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數(shù)學(xué)勾股定理論文:數(shù)學(xué)史在勾股定理一章中的比較分析
摘要：對人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中“勾股定理”一章數(shù)學(xué)史編排模式的比較發(fā)現(xiàn)：兩版本教材在數(shù)學(xué)史的設(shè)計(jì)上各具特色，都力求以多種方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，北師大版比人教版更加注重學(xué)生的實(shí)踐操作能力和交流能力的培養(yǎng)，人教版更關(guān)注學(xué)生的情感；反思發(fā)現(xiàn)兩版本教材在數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中的弱點(diǎn)：數(shù)學(xué)史的運(yùn)用過于淺顯、缺乏與信息技術(shù)的整合。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；勾股定理；教材比較
一、引言
數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程的整合已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)熱點(diǎn)話題。張奠宙先生指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確提出，“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料”。數(shù)學(xué)是積累的科學(xué)，“它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們學(xué)校里的教科書很不一致”。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學(xué)文化的進(jìn)步，就必須融入一些簡略的數(shù)學(xué)史以啟發(fā)思維、開闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過程中，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認(rèn)識，本文僅對人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社初中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行比較分析。
二、調(diào)查與分析
首先對人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級下冊）》和北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級上冊）》勾股定理一章中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現(xiàn)了大量史料，但在數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點(diǎn)。據(jù)表1，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學(xué)史11處、13處，主要分布在正文、習(xí)題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見，統(tǒng)稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關(guān)知識旁邊以框架的形式對某些內(nèi)容作簡要介紹。）此外，北師大版及時(shí)節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎(chǔ)上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統(tǒng)計(jì)時(shí)仍把這兩處歸為數(shù)學(xué)史料。
三、章前內(nèi)容和數(shù)學(xué)家的設(shè)計(jì)
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)問題，進(jìn)而交待了這一章所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)不僅激起了學(xué)生的求知欲、好奇心，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識之前對本章要干啥有一個(gè)大概的了解，同時(shí)也便于學(xué)生在學(xué)習(xí)完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關(guān)于勾股定理說法的設(shè)計(jì)更為人性化。
兩版本教材在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)，都是簡要的說明數(shù)學(xué)家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻(xiàn)，并沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)家所想到的定理是理所當(dāng)然的，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)作過程中斗爭、挫折以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個(gè)特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)附有數(shù)學(xué)家的頭像（本章附有畢達(dá)哥拉斯圖像），這樣能喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計(jì)，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學(xué)家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數(shù)學(xué)家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學(xué)知識，而北師大版在及時(shí)、三節(jié)都是以實(shí)際問題情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)容的，但這兩處的情境都來源于數(shù)學(xué)歷史名題。兩版本在此對數(shù)學(xué)史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)史只是作為一個(gè)情景用來引出相關(guān)內(nèi)容的。這只是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好
。一方面，初級階段是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，進(jìn)入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動積極性；另一方面，教材的這種設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師對內(nèi)容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨(dú)希望各相關(guān)領(lǐng)域人員對數(shù)學(xué)思想、方法做認(rèn)真的思考，對數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價(jià)值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值。
現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學(xué)生自己上網(wǎng)搜索相關(guān)內(nèi)容外，并沒有涉及與信息技術(shù)有關(guān)的內(nèi)容。“勾股定理”作為幾乎是全世界中學(xué)都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應(yīng)引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時(shí)注重相關(guān)數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的整合。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:勾股定理初中數(shù)學(xué)論文
1引言
勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計(jì)算機(jī)證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學(xué)生快速掌握解決方法。同時(shí)，在日常生活及工作當(dāng)中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進(jìn)行解題顯得尤為重要。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用勾股定理，對初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實(shí)際問題”進(jìn)行了分析與探究，希望以此能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。
2勾股定理在線段問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)中，一些“線段求長”問題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2,與l3之間的距離為3，求AC的長度。解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC＝90°，AB＝BC，得：RtABD與RtBEC全等；所以，AD＝BE＝3，DB＝CE＝5；進(jìn)而得：AB2＝BC2＝32＋52＝9＋25＝34；在直角三角形ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝68，所以：AC=217姨
3勾股定理在求角問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，有些求角問題使用常規(guī)方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應(yīng)用勾股定理便有著實(shí)質(zhì)性的作用[2]。例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點(diǎn)P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？解：把APC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時(shí)，AP＝AQ＝3，BQ＝PC＝5，，∠PAQ＝∠BAC＝60°；所以，PAQ是等邊三角形；所以，PQ＝3；在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ＝90°；所以，∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝90°+60°＝150°。
4勾股定理在證明垂直問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進(jìn)行求解，那么將能夠達(dá)到事半功倍的效果。下面筆者結(jié)合有關(guān)證明垂直問題的題型展開討論。例題3：如圖3所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3，ABAD，證明：BCBD[3]。證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD＝90°；因?yàn)锳D、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2＝AB2＋AD2＝32＋42，求得：BD＝5，又因?yàn)锽D2＋BC2＝52＋122＝132＝CD2；因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD＝90°；所以，BCBD。
5勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用
對于勾股定理，還能夠解決實(shí)際問題，并且這些實(shí)際問題都是在日常生活中可以看到的。例題4：一棵小樹高為4米，現(xiàn)有小鳥A停留在樹梢上，此時(shí)小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時(shí)間才能夠與小鳥B在一起？解：如圖4，根據(jù)題干的已知條件可知，AC＝16m，BC＝12m，由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝162＋122，求得AB＝20m；所以，小鳥A所需時(shí)間為20/4＝5秒。筆者認(rèn)為，利用勾股定理解決實(shí)際問題，需要弄清題意，進(jìn)而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然后結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結(jié)合勾股定理，然后畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎(chǔ)上，便能夠使問題有效解決。
6結(jié)語
通過本課題的探究，認(rèn)識到在初中數(shù)學(xué)中，對于許多問題可以利用勾股定理進(jìn)行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實(shí)際問題”等。筆者認(rèn)為，勾股定理在幾何學(xué)當(dāng)中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數(shù)學(xué)問題的定理那么簡單，它還與我們的日常生活息息相關(guān)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)勾股定理進(jìn)行解題，不但能夠提高學(xué)生解題的效率，而且還能夠讓學(xué)生對生活引發(fā)思考，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，體會到生活與數(shù)學(xué)學(xué)科的密切聯(lián)系，進(jìn)一步為數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用奠定良機(jī)。
作者:孟昭波單位:江蘇省淮北中學(xué)
數(shù)學(xué)勾股定理論文:初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)的創(chuàng)新策略分析
【摘 要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，勾股定理是重要的基本原理注意，學(xué)生和教師都十分重視，由于勾股定理知識點(diǎn)難度大，因此，在長久以來的教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生能夠熟練掌握和應(yīng)用勾股定理，教師在不斷的完善和創(chuàng)新教學(xué)模式，隨著現(xiàn)代化社會的到來，多媒體和網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)被廣泛應(yīng)用于教學(xué)中，教師可以充分發(fā)揮現(xiàn)代化技術(shù)的作用，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)高效、愉悅的教學(xué)環(huán)境，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提高初中數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。本文通過分析初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)的創(chuàng)新策略，以期為同行提供有效的教學(xué)建議，讓學(xué)生能夠牢固掌握勾股定理。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理教學(xué)；創(chuàng)新策略
為了讓初中數(shù)學(xué)課堂豐富化和多樣化，教師應(yīng)該多應(yīng)用現(xiàn)代化技術(shù)來營造愉悅輕松的課堂氛圍。傳統(tǒng)的教學(xué)方式，教師充當(dāng)了的身份，學(xué)生大部分的課堂時(shí)間是被動的接受教師說講授的學(xué)習(xí)內(nèi)容，處于被動學(xué)習(xí)狀況，不僅學(xué)習(xí)效率不高，一旦遇到難懂的、難理解的知識，往往沒有充足的時(shí)間進(jìn)行分析和揣摩，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效率越來越低，甚至對學(xué)生將來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)造成了阻礙。針對此，在新課改的大背景下，教師應(yīng)該將促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力作為教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，立足于學(xué)生的實(shí)際情況，充分利用現(xiàn)代化技術(shù)，為學(xué)生營造輕松的、高效的數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展。
1在切入勾股定理過程中，充分發(fā)揮多媒體作用
為了提高課堂教學(xué)質(zhì)量，初中數(shù)學(xué)教師在課堂開始之前就要能夠找好教學(xué)的切入點(diǎn)，在課堂活動一開始就抓住學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生求知欲，并能夠清晰的認(rèn)識到教學(xué)內(nèi)容。由于初中生正處于心理快速發(fā)展的時(shí)期，對多媒體存在較大的好奇心，教師利用多媒體來引入知識點(diǎn)，可以讓學(xué)生不自覺進(jìn)入到角色中進(jìn)行學(xué)習(xí)，進(jìn)而充分參與到教學(xué)活動中進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的探究和學(xué)習(xí)[1]。例如：教師可以在課堂開始之前播放兩段視頻，及時(shí)個(gè)視頻是：小紅拿著一根2.2m的竹竿上火車，但是按照中國鐵路乘坐法規(guī)規(guī)定，乘客在乘坐火車時(shí)，所攜帶的物品不能超過兩米，但是乘警發(fā)現(xiàn)夏紅拿著超過標(biāo)準(zhǔn)長度的竹竿上火車卻視而不見，這是為什么？這種利用視頻引導(dǎo)學(xué)生的方式，可以激發(fā)學(xué)生對接下來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生熱情，進(jìn)而認(rèn)真學(xué)習(xí)接下來的知識。
2為了將勾股定理具體化，注重突出多媒體功能
當(dāng)今對學(xué)生的優(yōu)劣程度都是根據(jù)考試成績來進(jìn)行判斷，但是在初中時(shí)間教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程往往比學(xué)習(xí)結(jié)果更重要，教師應(yīng)該讓學(xué)生充分參與到教學(xué)活動中，所謂授之以魚不如授之以漁，教師應(yīng)該幫助學(xué)生掌握教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行自我完善和自我進(jìn)步[2]。勾股定理知識具有較強(qiáng)的靈活性，勾股定理知識可以與其他數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，成為一種綜合性問題，因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會勾股定理并熟練運(yùn)用勾股定理來進(jìn)行綜合數(shù)學(xué)問題的解決。為了幫助學(xué)生突破勾股定理知識點(diǎn)的束縛，教師應(yīng)該將勾股定理形象化和具象化。例如：初中數(shù)學(xué)教師可以利用多媒體技術(shù)將數(shù)學(xué)計(jì)算公式和圖像、聲音結(jié)合起來，首先設(shè)置數(shù)學(xué)問題：已知AB=4，BC=12，CO=13，DA=3，ABAD，請證明BCBD。傳統(tǒng)的教學(xué)方式，教師都是通過黑板來進(jìn)行逐步推演，但是，為了創(chuàng)新教學(xué)策略，教師可以將推演過程做成幻燈片的形式，在步驟推演中插入適當(dāng)?shù)囊粜В瑥?qiáng)化學(xué)生的記憶。
3鼓勵(lì)倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，點(diǎn)燃學(xué)生的創(chuàng)新火花
偉大的數(shù)學(xué)家宜里士多德認(rèn)為：疑問和近期是思維的開始，因?yàn)橐蓡柺菍W(xué)生思考和產(chǎn)生認(rèn)知的沖動，只有在學(xué)生產(chǎn)生疑問后，才能進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探究，因此，在進(jìn)行教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題和解決問題，讓學(xué)生在整個(gè)過程中進(jìn)行思考，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力[3]。例如：在進(jìn)行勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)過程中，首先讓學(xué)生進(jìn)行勾股定理的回顧：加入直角三角形兩直角邊的長為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，由此，教師可以提出問題：加入一個(gè)三角形的三邊長為a、b、c，三條邊滿足條件a2+b2=c2，請問這個(gè)三角形的形狀怎么樣？大部分學(xué)生都猜測是直角三角形。為了讓學(xué)生強(qiáng)化勾股定理的理解，教師可以讓學(xué)生以小組的形式進(jìn)行分析驗(yàn)證。很多學(xué)生提出想法：畫一個(gè)三邊長為3、4、5的三角形，顯然32+42=52，且畫出來后也是直角三角形。基于此，教師可以繼續(xù)進(jìn)行提問引導(dǎo)：這種想法是不是具有較大的皮變形，當(dāng)前對一個(gè)三角形是不是直角三角形，只能通過證明其中一個(gè)教師直角，那么我們應(yīng)該如何判斷這個(gè)角是直角？由此，教師就可以幫助學(xué)生形成笛思維：利用已知條件作直角三角形，在證明直角三角形與原三角形全等，那么以上問題就得意解決。做直角，截取兩直角邊相等，利用勾股定理和已知條件可以計(jì)算出斜邊長c，通過三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS），則可以證明學(xué)生自己的猜想。在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生積極思考，證明自己的猜想，處于學(xué)習(xí)的主體位置，學(xué)習(xí)效率較高。
4構(gòu)建現(xiàn)代化的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識
當(dāng)前我國已經(jīng)進(jìn)入了互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，教師應(yīng)該利用互聯(lián)網(wǎng)加強(qiáng)師生之間的溝通，并通過互聯(lián)網(wǎng)拓展學(xué)生的知識面，促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)一步發(fā)展。例如：學(xué)習(xí)完勾股定理的相關(guān)知識后，教師可以將知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造圖放在校園網(wǎng)平臺中，讓學(xué)生在課外也能夠?qū)χR網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重溫和學(xué)習(xí)。與此同時(shí)，教師可以在校園網(wǎng)平臺中，典型例題，學(xué)生完成后提交給系統(tǒng)進(jìn)行批改，教師則對學(xué)生的做題情況進(jìn)行查看和統(tǒng)計(jì)，針對學(xué)生容易出錯(cuò)的題目，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生強(qiáng)化這一領(lǐng)域的知識。另外，教師可以倡導(dǎo)學(xué)生組建課外學(xué)習(xí)小組，小組通過微信、QQ等現(xiàn)代化社交軟件進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，學(xué)習(xí)好的帶動學(xué)習(xí)差的，相互促進(jìn)、相互學(xué)習(xí)，提高學(xué)生整體學(xué)習(xí)水平。學(xué)生在這樣融洽、向上的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)習(xí)氛圍良好，學(xué)習(xí)效率也得以提高。且利用現(xiàn)代化交際手段，強(qiáng)化師生、生生之間的溝通交流，可以幫助學(xué)生強(qiáng)化知識，打造良好的交際圈，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。
5結(jié)束語
總而言之，隨著現(xiàn)代化的發(fā)展，現(xiàn)代化技術(shù)深入到我們的生活和學(xué)習(xí)中，互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的到來促進(jìn)多媒體技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)方法，教師應(yīng)該充分利用多媒體技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，將抽象的勾股定理知識具象化，為學(xué)生創(chuàng)建活躍的課堂氛圍，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)和自主探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。與此同時(shí)，教師還可以利用多媒體技術(shù)幫助學(xué)生拓展知識范圍，除了課文以內(nèi)的知識以外，讓學(xué)生能夠了解到課文以外的知識內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生自學(xué)能力的發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，勾股定理教學(xué)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，教師應(yīng)該對教學(xué)方法進(jìn)行創(chuàng)新，將多種教學(xué)方式應(yīng)用于教學(xué)過程中，幫助學(xué)生牢固掌握勾股定理，使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用勾股定理解答其他數(shù)學(xué)問題。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:應(yīng)用勾股定理, 把握數(shù)學(xué)思想
摘 要： 勾股定理在幾何學(xué)中具有非常重要的地位，是整個(gè)平面幾何的重要基礎(chǔ)，在現(xiàn)實(shí)生活中也具有普遍應(yīng)用性。初中生正處于由具體思維向形式化思維轉(zhuǎn)變的時(shí)期，勾股定理教學(xué)也處于學(xué)生數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)折階段，因此它是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。
關(guān)鍵詞： 勾股定理 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)形結(jié)合
勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它是直角三角形中非常重要的性質(zhì)。它揭示了三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解決直角三角形問題的主要根據(jù)之一，它在實(shí)際生活中用途廣泛。新課改強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和探究能力，通過實(shí)際操作與探究活動，使學(xué)生獲得較為直觀的印象，從而掌握勾股定理，以利于正確地運(yùn)用。
一、通過引趣設(shè)疑，引發(fā)學(xué)生探究勾股定理
在教學(xué)中教師可通過導(dǎo)入課外有趣的內(nèi)容，作為課堂教學(xué)的切入點(diǎn)。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有沒有外星人？如果有，我們?nèi)绾闻c他們聯(lián)系？著名的數(shù)學(xué)家華羅庚就曾建議，讓宇宙飛船帶著幾個(gè)數(shù)學(xué)圖形飛到宇宙空間，其中一個(gè)就是邊長為3∶4∶5的直角三角形，你知道華羅庚為什么會提出這樣的建議？等等。通過一系列的問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，抓住他們的注意力。原來古老的勾股定理，竟然成為了地球與外星人的聯(lián)絡(luò)密碼。這樣學(xué)生就會在感嘆人類古老文明的同時(shí)，更加體會到學(xué)習(xí)勾股定理的重要性。也可以通過一系列生活中隨處可見的直角三角形的實(shí)例，引起學(xué)生的關(guān)注。如給學(xué)生講一個(gè)故事：相傳在2500年前，數(shù)學(xué)家畢達(dá)格拉斯在他的朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家的地面磚能反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。這個(gè)小故事讓學(xué)生懂得，科學(xué)家的偉大發(fā)明都是在看似平淡的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)知識來源于現(xiàn)實(shí)生活，只要我們學(xué)會觀察與思考，就能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
二、學(xué)習(xí)勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想
新課改強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)要看學(xué)生能否在活動中積極思考與探究，能否探索出解決問題的辦法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想，以及學(xué)生能否有條理地表達(dá)探究過程與獲得的結(jié)論等。也可以鼓勵(lì)學(xué)生用拼得的正方形來驗(yàn)證勾股定理，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。勾股定理描述的是直角三角形的三邊之間的關(guān)系，應(yīng)用勾股定理的前提是這個(gè)三角形必須是直角三角形。要強(qiáng)調(diào)通過圖形找出直角三角形三邊之間的關(guān)系，要從代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到代數(shù)表示。勾股定理是人們在實(shí)踐中通過圖形的分割，并探討圖形之間面積的關(guān)系過程中總結(jié)出的規(guī)律。教學(xué)中要引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生多動手探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造。按課本中的方法證明這個(gè)定理，例如：用四個(gè)全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面積可以表示為（a+b）2，四個(gè)全等的直角三角形的面積+小正方形的面積=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化簡可得a2+b2=c2。我們還可以把公式變形為：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知兩邊可求出第三邊。
三、拓寬學(xué)生視野，但弱化對定理的發(fā)現(xiàn)
對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，我們認(rèn)為應(yīng)該做弱化處理，沒有必要讓學(xué)生在此太花精力引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣發(fā)現(xiàn)勾股定理的。如果處理得不當(dāng)，很容易導(dǎo)致學(xué)生盲目地探究。在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在設(shè)計(jì)上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計(jì)算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系。所以，教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生。如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史料上，借此拓寬學(xué)生的視野。第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的結(jié)論：運(yùn)用“腳手架”理論，通過“工作單”進(jìn)行鋪墊，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下對高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度的跨越。這樣的處理也具有一定的可行性。不過大多數(shù)人更傾向于及時(shí)條途徑，弱化發(fā)現(xiàn)，而強(qiáng)化證明，重視應(yīng)用，把重點(diǎn)放到定理的證明與應(yīng)用上，這樣也許對學(xué)生的思維更有利。
四、注重?cái)?shù)形結(jié)合，實(shí)現(xiàn)教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變
學(xué)了數(shù)學(xué)卻不會解決實(shí)際問題，造成了知識學(xué)習(xí)和知識應(yīng)用的脫節(jié)，感受不到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，這是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，教學(xué)中到處充斥著過量的、重復(fù)的題目訓(xùn)練。真正的教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程。首先要關(guān)注學(xué)生是否積極參加探索勾股定理的活動，關(guān)注學(xué)生能否在活動中積極思考，能否探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想（數(shù)形結(jié)合），以及能否有條理地表達(dá)活動過程和所獲得的結(jié)論等。其次要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的知識性及其實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)主要目的是掌握勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合的思想。現(xiàn)在的情況是學(xué)生知道了勾股定理而不知道在實(shí)際生活中如何運(yùn)用勾股定理。因此在學(xué)生了解勾股定理以后，不妨出一個(gè)類似于《九章算術(shù)》中的應(yīng)用題，例如：在平靜的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖與水面平齊，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變在關(guān)注知識形成的同時(shí)，更加關(guān)注知識的應(yīng)用，特別是所學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，真正起到學(xué)為所用的作用。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:勾股定理解題中的數(shù)學(xué)思想
勾股定理是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分重要的定理，它反映了自然界中的一個(gè)最基本的規(guī)律，體現(xiàn)了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。通過勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生們能夠進(jìn)一步理解和感覺一些數(shù)學(xué)思想方法，從而提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。以下就從五個(gè)方面來談?wù)勗诠垂啥ɡ斫忸}過程中所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想。
一、方程的思想
在求解勾股定理問題時(shí)，常常需要將與三角形各邊均有關(guān)系的某個(gè)量設(shè)未知數(shù)，再依據(jù)題目中其他數(shù)量關(guān)系列方程求解
例1如圖在長方形ABCD中，AB=5，在CD邊上找一點(diǎn)E，沿直線AE把ADE折疊，若點(diǎn)D恰好落在BC邊上點(diǎn)F處，且ABF的面積是30，求DE的長。
二、轉(zhuǎn)化思想
最短路線問題是勾股定理在實(shí)際問題中的具體應(yīng)用之一，解決此問題的關(guān)鍵是先將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”及勾股定理等知識來解決。
例2如圖已知柱的底面周長為16cm，高為6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A到點(diǎn)B尋找食物，螞蟻要爬行的最短路程是多少？
解析：由題意可知，圓柱體中的A，B兩點(diǎn)是曲面上的兩點(diǎn)，表示這兩點(diǎn)之間的最短路程顯然不能直接畫出來，但我們知道圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，于是可畫出圖2。這樣轉(zhuǎn)化到平面上求兩點(diǎn)間最短路程。
點(diǎn)評：側(cè)面展開后，A，B兩點(diǎn)間的距離是底面周長的一半，不能誤解為底面周長，解決立體圖形中最短距離問題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將陌生的立體圖形展開，轉(zhuǎn)化為熟悉的平面圖形再求解，即“化曲為平”
五、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想即借助數(shù)的性闡明圖形的某種屬性。利用圖形的直觀性闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，這是溝通數(shù)形之間的聯(lián)系、并通過這種聯(lián)系產(chǎn)生感知或認(rèn)知、形成數(shù)學(xué)概念或?qū)ふ医鉀Q數(shù)學(xué)問題途徑的思維方式。 數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)有力工具，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中極為重要的基本方法之一
例6如圖1，一架梯子長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與端角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，如圖2所示，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A滑落了多少米？
點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，用勾股定理來尋求邊與邊之間的關(guān)系是解此類問題的常用方法。勾股定理的公式及各種變式應(yīng)牢固掌握，靈活應(yīng)用。注意問題中只告訴三角形的一些條件，可啟發(fā)我們運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:試論初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)與學(xué)生知識串聯(lián)能力培養(yǎng)
[摘 要] 勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要定理，是培養(yǎng)學(xué)生知識串聯(lián)能力的有效工具. 本文從勾股定理串聯(lián)數(shù)字運(yùn)算、串聯(lián)幾何證明、串聯(lián)函數(shù)演算三方面，具體闡釋初中數(shù)學(xué)如何利用勾股定理教學(xué)推動學(xué)生知識串聯(lián)能力培養(yǎng).
[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；勾股定理；知識串聯(lián)
初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)新能力都提出了全新的、更高的要求，而對學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新水平產(chǎn)生直接影響的則是學(xué)生的知識串聯(lián)能力. 所謂知識串聯(lián)能力，簡而概之，便是學(xué)生舉一反三，有效聯(lián)系各類知識，形成強(qiáng)有力的知識正遷移，有效促進(jìn)學(xué)生課程學(xué)習(xí)的一種能力. 初中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)在所有初中學(xué)科中是最成體系、最富結(jié)合度的，各個(gè)知識點(diǎn)串聯(lián)運(yùn)用的頻率高、范圍廣，因此學(xué)生的知識串聯(lián)能力對于初中數(shù)學(xué)的教、學(xué)同樣具有重大意義. 勾股定理是解釋直角三角形三邊關(guān)系的重要定理，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)課程中最為重要的幾個(gè)定理之一. 勾股定理具有形式變化多、應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)，能與代數(shù)運(yùn)算、圖形推導(dǎo)、函數(shù)演算等數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)應(yīng)用. 基于這一特性，勾股定理便成為初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知識串聯(lián)能力的極為有效的工具. 為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的知識串聯(lián)能力，推動初中數(shù)學(xué)課程改革，筆者就初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)如何與學(xué)生知識串聯(lián)能力培養(yǎng)“擦出火花”進(jìn)行探究，總結(jié)出如下三點(diǎn)建議.
勾股定理串聯(lián)數(shù)字運(yùn)算，培養(yǎng)
學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力
代數(shù)是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，包含有理數(shù)、整式、實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，等式、不等式、方程等內(nèi)容，是學(xué)生開拓初中數(shù)學(xué)知識時(shí)必不可少的工具. 將勾股定理及逆定理與代數(shù)知識內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)，將為初中數(shù)學(xué)代數(shù)練習(xí)注入新鮮血液，將極大地豐富初中代數(shù)運(yùn)算練習(xí)的內(nèi)容與形式，有助于激發(fā)學(xué)生代數(shù)練習(xí)熱情，提升學(xué)生代數(shù)綜合解析、運(yùn)算能力. 初中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算要與勾股定理有效串聯(lián)，筆者認(rèn)為要做好“換”的文章. 怎么“換”？就是將代數(shù)運(yùn)算中的必備條件、必要數(shù)字、必定過程勾股定理化，將這些本來現(xiàn)成的代數(shù)運(yùn)算條件全部換成勾股定理內(nèi)容，讓學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力在勾股定理和代數(shù)運(yùn)算概念的靈活轉(zhuǎn)化中得到提升.
應(yīng)用題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中非常經(jīng)典的表達(dá)形式，筆者將勾股定理串聯(lián)到代數(shù)應(yīng)用題中，設(shè)計(jì)了這樣一道試題：“某條高速公路的快車道規(guī)定時(shí)速不能超過120 km/h，已知一輛小汽車沿著一段直道高速公路的快車道行駛，在路過車輛測速儀正前方時(shí)，汽車與測速儀相距60 m，2 s后，汽車距離測速儀100 m，請問汽車超速了嗎？”要求汽車是否超速，就必須求出汽車的時(shí)速，這是一道典型的代數(shù)應(yīng)用題，但這道代數(shù)題卻把學(xué)生難住了，因?yàn)橐笏俣龋仨氈缆烦毯蜁r(shí)間，時(shí)間是知道了，路程呢？于是筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫了一張圖（如圖1）. 學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，汽車正對測速儀時(shí)剛好在A點(diǎn)，2 s之后，汽車在B點(diǎn)，測速儀和A，B兩點(diǎn)剛好圍成一個(gè)直角三角形，測速儀到A點(diǎn)的距離是60 m，到B點(diǎn)的距離是100 m，由此很容易得出AB2=1002-602，即AB=80 m. 由此可知小汽車的時(shí)速是80÷2=40 m/s=144 km/h，顯然汽車已經(jīng)超速了. 像這樣利用勾股定理與代數(shù)運(yùn)算串聯(lián)，能有效培養(yǎng)學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力.
勾股定理串聯(lián)幾何證明，培養(yǎng)
學(xué)生的圖形解析能力
三角形證明幾乎占據(jù)了初中數(shù)學(xué)幾何證明中的絕大部分內(nèi)容，而勾股定理又是體現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系、解決三邊問題的有效定理，因此，勾股定理與初中數(shù)學(xué)幾何證明可以說是無縫對接. 通過勾股定理的延伸運(yùn)用，將為學(xué)生的幾何證明打開一個(gè)全新的思路，許多看似難解、難證的幾何問題，也將在勾股定理的引進(jìn)和串聯(lián)下迎刃而解. 勾股定理和初中數(shù)學(xué)幾何證明之間的串聯(lián)，筆者覺得其關(guān)鍵是“找”，教師要引導(dǎo)學(xué)生找到幾何圖形中潛在的勾股定理，并地把握勾股定理與圖形證明之間的關(guān)系，從而解決證明問題.
例如，筆者為了將勾股定理與相似三角形證明進(jìn)行串聯(lián)，設(shè)計(jì)了這樣一道試題：“如圖2所示，AB與CD相交于點(diǎn)E，已知AB=11，AE=5，CD=13，DE=10，AC=4，DB=8，求證：ACE∽DBE.”學(xué)生一看此題，都一籌莫展，于是我開始引導(dǎo)學(xué)生：“同學(xué)們，我們知道AB=11，AE=5，那能不能求BE的長？”學(xué)生回答“能”，我再問：“那我們知道CD=13，DE=10，能不能求CE的長？”學(xué)生也點(diǎn)頭說“能”，我接著引導(dǎo)：“同學(xué)們，經(jīng)過計(jì)算后，我們手頭掌握的條件如下，在ACE中，AE=5，AC=4，CE=3，根據(jù)這組數(shù)字我們可以發(fā)現(xiàn)，AC2+CE2=AE2，符合勾股定理，所以ACE是直角三角形；再看看DBE，DE=10，DB=8，BE=6，根據(jù)這組數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)DB2+BE2=DE2，符合勾股定理，所以DBE是直角三角形. ”通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生在圖形解析時(shí)，利用勾股定理打開了突破口，能找到圖形之間的聯(lián)系，最終解決幾何證明題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，增強(qiáng)學(xué)生的圖形解析素養(yǎng)，提升學(xué)生的幾何證明能力.
勾股定理串聯(lián)函數(shù)演算，培養(yǎng)
學(xué)生的抽象思維能力
對于很多學(xué)生來說，函數(shù)就是噩夢，緣何如此？答案就是函數(shù)太抽象了. 我們生活在一個(gè)具象的世界，對于事物都習(xí)慣用具象思維思考，所以很多學(xué)生才會對抽象化的函數(shù)演算產(chǎn)生畏難情緒. 函數(shù)是難，但并非毫無“破綻”，如果能夠引導(dǎo)學(xué)生有效串聯(lián)勾股定理，許多函數(shù)問題都能不攻自破. 因?yàn)楹瘮?shù)是直角坐標(biāo)系中的一組變量關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中我們很容易找到直角三角形，所以只要能在勾股定理和函數(shù)之間建立聯(lián)系，解決函數(shù)問題自然不在話下. 那如何建立聯(lián)系？筆者認(rèn)為答案就一個(gè)字，那就是“變”. 很多時(shí)候，函數(shù)直角坐標(biāo)系中沒有直角三角形，這個(gè)直角三角形需要我們利用函數(shù)知識進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，自己“變”一個(gè)出來，只要能夠引導(dǎo)學(xué)生順利“變”出直角三角形，便能實(shí)現(xiàn)勾股定理與函數(shù)演算的有機(jī)串聯(lián).
比如，筆者在教學(xué)初中數(shù)學(xué)“一次函數(shù)”時(shí)，是這么引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)勾股定理的，題目是：在直角坐標(biāo)系中，有A（4，2），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，求AE+BE的最小值. 這樣的題目很抽象，學(xué)生不知從何下手，于是筆者引導(dǎo)學(xué)生：“同學(xué)們，我們學(xué)過的知識中，涉及最短距離的定理是什么？”學(xué)生思考后回答：“兩點(diǎn)之間，線段最短. ”我說：“同學(xué)們說得很好，所以要求AE+BE的最小值，我們就應(yīng)該使AE和BE變成一條線段. 最簡單的方法是什么？設(shè)置點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′（4，-2）. ”學(xué)生點(diǎn)頭，筆者繼續(xù)引導(dǎo)：“我們現(xiàn)在有一條直線了，那我們好好觀察一下，如果我們要變出一個(gè)直角三角形，A′B會是什么邊？”“斜邊”，學(xué)生齊答. 筆者點(diǎn)頭繼續(xù)引導(dǎo)：“所以，我們要變出一個(gè)直角三角形，只要找到兩條直角邊就行了，最簡單的方法就是作BC∥y軸，A′C∥x軸，交點(diǎn)是C，于是點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，-2）. 所以A′C=3，BC=5，A′B2=32+52，可得AB=.這樣我們就求出AE+BE的最短距離了.”通過這樣引導(dǎo)學(xué)生設(shè)置對稱點(diǎn)，畫平行線，“變”出一個(gè)直角三角形，將有助于幫助學(xué)生找到抽象思維具象化表達(dá)的方法，為學(xué)生破解抽象函數(shù)打通一條通道.
總之，利用初中數(shù)學(xué)勾股定理推動學(xué)生知識串聯(lián)能力培養(yǎng)的核心思路，就是幫助學(xué)生養(yǎng)成思維發(fā)散習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生在題干中找到隱藏著的解題之匙，通過知識之間的有機(jī)串聯(lián)、組合和應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率. 教師一定要以此為突破口，多思多想，反復(fù)琢磨，探索更多勾股定理與其他知識點(diǎn)有效串聯(lián)的策略，真正用好勾股定理，提升學(xué)生知識聯(lián)系能力和綜合運(yùn)用能力，切實(shí)推動初中數(shù)學(xué)教學(xué).
數(shù)學(xué)勾股定理論文:淺析新課程下“勾股定理”的數(shù)學(xué)分析與建議
勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史。縱觀初中數(shù)學(xué)，勾股定理架起了代數(shù)和幾何的橋梁，將數(shù)與形密切聯(lián)系起來。在幾次的課程教學(xué)改革中，勾股定理都作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容被保留下來。下面筆者針對課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)要求、課程關(guān)注點(diǎn)等方面進(jìn)行淺析，提出一些教學(xué)建議。
一、新、老課程“勾股定理”的比較
1.課程內(nèi)容的變化
新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關(guān)素材，書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子來展示勾股定理的應(yīng)用。
2.教學(xué)要求的變化
老教材對勾股定理的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形。
新課程下的勾股定理教學(xué)要求是：（1）經(jīng)歷探索勾股定理及一個(gè)三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，并能運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題；（3）掌握判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題；（4）通過實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會勾股定理的文化價(jià)值。
由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數(shù)據(jù)相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計(jì)算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數(shù)據(jù)均不會過大，通過古埃及的結(jié)繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強(qiáng)了勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，利用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題成了重點(diǎn)，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)突出了勾股定理及逆定理的實(shí)用性。書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子，來展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)它們的文化價(jià)值，并且在知識發(fā)生過程中，作了較高要求。
3.課程關(guān)注點(diǎn)的變化
老課程比較關(guān)注運(yùn)用勾股定理及逆定理的相關(guān)運(yùn)算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個(gè)三角形是否是直角三角形。新課程則強(qiáng)調(diào)了勾股定理在現(xiàn)實(shí)生活中起著重要作用，是數(shù)形結(jié)合的典范。
二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題及建議
1.重視實(shí)際情景
新課程創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際情景，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個(gè)結(jié)，將繩子分成12等分，讓三位同學(xué)上講臺，一位同學(xué)握住第1和第13個(gè)結(jié)，一位握住第4個(gè)結(jié)，一位握第8個(gè)結(jié)，創(chuàng)設(shè)此情景，讓學(xué)生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，歸納出勾股定理逆定理。
2.重視數(shù)形結(jié)合
新教材里，勾股定理的探索和驗(yàn)證過程中，數(shù)形結(jié)合有較多體現(xiàn)，滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系。因此，建議在教學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵(lì)學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如：在探索勾股定理過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗(yàn)證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)a2、b2、c2想到正方形的面積。
3.重視實(shí)際應(yīng)用
對于勾股定理，新教材不僅要求能從實(shí)際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實(shí)際問題中，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。因此，建議在教學(xué)中充分利用教科書中的素材讓學(xué)生體會這種應(yīng)用，如古埃及人利用結(jié)繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。
4.重視學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程
新教材中安排了探索勾股定理、驗(yàn)證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學(xué)中不要直接給出結(jié)論，要鼓勵(lì)學(xué)生，通過觀察、實(shí)踐、推理、交流等獲得結(jié)論，發(fā)展空間觀念和推理能力。例如教科書設(shè)計(jì)了在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的探索得到結(jié)論。
5.重視自主探究與合作交流
新教材自始至終為學(xué)生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機(jī)會，課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動參與探究或?qū)W習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極思維，督促每個(gè)學(xué)生都在這個(gè)過程中積極參與，從而培養(yǎng)探索與創(chuàng)新的精神。
6.重視愛國主義的滲透
教材介紹了我國古人趙爽的證法，介紹了趙爽弦圖，表現(xiàn)了中國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是中國人的驕傲，通過向?qū)W生介紹我國古代勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感，同時(shí)教育學(xué)生發(fā)奮圖強(qiáng)、努力學(xué)習(xí)，擔(dān)起建設(shè)偉大祖國的重任。
（作者單位：貴州省安順市實(shí)驗(yàn)學(xué)校）
數(shù)學(xué)勾股定理論文:淺談勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
【摘 要】勾股定理既是初中數(shù)學(xué)知識中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，將會學(xué)生利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)題目的解答，可大大提高解題效率。本文從三個(gè)方面探討了如何加強(qiáng)勾股定理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望以此能夠?yàn)槌踔械臄?shù)學(xué)教學(xué)提供一些幫助。
【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理；教學(xué)方法；應(yīng)用
勾股定理是初中數(shù)學(xué)知識中的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是解答有關(guān)直角三角形題型的基礎(chǔ)。而且勾股定理在實(shí)際生活中也被廣泛的應(yīng)用，與人們的生活息息相關(guān)。它既是一個(gè)幾何概念，更是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。勾股定理應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中去，教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生理解其概念并創(chuàng)建空間想象性思維。為了使學(xué)生更好的掌握有關(guān)勾股定理的內(nèi)容，并提高實(shí)際應(yīng)用能力，老師需要在教學(xué)過程中精心設(shè)置教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)積極性，用直觀的例子來輔助理論教學(xué)。以下就初中老師如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中利用勾股定理更好的提高質(zhì)量進(jìn)行了分析，并列舉了相關(guān)題型進(jìn)行輔助說明。
一、教師需要精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)方法，以學(xué)生為主體
在以往的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，多是以老師進(jìn)行題型講解、要求學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)為主，學(xué)生們總是處在被動的被安排的地位，這于新課標(biāo)的要求不符，需要老師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，要讓所有的教學(xué)活動都圍繞著學(xué)生進(jìn)行，以生為本。在進(jìn)行勾股定理的教學(xué)時(shí)，以生為本的觀念非常關(guān)鍵，有利于自行了解和掌握勾股定理的相關(guān)內(nèi)容。老師在進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)需要充分考慮學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)能力，精心的創(chuàng)設(shè)教學(xué)方法，想方設(shè)法的調(diào)動學(xué)生們進(jìn)行積極的思考。另外，老師們還需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)勾股定理和逆定理的區(qū)別，防止學(xué)生將兩個(gè)定理混在一起，可以對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生們對兩個(gè)概念的把握。
二、要充分利于多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，進(jìn)行情景化教學(xué)
勾股定理不僅是初中數(shù)學(xué)知識中的重點(diǎn)，在數(shù)學(xué)考試中占據(jù)大量的分值。更是一個(gè)難點(diǎn)，許多學(xué)生都曾反映在對勾股定理的學(xué)生和應(yīng)用上比較吃力，數(shù)學(xué)老師如何將勾股定理的知識點(diǎn)深入淺出教授給學(xué)生，如何加強(qiáng)學(xué)生對知識的掌握和應(yīng)用，是所有數(shù)學(xué)老師的教學(xué)重點(diǎn)。初中生他們的心智還不夠成熟，認(rèn)知水平有限但是卻對新鮮事物充滿了好奇心和求知欲，老師們在實(shí)際教學(xué)時(shí)，就可以根據(jù)初中生的年齡和心理特點(diǎn)，利于現(xiàn)代化的多媒體技術(shù)進(jìn)行輔助教學(xué)，通過多媒體手段來創(chuàng)設(shè)情景，例如利用圖片、動畫、影像等來吸引學(xué)生們的注意力，并通過這種新穎的途徑將學(xué)生們逐漸引導(dǎo)到勾股定理的相關(guān)內(nèi)容中來，運(yùn)用多媒體技術(shù)將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為生動的、形象的內(nèi)容，可以加強(qiáng)對學(xué)生對知識點(diǎn)的深入理解。
例如：圖1.為一課4米高的小樹，現(xiàn)在有一只小鳥A停留在樹梢上休息，而另一只小鳥B停留在高20米的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲。現(xiàn)在已知大樹和小樹之間的距離是12米。如果小鳥A以4m/s的速度飛向大樹的樹梢，那么請問：小鳥A至少需要多長時(shí)間才能與小鳥B匯合？
解答：如圖1.由題目中的條件已知，AC=16m，BC=12m，根據(jù)勾股定理可以得出：
AB2=AC2+BC2=162+122，得出AB=20m，所以小鳥A所需的時(shí)間為20/4=5m。
例如：虛線陰影部分是某條河的河面，要測量AB兩點(diǎn)之間的距離，要觀測三個(gè)測點(diǎn)：A、B、C，∠BAC=90°，又量得BC=1300m，AC=500m，計(jì)算河寬AB之間的距離是多少？
解答：如圖2.由題目中的給出的角度和長度，根據(jù)AB2=BC2-AC2，可以得出AB2=13002-5002=12002，所以河寬AB之間的距離為1200米。
在老師講解這兩道題的時(shí)，就可以通過多媒體手段畫出這棵樹和兩只小鳥的形象，畫出這條河流的形象，還可以做出動畫的效果，讓學(xué)生們真正的看到小鳥在飛，河水在流。這樣一來，學(xué)生們的注意力都會放在這道題上，有利于提高老師的教學(xué)質(zhì)量。
三、要將生本理念和多媒體技術(shù)向融合，深化學(xué)生的思維
生本理念就是在教學(xué)中把學(xué)生作為主體，改變以往學(xué)生們在學(xué)習(xí)中的被動狀態(tài)的一種新型的教學(xué)理念，旨在讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)活動的主人。要在“聽”和“學(xué)”中實(shí)現(xiàn)老師和學(xué)生的互融，通過老師為學(xué)生們創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情景，學(xué)生們在主動思考、自覺創(chuàng)新中使自己的自主學(xué)習(xí)能力得到鍛煉和提高。同時(shí)，老師又運(yùn)用多媒體教學(xué)手段來吸引學(xué)生們的參與興趣，實(shí)現(xiàn)生本教學(xué)。
例如：圖3.是一棵美麗的勾股型樹，其中所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、4、2，那么底層最粗較大的正方形樹干的面積是多少？
解答：由勾股定理可知，A和B的正方形面積之和等于正方形F的面積，從而得出F的面積為8。同理可得正方形G的面積為6，可以得出底層最粗較大的樹干E的面是F和G正方形面積之和，所以答案是14。
例如：圖4.是“趙爽弦圖”的飛鏢板圖。其中直角三角形的兩條直角邊分別是2和4，假設(shè)飛鏢每次都扎在板上，那么投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域的概率是多少？
解答：由題目已知條件可得出中間正方形的邊長是2，根據(jù)勾股定理可得出外面大正方形的邊長是2，所以小正方形與大正方形的面積比是對應(yīng)邊的比的平方，即1：5，在根據(jù)概率公式可以求出投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域的概率是1/5。
在這樣的拼圖式的題型，老師需要引導(dǎo)學(xué)生通過拼出不同的圖形來發(fā)現(xiàn)其中隱藏的勾股定理，使學(xué)生們的創(chuàng)意想象得到充分的發(fā)揮，并善于發(fā)現(xiàn)每一位學(xué)生身上的閃光點(diǎn)，有針對性的對預(yù)設(shè)教學(xué)進(jìn)行調(diào)整，促進(jìn)預(yù)設(shè)和生本的融合。
小結(jié)
勾股定理既是初中數(shù)學(xué)知識中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，將會學(xué)生利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)題目的解答，可大大提高解題效率。本文從三個(gè)方面探討了如何加強(qiáng)勾股定理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，希望以此能夠?yàn)槌踔械臄?shù)學(xué)教學(xué)提供一些幫助。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:數(shù)學(xué)史在勾股定理一章中的比較分析
摘要：對人教版和北師大版數(shù)學(xué)教材中“勾股定理”一章數(shù)學(xué)史編排模式的比較發(fā)現(xiàn)：兩版本教材在數(shù)學(xué)史的設(shè)計(jì)上各具特色，都力求以多種方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史，北師大版比人教版更加注重學(xué)生的實(shí)踐操作能力和交流能力的培養(yǎng)，人教版更關(guān)注學(xué)生的情感；反思發(fā)現(xiàn)兩版本教材在數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中的弱點(diǎn)：數(shù)學(xué)史的運(yùn)用過于淺顯、缺乏與信息技術(shù)的整合。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；勾股定理；教材比較
一、引言
數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程的整合已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育界的一個(gè)熱點(diǎn)話題。張奠宙先生指出：在數(shù)學(xué)教育中，特別是中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)史知識是進(jìn)行素質(zhì)教育的重要方面。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確提出，“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料”。數(shù)學(xué)是積累的科學(xué)，“它的發(fā)展并不合邏輯，數(shù)學(xué)發(fā)展的實(shí)際情況與我們學(xué)校里的教科書很不一致”。根據(jù)歷史發(fā)生原理，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有很大的相似性。一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內(nèi)涵以及科學(xué)文化的進(jìn)步，就必須融入一些簡略的數(shù)學(xué)史以啟發(fā)思維、開闊視野、激發(fā)興趣。這就使得在教材的編寫與修訂過程中，合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容及其編排方式顯得尤為重要。基于以上認(rèn)識，本文僅對人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社初中數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行比較分析。
二、調(diào)查與分析
首先對人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級下冊）》和北師大版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?搖數(shù)學(xué)（八年級上冊）》勾股定理一章中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體見下表1。
從表1可以看出，在勾股定理這一章中兩版本教材都呈現(xiàn)了大量史料，但在數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式和選材上，又各有側(cè)重點(diǎn)。據(jù)表1，兩版本教材在本章各出現(xiàn)數(shù)學(xué)史11處、13處，主要分布在正文、習(xí)題、專題和閱讀材料中。（人教版以“閱讀與思考”呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，北師大版以“讀一讀”這一欄目呈現(xiàn)史料，為統(tǒng)一起見，統(tǒng)稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在相關(guān)知識旁邊以框架的形式對某些內(nèi)容作簡要介紹。）此外，北師大版及時(shí)節(jié)（探索勾股定理）和第三節(jié)（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎(chǔ)上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統(tǒng)計(jì)時(shí)仍把這兩處歸為數(shù)學(xué)史料。
三、章前內(nèi)容和數(shù)學(xué)家的設(shè)計(jì)
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現(xiàn)了2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)問題，進(jìn)而交待了這一章所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。這樣的設(shè)計(jì)不僅激起了學(xué)生的求知欲、好奇心，還能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識之前對本章要干啥有一個(gè)大概的了解，同時(shí)也便于學(xué)生在學(xué)習(xí)完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關(guān)于勾股定理說法的設(shè)計(jì)更為人性化。
兩版本教材在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)，都是簡要的說明數(shù)學(xué)家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻(xiàn)，并沒有體現(xiàn)數(shù)學(xué)家遭遇的困惑、挫折、失敗的經(jīng)歷。使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)家所想到的定理是理所當(dāng)然的，未能體現(xiàn)數(shù)學(xué)家在創(chuàng)作過程中斗爭、挫折以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個(gè)特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數(shù)學(xué)家時(shí)附有數(shù)學(xué)家的頭像（本章附有畢達(dá)哥拉斯圖像），這樣能喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據(jù)劉超的統(tǒng)計(jì)，在初中六本教材中人教版有五處附有數(shù)學(xué)家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
四、對兩版本教材的思考
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數(shù)學(xué)家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數(shù)學(xué)知識，而北師大版在及時(shí)、三節(jié)都是以實(shí)際問題情境引入數(shù)學(xué)內(nèi)容的，但這兩處的情境都來源于數(shù)學(xué)歷史名題。兩版本在此對數(shù)學(xué)史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)史只是作為一個(gè)情景用來引出相關(guān)內(nèi)容的。這只是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好的。一方面，初級階段是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，進(jìn)入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動積極性；另一方面，教材的這種設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了教材的靈活性和多樣性，便于教師對內(nèi)容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨(dú)希望各相關(guān)領(lǐng)域人員對數(shù)學(xué)思想、方法做認(rèn)真的思考，對數(shù)學(xué)史料進(jìn)行加工和創(chuàng)造，深挖史料背后隱含的價(jià)值，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的作用和價(jià)值。
現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展使得計(jì)算機(jī)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化之間的橋梁。兩版本教材除了讓學(xué)生自己上網(wǎng)搜索相關(guān)內(nèi)容外，并沒有涉及與信息技術(shù)有關(guān)的內(nèi)容。“勾股定理”作為幾乎是全世界中學(xué)都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，這些證法反映了東西方不同的文化。這應(yīng)引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時(shí)注重相關(guān)數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)的整合。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:再探初中數(shù)學(xué)勾股定理
題目等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？圖1中，每個(gè)小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，看看能得出什么結(jié)論.(提示：以斜邊為邊長的正方形的面積，等于某個(gè)正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積.)
探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面積分別等于直角三角形的兩直角邊的平方，正方形C(或C′)的面積等于直角三角形的斜邊的平方，于是我們得出：
勾股定理直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
反思1為什么直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方？
探究勾股定理的證明在計(jì)算正方形C(或C′)的面積時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：正方形C(或C′)的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)全等的直角三角形的面積，由此我們受到啟發(fā).如圖2，若設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
說明上述證明勾股定理的方法用到的圖形，叫做“趙爽弦圖”.運(yùn)用“趙爽弦圖”證明勾股定理，簡捷巧妙.為了開闊同學(xué)們的視野，下面再介紹一種利用全等三角形和面積的證明方法.
如圖2，以RtABC的兩直角邊AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜邊向外作正方形ABED，過點(diǎn)C作CIDE，垂足為I，CI交AB于點(diǎn)H，則四邊形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，我們不難得出：
拓展1以直角三角形的兩直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.
反思2如果分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積嗎？
探究設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，
那么
以a為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12a?12a=14a2，
以b為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12b?12b=14b2，
以c為斜邊的等腰直角三角形的面積等于12c?12c=14c2，
因?yàn)閍2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我們得出：
拓展2分別以直角三角形的各邊為斜邊作等腰直角三角形，那么以兩直角邊為斜邊的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.
說明如果能夠注意到等腰直角三角形正好是以它的斜邊為一邊的正方形的四分之一，運(yùn)用拓展1的結(jié)論很容易得到拓展2.
下面請同學(xué)們運(yùn)用拓展2的結(jié)論解決：
問題1已知：以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB=3，則三個(gè)等腰直角三角形的面積和為.
提示：如果對等腰直角三角形的面積公式(用等腰直角三角形的斜邊表示)不熟悉，可先將每個(gè)等腰直角三角形補(bǔ)成正方形，這樣所求的面積就等于兩個(gè)等腰RtABE的面積，而兩個(gè)等腰RtABE的面積正好等于以AB為一邊的正方形的面積的一半，從而所求部分的面積=12×32=4.5.
反思3如果分別以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，那么以兩直角邊為邊的等邊三角形的面積和等于以斜邊為邊的等邊三角形的面積嗎？
問題2已知在RtABC中，∠ACB=Rt∠，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值等于.
數(shù)學(xué)勾股定理論文:淺談勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用
摘要：數(shù)學(xué)是一種邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)的學(xué)科，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對于一些數(shù)學(xué)問題使用常規(guī)的解題方法往往過于繁瑣，而利用一些定理進(jìn)行求解往往能夠達(dá)到事半功倍的效果。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，勾股定理便是一個(gè)非常重要的定理，將其充分利用能夠使諸多數(shù)學(xué)問題迎刃而解。本課題筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)案例從多方面對勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探究，希望以此為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的完善提供一些具有價(jià)值性的參考依據(jù)。
關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 勾股定理 應(yīng)用
1 引言
勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)定理[1]。它很好地解釋了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，對于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計(jì)算機(jī)證明問題，利用勾股定理往往能夠迎刃而解，使學(xué)生快速掌握解決方法。同時(shí)，在日常生活及工作當(dāng)中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，充分利用好勾股定理這一有效手段進(jìn)行解題顯得尤為重要。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用勾股定理，對初中數(shù)學(xué)當(dāng)中的“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實(shí)際問題”進(jìn)行了分析與探究，希望以此能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。
2 勾股定理在線段問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)中，一些“線段求長”問題使用常規(guī)方面解決常表現(xiàn)的較為棘手，而使用勾股定理往往能夠得以有效解決。
例題1：如圖1，在三角形ABC中，已知：∠ABC=90°，AB=BC，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別位于相互平行的三條直接l1、l2、l3上，并且l1與l2之間的距離為2，l2，與l3之間的距離為3，求AC的長度。
解：過A作l3的垂線交l3于D，過C作l3的垂線交l3于E，由已知條件：∠ABC=90°，AB=BC，得：RtABD與RtBEC全等；
所以，AD=BE=3，DB=CE=5；
進(jìn)而得：AB2=BC2=32+52=9+25=34；
在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2=68，
所以：AC=2■
3 勾股定理在求角問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，有些求角問題使用常規(guī)方法難以解決，而使用勾股定理則能夠很快地解決。因此，將在求角問題中充分應(yīng)用勾股定理便有著實(shí)質(zhì)性的作用[2]。
例題2：如圖2，在等邊ABC中，有一點(diǎn)P，已知PA、PB、PC分別等于3、4、5，試問∠APB等于多少度？
解：把APC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至ABQ，讓AB和AC能夠重合；此時(shí)，AP=AQ=3，BQ=PC=5，，∠PAQ=∠BAC=60°；
所以，PAQ是等邊三角形；
所以，PQ=3；
在三角形PBQ當(dāng)中，PB、BQ分別等于4、5，
所以，三角形PBQ是直角三角形，其中∠BPQ=90°；
所以，∠APB=∠BPQ +∠APQ=90°+60°=150°。
4 勾股定理在證明垂直問題中的應(yīng)用
在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，一些證明垂直的問題如果利用勾股定理進(jìn)行求解，那么將能夠達(dá)到事半功倍的效果。下面筆者結(jié)合有關(guān)證明垂直問題的題型展開討論。
例題3：如圖3所示，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，ABAD，證明：BCBD[3]。
證明：由已知條件ABAD可知，在三角形ABD中，∠BAD=90°；
因?yàn)锳D、AB分別為3、4，由勾股定理可知：BD2=AB2+AD2=32+42，求得：BD=5，
又因?yàn)锽D2+BC2=52+122=132=CD2；
因此，三角形DBC為直角三角形，其中∠CBD=90°；
所以，BCBD。
5 勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用
對于勾股定理，還能夠解決實(shí)際問題，并且這些實(shí)際問題都是在日常生活中可以看到的。
例題4：一棵小樹高為4米，現(xiàn)有小鳥A停留在樹梢上，此時(shí)小鳥B停留在高20米的一棵大樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，已知大樹與小樹的距離為12米，如果小鳥A以4m/s的速度飛往大樹樹梢，試問：小鳥A至少需要多長時(shí)間才能夠與小鳥B在一起？
解：如圖4，根據(jù)題干的已知條件可知，AC=16m，BC=12m，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=162+122，求得AB=20m；
所以，小鳥A所需時(shí)間為20/4=5秒。
筆者認(rèn)為，利用勾股定理解決實(shí)際問題，需要弄清題意，進(jìn)而對題目中所涉及的直角三角形找出來，然后結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解[4]。在例題4中，最主要的步驟便是依照題意，結(jié)合勾股定理，然后畫出大樹與小樹之間的直角三角形，在充分利用已知條件的基礎(chǔ)上，便能夠使問題有效解決。
6 結(jié)語
通過本課題的探究，認(rèn)識到在初中數(shù)學(xué)中，對于許多問題可以利用勾股定理進(jìn)行求解。包括“線段求長問題”、“求角問題”、“證明垂直問題”及“實(shí)際問題”等。筆者認(rèn)為，勾股定理在幾何學(xué)當(dāng)中占有非常重要的地位，它不僅僅只是一種解決數(shù)學(xué)問題的定理那么簡單，它還與我們的日常生活息息相關(guān)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)勾股定理進(jìn)行解題，不但能夠提高學(xué)生解題的效率，而且還能夠讓學(xué)生對生活引發(fā)思考，從而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，體會到生活與數(shù)學(xué)學(xué)科的密切聯(lián)系，進(jìn)一步為數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用奠定良機(jī)。
數(shù)學(xué)勾股定理論文:基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)探究
[摘 要] 數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的意義不言而喻，它對于踐行新課改的知識與技能、過程與方法以及情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)，倡導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的教學(xué)模式等方面具有重要作用. 本文以勾股定理教學(xué)為例，探討了上述問題.
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史；勾股定理；教育價(jià)值
數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的價(jià)值已不僅僅停留在理論層面的討論. 翻閱近兩年的數(shù)學(xué)教育類雜志可以發(fā)現(xiàn)，越來越多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師也在撰文闡述自己在教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的一些體會和教學(xué)案例. 在課程改革不斷深入的當(dāng)下，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對于踐行課改的理念，培養(yǎng)發(fā)展有理想、有道德的高素質(zhì)數(shù)學(xué)人才等方面確實(shí)有著積極的推進(jìn)作用. 本文將給出一個(gè)基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)思路，旨在拋磚引玉，期待一線教師在不斷加強(qiáng)自身數(shù)學(xué)史修養(yǎng)的同時(shí)，開發(fā)出更多基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例.
提出問題
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 此定理在西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理，相傳，這是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其徒眾發(fā)現(xiàn)的，后人更渲染其事，說畢達(dá)哥拉斯諸人十分重視這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)，特地宰了一百頭牛向天神奉獻(xiàn)答謝，所以中世紀(jì)時(shí)這條定理被稱作“百牛定理”. 在歷史上，這條定理的名稱特別多，在不同時(shí)代、不同地區(qū)都有不同的名稱，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在公元前300年左右編寫了著名的經(jīng)典之作《幾何原本》，其中一個(gè)定理就是畢達(dá)哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形等于夾直角兩邊上正方形的和.”
接下來的這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一個(gè)三角形中，一邊上的正方形等于這個(gè)三角形另外兩邊上正方形的和，則夾在后兩邊之間的角是直角.”
這兩個(gè)定理合起來說明了直角三角形a，b，c三邊的平方和關(guān)系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國數(shù)學(xué)家早在公元前1120年就對勾股定理有了明確認(rèn)識. 勾股定理從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，在西方，它被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，但它的發(fā)現(xiàn)時(shí)間卻比中國人晚了幾百年. 勾股定理是把直角三角形與三邊長的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.
定理的證明
在新課程人教版教材（八年級下冊）中，先是引用畢達(dá)哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證明了勾股定理. “弦圖”是以弦為邊長的正方形，在“弦圖”內(nèi)作四個(gè)相等的勾股形，各以正方形的邊長為弦. “弦圖證法”是依據(jù)“出入相補(bǔ)原理”，根據(jù)“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理的. 趙爽的“弦圖證法”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，正因如此，這個(gè)圖案被選為2002年北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽.
[圖1]
引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法
上述是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”證法，即利用“以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積與四個(gè)三角形的面積之和等于外正方形的面積”來證明勾股定理. 這一方法給我們一定的啟示，即圍繞面積相等這一條，把原圖形拆成幾部分，然后根據(jù)面積相等實(shí)現(xiàn)定理的證明. 教師可以提示學(xué)生圍繞這一觀點(diǎn)，探索其他證明方法，學(xué)生提供的證法有可能和歷史上大數(shù)學(xué)家的證法一致.
歷史上的經(jīng)典證明方法展示
發(fā)現(xiàn)勾股定理迄今已有五千年，五千多年來，世界上幾個(gè)文明古國都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過這個(gè)定理，幾千年來，人們給出了勾股定理的許多證法，有人統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在世界上已找到四百多種證法，下面列舉其中具有數(shù)學(xué)思想的一些代表性證明方法. 如（1）歐幾里得《幾何原本》的證法；（2）比例證法；（3）另一種弦圖證法；（4）總統(tǒng)證法；（5）帕斯卡拉二世的證明；（6）畢達(dá)哥拉斯的證法；（7）旋轉(zhuǎn)證法. 限于篇幅，這些證明方法的證明過程在本文中省略不寫.
基于上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，歷史上的勾股定理證明方法很多，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有400多種，向?qū)W生展示不同的證明方法有很多益處，具體表現(xiàn)在：首先，給出勾股定理的多種證法，并非是比較證法之優(yōu)劣，而是為了豐富教與學(xué)的內(nèi)容知識，這也是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)重要的功能之一. 其次，通過比較、分析各種證法的特色，可以讓教師和學(xué)生在教與學(xué)上有所比較，以達(dá)到取長補(bǔ)短. 通過分析各種證法之不同，可以發(fā)現(xiàn)他們各自對于圖形的依賴程度也不相同. 當(dāng)我們試圖理解某個(gè)版本的證法時(shí)，就好比與這位數(shù)學(xué)家進(jìn)行對話，從而產(chǎn)生自我“歷史詮釋”. 再次，歷史上的勾股定理證法還使我們認(rèn)識到該如何呈現(xiàn)定理及其證明，以便可以兼顧到各個(gè)面向. 在教學(xué)中，若以歷史文本為師，適時(shí)引入古人的原始想法，擷取前人的智慧，乃至前人所犯的錯(cuò)誤，相信對于數(shù)學(xué)思想的發(fā)展與學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能有更貼近的牟合，也能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有更的觀照. ，基于數(shù)學(xué)史數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo)之一，正是讓學(xué)生在通過歷史文本解決問題的過程中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，因此，數(shù)學(xué)歷史文本中的任何地方可能都有意想不到的金礦等待挖掘，唯有辛勤發(fā)掘才可能使我們滿載而歸.
問題的推廣
下面我們換個(gè)角度看勾股定理，定理會變成什么樣呢？
推廣一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜邊長度的平方等于兩個(gè)直角邊長度的平方之和.
（2）直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個(gè)正方形.
（3）直角三角形直角邊上兩個(gè)正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積.
推廣二：“出入相補(bǔ)”原理的應(yīng)用
所謂“出入相補(bǔ)”原理，是指一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變. 綜觀歷史上有關(guān)勾股定理的證明方法，許多證法都是利用這一原理進(jìn)行的，只是圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已. “出入相補(bǔ)”原理是我國古代數(shù)學(xué)家發(fā)明的一個(gè)證明幾何圖形面積和體積的非常重要的方法，下面，我們通過比較兩個(gè)證明來說明某些問題.
趙爽和達(dá)?芬奇的證明方法（如圖2所示）：
[圖2：勾股定理的兩種幾何證明]
問題：這兩種方法的聯(lián)系是什么？
解答：如圖3所示.
[圖3：兩種證明的聯(lián)系]
可以看出，趙爽和達(dá)?芬奇對勾股定理的證明都使用了“出入相補(bǔ)”原理. 這兩種來自不同時(shí)期、不同地域的方法背后有著更本質(zhì)的聯(lián)系，正因?yàn)檫@種本質(zhì)聯(lián)系，讓我們找到了更多類似的證明方法. 它也展示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的一種聯(lián)系. 正如韋爾斯在《數(shù)學(xué)與聯(lián)想》一書中所說的：“這就是為什么數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的一個(gè)理由. 數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)表面不同的問題實(shí)際上是相同的，因此他只要解決一個(gè)也就解決了另一個(gè). 認(rèn)識到一百萬個(gè)問題‘實(shí)質(zhì)上’都是相同的，因此，你只要解決一個(gè)就解決了一百萬個(gè). 事實(shí)上，這就是力量！”我們的數(shù)學(xué)讀本，應(yīng)該多多向?qū)W生介紹這方面的內(nèi)容，讓學(xué)生感受這種力量，去認(rèn)識事物之間的聯(lián)系.
推廣三：把直角三角形三邊上的正方形改為一般的直線形
若把以直角三角形為邊長的正方形改為一般的直線形，勾股定理就推廣為：直角三角形斜邊上的直線形（任何形狀）的面積，等于兩條直角邊上與它相對應(yīng)的兩個(gè)相似的直線形的面積之和（如圖4所示）.
[圖4]
推廣四：把直角三角形三邊上的直線形改為曲邊形
若把直角三角形三邊上的相似直線形改為三個(gè)半圓，勾股定理就推廣為：以斜邊為直徑的半圓，其面積等于分別以兩條直角邊為直徑所作半圓的面積和. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣：（習(xí)題18.1“拓展探索”問題11）：如圖5所示，直角三角形三條邊上的三個(gè)半圓之間有什么關(guān)系？
[圖5][2][1]
若把上述斜邊上的半圓沿斜邊翻一個(gè)身，此時(shí)顯然有“1和2的面積之和等于直角三角形的面積”. 其實(shí)這個(gè)結(jié)論早在公元前479年就已經(jīng)由古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底得到，因1和2部分狀如弦月，故稱“希波克拉底月形”. 新課程（人教版八年級下冊）在習(xí)題中體現(xiàn)了這一推廣（習(xí)題18.1“拓展探索”問題12）：如圖5所示，直角三角形的面積是20，求圖中1和2的面積之和.
推廣五：勾股定理與費(fèi)馬大定理
勾股定理是直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，寫出公式就是a2+b2=c2. 丟番圖的名作《算術(shù)》（第2卷問題8）中有一個(gè)與勾股定理類似的問題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù). 丟番圖在《算術(shù)》中以實(shí)例形式給出了這一問題的解答. 之所以在此獨(dú)獨(dú)提到丟番圖的這一問題，是因?yàn)椋蠹s16個(gè)世紀(jì)以后，正是在這一問題的啟發(fā)下，費(fèi)馬在其旁白處寫下了一段邊注，從而誕生了一個(gè)讓整個(gè)數(shù)學(xué)界為之苦思冥想了三百多年的問題. 費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂的丟番圖《算術(shù)》時(shí)，做了如下批注：“不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫成兩個(gè)同樣次冪的和. 我已找到了一個(gè)奇妙的證明，但書邊太窄，寫不下. ”1670年，費(fèi)馬之子薩謬爾連同其父的批注一起出版了巴歇校訂的書的第二版，遂使費(fèi)馬這一猜想公之于世. 費(fèi)馬究竟有沒有找到證明已成為數(shù)學(xué)史上的千古之謎. 從那時(shí)起，為了“補(bǔ)出”這條定理的證明，數(shù)學(xué)家們花費(fèi)了三個(gè)多世紀(jì)的心血，直到1994年才由維爾斯給出證明.
推廣六：勾股數(shù)
不言而喻，所謂勾股數(shù)，是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)（a，b，c），它們滿足a2+b2=c2. 那么如何尋找更多的勾股數(shù)呢，方法如下.
1. 任取兩個(gè)正整數(shù)m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2構(gòu)成一組勾股數(shù).
2. 若勾股數(shù)組中的某一個(gè)數(shù)已經(jīng)確定，可用如下方法確定另兩個(gè)數(shù)：首先觀察已知數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù).
（1）若已知數(shù)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么奇數(shù)與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).
（2）若已知數(shù)是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1和加1所得的兩個(gè)整數(shù)與這個(gè)偶數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).
練習(xí)題：限于篇幅，僅列一題.
練習(xí)題 今有立木，系索其末委地三尺，引索卻行去本八尺而索盡，問索長幾何？（該題出自南宋楊輝《詳解九章算法》，公元1261年）
現(xiàn)代文翻譯：有一根直立的木頭，一條繩索系在它的頂端. 已知這條繩索比木頭長3尺，現(xiàn)在向后緊拉繩索，使它的另一端著地，這時(shí)繩索與木的距離為8尺，問這條繩索的長為多少？
原書“術(shù)”曰：“以去本自乘，另如委數(shù)兒一，所得加委地?cái)?shù)而半之，即索長.”
歷史上涉及勾股定理應(yīng)用的古算題很多，在學(xué)習(xí)勾股定理的同時(shí)，如果能盡可能多地向?qū)W生呈現(xiàn)這些古算題，會使我們的教學(xué)起到事半功倍之效. 向?qū)W生呈現(xiàn)古算題原題，學(xué)生首先會接受很多那個(gè)時(shí)代的社會、人文信息，包括古算題涉及的真實(shí)情景、古算題的出處、涉及的數(shù)學(xué)家等. 學(xué)生還要將文言文翻譯成現(xiàn)代白話文，然后去理解題意，考慮其解題方法. 接著給學(xué)生呈現(xiàn)古人解決此類問題的“術(shù)”，又會使學(xué)生感受到他們的解法與歷史上的解法其實(shí)有異曲同工之妙. 在這個(gè)過程中，新課程所涉及的“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維目標(biāo)可以自然地達(dá)成. 誠然，教師在這個(gè)過程中需要適時(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)和點(diǎn)撥，它要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識和修養(yǎng).
結(jié)語：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用不言而喻，亟須一線教師開發(fā)出更多的教案和案例. 數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)教育的重要指導(dǎo)和引領(lǐng)作用，正如我國老一輩數(shù)學(xué)教育家、珠算算具改革先驅(qū)的余介石先生所說：“歷史之于數(shù)學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之恩，收聞風(fēng)興起之效，更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯順序，如何得以融合調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠為教師最宜留意體會之一事也”.
數(shù)學(xué)勾股定理論文:勾股定理教學(xué)中數(shù)學(xué)史的融入
【摘 要】勾股定理是數(shù)學(xué)歷史上最為古老的定理，也是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的定理，其相關(guān)歷史在《數(shù)學(xué)》書中以引入、例題、作業(yè)題、閱讀材料等多種形式體現(xiàn)，為數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)奠定了基礎(chǔ)，使教學(xué)方式和處理方法更加靈活多樣.鑒于此，本文以“勾股定理”的教學(xué)為例，結(jié)合自己教學(xué)實(shí)踐和學(xué)習(xí)思考，闡述數(shù)學(xué)教學(xué)中勾股定理歷史的融入.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；勾股定理歷史；融入；教學(xué)策略
1.勾股定理歷史融入教學(xué)的意義
1.1 有利于激發(fā)興趣，培養(yǎng)探索精神
勾股定理的證明是一個(gè)難點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中適時(shí)引入數(shù)學(xué)史中引人入勝和富有啟發(fā)意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼感，可使學(xué)生明白數(shù)學(xué)并不是一門枯燥無味的學(xué)科，而是一門不斷發(fā)展的生動有趣的學(xué)科，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
1.2 有利于培養(yǎng)人文精神，加強(qiáng)歷史熏陶
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史可以對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數(shù)學(xué)史提得很少，其實(shí)中國古代數(shù)學(xué)家對于勾股定理發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，尤其是其中體現(xiàn)出來的數(shù)形結(jié)合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學(xué)的策略
在勾股定理教學(xué)的過程中，要求我們在教學(xué)活動中，注意結(jié)合教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)一定的目的，對勾股定理歷史資源進(jìn)行有效的選擇、組合、改造與創(chuàng)造性的加工，使學(xué)生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發(fā).在實(shí)踐過程中，發(fā)現(xiàn)以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創(chuàng)設(shè)中融入勾股定理歷史
建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)情景創(chuàng)設(shè)要盡可能的真實(shí)，數(shù)學(xué)史總歸是真實(shí)的.情景創(chuàng)設(shè)可以充分考慮數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景和發(fā)展歷史，以數(shù)學(xué)史作為素材創(chuàng)設(shè)問題情景，不僅有助于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，也是對學(xué)生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學(xué)們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學(xué)家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發(fā)射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認(rèn)識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的及時(shí)位與勾股定理有關(guān)的人.中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個(gè)直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經(jīng)》卷上還記載西周開國時(shí)期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時(shí)提到“勾廣三，股修四，經(jīng)偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數(shù)學(xué)史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創(chuàng)造過程，對這種過程的再現(xiàn)，不僅能使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學(xué)不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理，“出入相補(bǔ)”見于劉徽為《九章算術(shù)》勾股數(shù)──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補(bǔ)成弦方，劉徽未具體提示，學(xué)界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學(xué)生動手驗(yàn)證）
證明方法之特征：數(shù)形結(jié)合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數(shù)學(xué)問題趣味化.
翻開古今的數(shù)學(xué)史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠(yuǎn)，所有的數(shù)學(xué)知識都蘊(yùn)涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓(xùn).將數(shù)學(xué)史的知識融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)有力的措施.正象法國數(shù)學(xué)家包羅·朗之萬所說：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加入歷史具有百利而無一弊.”
