù)的引入有其數(shù)學發(fā)展本身的需要，而且還涉及數(shù)學的符號化問題。

二、準確闡述概念的內(nèi)涵

在形成概念的時候，還應讓學生理解概念概括數(shù)學對象的合理性和科學性，也就是說，這個概念的內(nèi)涵確實反映出這類數(shù)學現(xiàn)象的共性，即定義的合理性。

我們來看看相似概念的形成。首先，教師會像教科書一樣，提供一些相似的圖例。如用同一張底片洗出的不同尺寸的照片，以及排版印刷時使用的不同的字號等等，都給我們以形狀相同的圖形的形象（即相似）；其次，要形成數(shù)學中相似的概念，就需要進行抽象概括（數(shù)學化）。兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到的（如放映電影時，投在屏幕上的畫面就是膠片上的圖形的放大，用復印機把一個圖形放大或縮小后所得的圖形）；再次，哈哈鏡里看到的鏡像卻與本人不相似，那又是為什么呢？這時就要啟發(fā)學生思考：哈哈鏡里看到的鏡像與本人各部分放大或縮小的比例不同。進一步的研究，學生們就會發(fā)現(xiàn)，放大鏡里看到的三角形，與原來的三角形也是相似的，而角并沒有放大，而只是放大了線段，這說明了什么呢？說明相似圖形的對應角應該是相等的，而且，對應線段被放大了相同的倍數(shù)，否則就不是相似圖形。最后，可以問學生：“矩形和正方形相似嗎？”“正方形和菱形相似嗎？”這時，學生差不多自己就可以給出相似多邊形的定義了，即“對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。”由此可以看出，這個相似多邊形的定義是合理的，反映出了事物的本質(zhì)屬性，即隱藏于“放大”、“縮小”、“壓縮”、“拉長”之類說法中的數(shù)學表達。

三、理解概念利于構建知識網(wǎng)絡

在概念教學中，有時僅僅闡明其實際意義是不夠的。隨著學習的不斷深入，接觸到的數(shù)學概念越來越多，教師要根據(jù)概念之間的邏輯關系，按知識和結構組成概念體系，把學生感知的“孤立”、“零散”的概念納入相應的數(shù)學體系中，讓學生獲得一個條理清晰的知識網(wǎng)絡。

1.對于并列相關的概念，可進行類比聯(lián)想。在繁多的數(shù)學概念中，我們經(jīng)常可以見到，有些概念表面貌似，但有著本質(zhì)區(qū)別，存在并列關系；有些概念的本質(zhì)相同，只是名稱不同，有著等同關系。對于這類概念，我們可以采用類比聯(lián)想，聯(lián)想的東西越多，思考的途徑就也越多。例如，二次根式的加減就是合并同類二次根式，它可以與初一的整式加減中的合并同類項類比，使合并同類二次根式與合并同類項的新舊意義迅速得到同化。再如，軸對稱與中心對稱，雖然都是圖形的對稱，但其內(nèi)涵有著本質(zhì)的不同。通過縱橫對比，在類比中找特點，在聯(lián)想中求共性，把數(shù)學知識系統(tǒng)化。

2.還有一些概念是在原有概念的基礎上發(fā)展的結果，是因數(shù)學知識體系本身發(fā)展的需要而產(chǎn)生的。如負數(shù)的產(chǎn)生，除了上面所說的有相反意義的量以外，還因為有在減法中被減數(shù)小于減數(shù)在正數(shù)范圍內(nèi)無法計算的問題，顯示出負數(shù)的引入有其數(shù)學發(fā)展本身的需要。

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二、揭示概念的內(nèi)涵、外延，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力

概念的內(nèi)涵是指反映在概念中的事物的本質(zhì)屬性，概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的事物。讓學生明確概念，就是要讓學生明確概念的內(nèi)涵與外延，培養(yǎng)學生的領悟能力。如數(shù)列極限的概念的引入：

首先給出實例：①0.9、0.99、0.999、……1——、……②1、－、、－、……（－1）n＋1、……分析這些數(shù)列的“項隨n增大，逐漸逼近某一個常數(shù)”的特點，讓學生感知這種“形式上從有限到無限，其結果無限雙轉化為有限”的數(shù)學家思想，即極限思想。接著給出數(shù)列項在數(shù)軸上的表示，直觀反映數(shù)列項逼近常數(shù)的過程，在此基礎上用數(shù)學語言表述這一數(shù)學現(xiàn)象，進而對一般數(shù)列極限的情況給出ε——n的定義，這種從“特殊”到“一般”，從“形象”到“抽象”的過程，可促使學生深刻體會極限的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生抽象概括能力。

又如函數(shù)奇、偶性的概念：前提：對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，其中“任意”即“所有”，說明函數(shù)奇、偶性是定義域內(nèi)的整體性質(zhì)。其次給出f(x)與f(－x)的關系，意味f(x)與f(－x)都存在，隱含著函數(shù)定義域關于原點對稱，通過這樣的剖析，可防止學生偏面地認為判斷函數(shù)奇、偶性就是驗證f(x)與f(－x)的關系，使學生領悟函數(shù)具有奇偶性的必要條件是“函數(shù)定義域關于原點對稱”。

三、強化概念的運用，提高學生綜合素質(zhì)

學數(shù)學離不開解題，美國著名的數(shù)學教育家波利亞就曾指出：“掌握數(shù)學意味著什么呢？這就是說善于解題”結合數(shù)學學習水平分層次配備訓練題組讓學生運用概念層層深入地分析解決問題，是提高學生綜合素質(zhì)重要環(huán)節(jié)。

如在“函數(shù)單調(diào)性”概念教學中，給出下列題組加以鞏固訓練。

例1：判定函數(shù)y＝x2的單調(diào)性？學生可直接歸入單調(diào)性定義加以判定。

例2：判定函數(shù)y＝log2(x2－3x＋2)單調(diào)性？需要學生通過轉化，變?yōu)閺秃虾瘮?shù)內(nèi)層、外層函數(shù)單調(diào)性進行判定。

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小學低年級的數(shù)學概念，大部分是具體的，可以直接感知。從四、五年級起，概念的抽象程度逐步增加，要使四、五年級學生掌握這些抽象的概念，有一定的難度。但學生對具體的材料和經(jīng)驗性的知識卻很感興趣，因此，教師要抓住學生這一特點，按照由具體到抽象，由感性到理性的認識規(guī)律，采用直觀演示、動手測量、新舊知識相聯(lián)系等方法，深入淺出地講清概念，使學生快捷深入地理解概念。在進行概念教學時，教師要做到：

一、結合生活實際引入概念

數(shù)學來自現(xiàn)實生活，學生的周圍處處有數(shù)學，結合生活實際引入概念是一個有效的途徑。在小學教學中有很多數(shù)量關系都是從具體生活中表現(xiàn)出來的，因此，教師在教學中要充分結合學生的生活實際，把抽象的內(nèi)容轉變成具體的生活知識，在學生思維過程中強化抽象概念。小學生從掰手指到簡單地運用計算機，都是在生活中不斷總結而學習獲得的。要從生活實際出發(fā)，打好概念基礎，教師就必須熟悉小學生的生活環(huán)境。如在學習比較數(shù)值大小時，“2”和“3”的大小，可以把“2個蘋果”和“3個蘋果”放在學生面前，讓學生選擇，當學生選擇3個蘋果時，可以問為什么會選擇“3”，這樣讓他們在實際生活中真正體會到比較大小的概念。還可利用小學生在生活實際中比較熟悉的一些知識，概括出新的概念。例如在引入平行四邊形概念時，先出示兩組不同長度的四根小木棒，教師進行演示，讓學生觀察后，再把這四根小棒釘成一個長方形。讓學生觀察這個長方形，然后教師又進行演示，把它向其中一頭拉斜，讓學生觀察教師演示后的形狀，引導學生說說這時的長方形變形后有什么特點。這時學生可以說出：兩組對邊的木條長度相等，但四個角又不是直角，這樣就在小學生思維中形成了平行四邊形的概念。

二、通過直觀演示形成概念

小學生心理發(fā)展的主要特點是：善于記憶具體的事實，而不善于記憶抽象的內(nèi)容。因此，要充分發(fā)揮直觀演示的作用。通過教師的演示，以及學生自己動手操作等直觀教學方法，有助于學生形成正確、明晰的概念。通過學生動手、動腦進行實際操作，才能刺激學生多種感官的協(xié)同參與，這樣，既能順應學生學習心理，又能使學生在“親自創(chuàng)造的事物”中愉快地獲得真正的理解。例如小學生認識“米”的概念時，首先通過觀察米尺，初步直觀認識1米有多長，接著將米尺與鉛筆、身高、課桌面的長度進行比較，進一步直觀認識1米的大約長度，然后讓學生與同桌合作，用米尺量教室內(nèi)的長，這既是對米的概念的進一步強化，又是對學生動手能力的一次鍛煉。又如教學圓錐體積時，可先用紙做三個圓錐體和一個圓柱體。其中一個圓錐體和圓柱等底等高；一個圓錐體和圓柱等底不等高；一個圓錐體和圓柱等高不等底。然后把圓錐里盛滿沙子（每個圓錐盛三次）倒入圓柱。這樣學生就清楚地看到：三個圓錐體中，只有那個和圓柱體等底等高的圓錐體里的沙子三次正好填滿圓柱體，其余兩個不合適。接著再讓學生思考，找出圓柱和圓錐之間的關系，在學生理解的基礎上，動用已學過的圓柱體體積的計算公式，推導出圓錐體體積的計算公式。最后，給學生小結，圓錐的體積等于和它等底等高圓柱體積的三分之一。經(jīng)過這樣由淺入深的直觀演示和講解，既復習了圓柱體體積的計算公式，又學會了計算圓錐體體積的方法，收到了較好的效果。

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一、從概念形成入手

形成概念是較高層次的認知過程。聾校聾生由于語言障礙對理解力的影響,加之概念一般又多使用高度簡練、概括的語言敘述,所以聾生對數(shù)學中的概念很難理解,反之聾生的觀察敏銳,感性認識居多。這時,概念形成這種方式對他們可能更有效。

從現(xiàn)實中提煉數(shù)學問題。在概念形成過程中,需要使用聾生頭腦中已有的一些日常概念的具體性、特殊性成分作為依托,從中提煉出它的理論邏輯性,使聾生能借助經(jīng)驗事實,變得容易理解。因此,在新概念引入時,要注意利用聾生自己在日常生活中的經(jīng)驗或事實,讓聾生自主提煉成現(xiàn)實數(shù)學問題。使他們身處現(xiàn)實問題情境中,通過親身體驗,在感性認識的基礎上,借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動,對常識性材料進行精細化,使日常概念向科學概念發(fā)展,從而步入理性認識。

這樣做,不但可以使聾生理解概念形成的過程,并且可以減小某些聾生因語言發(fā)展的滯后影響理解能力,從簡單的字面意思的理解,上升為對概念本質(zhì)的理解,反之,也可以促進聾生的語言發(fā)展。

通過數(shù)學概念本身的聯(lián)系和特點,利用以下的一些方法,從而形成概念。

事物之間通常會有一些相同點和不同點,通過對比,從而總結出本質(zhì)屬性或規(guī)律。這種方法是針對事物之間的異同點進行探索,運用這種方法可以使聾生正確認識數(shù)學知識間的異同和相互關系,更好地理解和掌握數(shù)學概念。

根據(jù)兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似,進行類比,聯(lián)想或猜想它們的其他屬性也可能相同或相似,繼而得到新的結論。它是依據(jù)客觀事物的相似性,進行猜測得到結論的發(fā)現(xiàn)方法。“類比”,也是培養(yǎng)聾生數(shù)學思維的一種重要手段。

例如,在學習分式的運算時,可以類比分數(shù)的運算,類比兩者之間的共同點,從而利用已有知識掌握新的知識。

指引導聾生對大量的個別材料進行觀察、分析、比較、總結,從特殊中歸納出一般的帶有普遍性的規(guī)律或結論。教學中,教師可以引導聾生通過對具體實例的直接觀察,進行歸納推理,得出結論。

例如,在講“乘法分配律”時,先設計計算:

①(7+3)×4;7×4+3×4

②(6+5)×3;6×3+5×3

聾生通過計算,很容易發(fā)現(xiàn)每組中兩個算式的結果相同。再引導聾生觀察、分析,歸納總結出“乘法分配律”。

二、理解強化概念

在聾生理解和形成概念基礎上,讓聾生在不同題型、不同方式的訓練中,深化對概念的理解。并在理解的基礎上記憶、鞏固概念,這樣聾生所學到的結論就不單純是文字的結論,而是對概念全面的理解和掌握。

要真正理解和鞏固一個概念,往往可以借助“反饋”,及時利用剛剛形成和建立的概念去解決一些問題,加深對其內(nèi)涵和外延的認識。這里教師可以精心地設計練習題,使聾生在不同題型、不同方式的訓練中,深化對概念的理解。可以嘗試采用以下幾種方式:

(1)直接式。即讓聾生從正面去直接理解。

(2)變形式。即從變式中把握概念的本質(zhì)屬性,排除非本質(zhì)屬性的干擾。

例如,在教授分式概念時,可以設計提問3aa-b是不是分式,從分式的概念入手,抓住“分母中含有字母”這個本質(zhì)屬性,得出分子中可以有字母,也可以沒有,只要分母中含有字母,并且,分母是多項式或單項式都可以,只要含有字母。這又強調(diào)了分子分母為整式的這一本質(zhì)屬性。

(3)對比式。即設計有利于聾生從橫向或縱向弄清概念之間關系的練習題,通過比較,加深對某一種概念本質(zhì)屬性的認識。

例如,在方程的教學中,一元一次方程的概念與一元二次方程、一元一次不等式的概念是同類概念,在教學中可以類比一元一次方程的概念,來發(fā)現(xiàn)和學習一元二次方程和一元一次不等式的概念。

(4)反例式。即設立一些與概念中的重要屬性相違背的反例,讓聾生通過找出反例的錯誤所在,從而更加深對概念內(nèi)涵的理解。

同樣,在分式教學中,可舉反例:a+b4是否為分式?

聾生根據(jù)概念判斷分母中沒有字母,所以判斷它不是分式,而是整式。不但加深對概念的理解,并能將概念簡單應用。

三、概念的有效遷移應用

數(shù)學概念來源于生活,就必須要回到生活中。教師要通過設計富有實用性、生活性的習題進行訓練,讓聾生用所學的概念只是去思考“怎樣做,為什么要這樣做,還可以怎樣做”等問題,根據(jù)理論與實際相結合的原則,把理解引向更深的層次。

參考文獻:

[1]張寧生.聽覺障礙兒童的心理與教育.華夏出版社,1995,1.