引論：我們?yōu)槟砹?3篇數(shù)學(xué)研究論文范文，供您借鑒以豐富您的創(chuàng)作。它們是您寫作時(shí)的寶貴資源，期望它們能夠激發(fā)您的創(chuàng)作靈感，讓您的文章更具深度。
篇1
LTCM基金是于1993年建立的“對沖”（hedge）基金，資金額為35億美元，從事各種債券衍生物交易，由華爾街債券投資高手梅里韋瑟（J.W.Meriwether）主持。其合伙人中包括著名的數(shù)學(xué)金融學(xué)家斯科爾斯（M.S.Scholes）和默頓（R.C.Merton），他們參與建立的“期權(quán)定價(jià)公式”（即布萊克-斯科爾斯公式）為債券衍生物交易者廣泛應(yīng)用。兩位因此獲得者1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。LTCM基金的投資策略是根據(jù)數(shù)學(xué)金融學(xué)理論,建立模型，編制程序，運(yùn)用計(jì)算機(jī)預(yù)測債券價(jià)格走向。具體做法是將各種債券歷年的價(jià)格輸入計(jì)算機(jī)，從中找出統(tǒng)計(jì)相關(guān)規(guī)律。投資者將債券分為兩類：第一類是美國的聯(lián)邦公券，由美國聯(lián)邦政府保證，幾乎沒有風(fēng)險(xiǎn)；第二類是企業(yè)或發(fā)展中國家征服發(fā)行的債券，風(fēng)險(xiǎn)較大。LTCM基金通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，兩類債券價(jià)格的波動(dòng)基本同步，漲則齊漲，跌則齊跌，且通常兩者間保持一定的平均差價(jià)。當(dāng)通過計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)個(gè)別債券的市價(jià)偏離平均值時(shí)，若及時(shí)買進(jìn)或賣出，就可在價(jià)格回到平均值時(shí)賺取利潤。妙的是在一定范圍內(nèi)，無論如何價(jià)格上漲或下跌，按這種方法投資都可以獲利。難怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中，資金增長高達(dá)300%。不僅其合伙人和投資者發(fā)了大財(cái)，各大銀行為能從中分一杯羹，也爭著借錢給他們，致使LTCM基金的運(yùn)用資金與資本之比竟高達(dá)25：1。
天有不測風(fēng)云！1998年8月俄羅斯政府突然宣布推遲償還短期國債券，這一突發(fā)事件觸發(fā)了群起拋售第二類債券的狂潮，其價(jià)格直線下跌，而且很難找到買主。與此同時(shí)，投資者為了保本，紛紛尋求最安全的避風(fēng)港，將巨額資金轉(zhuǎn)向購買美國政府擔(dān)保的聯(lián)邦公債。其價(jià)格一路飛升到歷史新高。這種情況與LTCM計(jì)算機(jī)所依據(jù)的兩類債券同步漲跌之統(tǒng)計(jì)規(guī)律剛好相反，原先的理論，模型和程序全都失靈。LTCM基金下錯(cuò)了注而損失慘重。雪上加霜的是，他們不但未隨機(jī)應(yīng)變及時(shí)撤出資金，而是對自己的理論模型過分自信，反而投入更多的資金以期反敗為勝。就這樣越陷越深。到9月下旬LTCM基金的虧損高達(dá)44%而瀕臨破產(chǎn)。其直接涉及金額為1000億美元，而間接牽連的金額竟高達(dá)10000億美元！如果任其倒閉，將引起連鎖反應(yīng)，造成嚴(yán)重的信譽(yù)危機(jī)，后果不堪設(shè)想。
由于LTCM基金虧損的金額過于龐大，而且涉及到兩位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)德主，這對數(shù)學(xué)金融的負(fù)面影響可想而知。華爾街有些人已在議論，開始懷疑數(shù)學(xué)金融學(xué)的使用性。有的甚至宣稱：永遠(yuǎn)不向由數(shù)學(xué)金融學(xué)家主持的基金投資，數(shù)學(xué)金融學(xué)面臨挑戰(zhàn)。
LTCM基金事件爆發(fā)以后，美國各報(bào)刊之報(bào)道，評論，分析連篇累牘，焦點(diǎn)集中在為什么過去如此靈驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)預(yù)測理論竟會(huì)突然失靈？多數(shù)人的共識是，布萊克-斯科爾斯理論本身并沒有錯(cuò)，錯(cuò)在將之應(yīng)用于不適當(dāng)?shù)臈l件下。本文作者之一在LTCM事件發(fā)生之前四個(gè)月著文分析基于隨機(jī)過程的預(yù)測理論，文中將隨機(jī)過程分為平穩(wěn)的，似穩(wěn)的以及非穩(wěn)的三類，明確指出：“第三類隨機(jī)過程是具有快變的或突變達(dá)的概率分布，可稱為‘非穩(wěn)隨機(jī)過程’。對于這種非穩(wěn)過程，概率分布實(shí)際上已失去意義，前述的基于概率分布的預(yù)測理論完全不適用，必須另辟途徑，這也可以從自然科學(xué)類似的情形中得到啟發(fā)。突變現(xiàn)象也存在于自然界中，……”此次正是俄羅斯政府宣布推遲償還短期國債券這一突發(fā)事件，導(dǎo)致了LTCM基金的統(tǒng)計(jì)預(yù)測理論失靈，而且遭受損失的并非LTCM基金一家，其他基金以及華爾街的一些大銀行和投資公司也都損失不貲。經(jīng)典的布萊克‐斯科爾斯公式
布萊克‐斯科爾斯公式可以認(rèn)為是，一種在具有不確定性的債券市場中尋求無風(fēng)險(xiǎn)套利投資組合的理論。歐式期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典布萊克‐斯科爾斯公式，基于由幾個(gè)方程組成的一個(gè)市場模型。其中，關(guān)于無風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格的方程，只和利率r有關(guān)；而關(guān)于原生股票價(jià)格的方程，則除了與平均回報(bào)率b有關(guān)以外，還含有一個(gè)系數(shù)為σ的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的“微分”。當(dāng)r，b，σ均為常數(shù)時(shí)，歐式買入期權(quán)（Europeancalloption）的價(jià)格θ就可以用精確的公式寫出來，這就是著名的布萊克‐斯科爾斯公式。由此可以獲得相應(yīng)的“套利”投資組合。布萊克‐斯科爾斯公式自1973年發(fā)表以來，被投資者廣泛應(yīng)用，由此而形成的布萊克‐斯科爾斯理論成了期權(quán)投資理論的經(jīng)典，促進(jìn)了債券衍生物時(shí)常的蓬勃發(fā)展。有人甚至說。布萊克‐斯科爾斯理論開辟了債券衍生物交易這個(gè)新行業(yè)。
筆者以為，上述投資組合理論可稱為經(jīng)典布萊克‐斯科爾斯理論。它盡管在實(shí)踐中極為成功，但也有其局限性。應(yīng)用時(shí)如不加注意，就會(huì)出問題。
局限性之一：經(jīng)典布萊克‐斯科爾斯理論基于平穩(wěn)的完備的市場假設(shè)，即r，b，σ均為常數(shù)，且σ>0，但在實(shí)際的市場中它們都不一定是常數(shù)，而且很可能會(huì)有跳躍。
局限性之二：經(jīng)典布萊克‐斯科爾斯理論假定所有投資者都是散戶，而實(shí)際的市場中大戶的影響不容忽視。特別是在不成熟的市場中，有時(shí)大戶具有決定性的操縱作用。量子基金在東南亞金融危機(jī)中扮演的角色即為一例。在這種情況下，b和σ均依賴于投資者的行為，原生股票價(jià)格的微分方程變?yōu)榉蔷€性的。
經(jīng)典布萊克‐斯科爾斯理論基于平穩(wěn)市場的假定，屬于“平穩(wěn)隨機(jī)過程”，在其適用條件下十分有效。事實(shí)上，期權(quán)投資者多年來一直在應(yīng)用，LTCM基金也確實(shí)在過去三年多中賺了大錢。這次LTCM基金的失敗并非由于布萊克‐斯科爾斯理論不對，而是因?yàn)橥话l(fā)事件襲來時(shí)，市場變得很不平穩(wěn),原來的“平穩(wěn)隨機(jī)過程"變成了“非穩(wěn)隨機(jī)過程”。條件變了，原來的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不再適用了。由此可見，突發(fā)事件可以使原本有效的統(tǒng)計(jì)規(guī)律在新的條件下失效。
突發(fā)實(shí)件的機(jī)制
研究突發(fā)事件首先必須弄清其機(jī)制。只有弄清了機(jī)制才能分析其前兆，研究預(yù)警的方法及因此之道。突發(fā)事件并不限于金融領(lǐng)域，也存在于自然界及技術(shù)領(lǐng)域中。而且各個(gè)不同領(lǐng)域中的突發(fā)事件具有一定的共性，按照其機(jī)制可大致分為以下兩大類。
“能量”積累型地震是典型的例子。地震的發(fā)生，是地殼中應(yīng)力所積累的能量超過所能承受的臨界值后突然的釋放。積累的能量越多，地震的威力越大。此外，如火山爆發(fā)也屬于這一類型。如果將“能量”作廣義解釋，也可以推廣到社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。泡沫經(jīng)濟(jì)的破滅就可以看作是“能量“積累型，這里的“能量”就是被人為抬高的產(chǎn)業(yè)之虛假價(jià)值。這種虛假價(jià)值不斷積累，直至其經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)無法承擔(dān)時(shí)，就會(huì)突然崩潰。積累的虛假價(jià)值越多，突發(fā)事件的威力就越大。日本泡沫經(jīng)濟(jì)在1990年初崩潰后，至今已九年尚未恢復(fù)，其重要原因之一就是房地產(chǎn)所積累的虛假價(jià)值過分龐大之故。
“放大”型原子彈的爆發(fā)是典型的例子。在原子彈的裂變反應(yīng)中，一個(gè)中子擊中鈾核使之分裂而釋放核能，同時(shí)放出二至傘個(gè)中子，這是一級反應(yīng)。放出的中子再擊中鈾核產(chǎn)生二級反應(yīng)，釋放更多的核能，放出更多的中子……。以此類推，釋放的核能及中子數(shù)均按反應(yīng)級級數(shù)以指數(shù)放大，很快因起核爆炸。這是一種多級相聯(lián)的“級聯(lián)放大”，此外，放大電路中由于正反饋而造成的不穩(wěn)定性，以及非線性系統(tǒng)的“張弛”震蕩等也屬于“放大”型。這里正反饋的作用等效于級聯(lián)。在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)及金融等領(lǐng)域中也有類似的情形，例如企業(yè)間達(dá)的連鎖債務(wù)就有可能導(dǎo)致“級聯(lián)放大”，即由于一家倒閉而引起一系列債主的相繼倒閉，甚至可能觸發(fā)金融市場的崩潰。這次LTCM基金的危機(jī)，如果不是美國政府及時(shí)介入，促使15家大銀行注入35億美元解困，就很可因LTCM基金倒閉而引起“級聯(lián)放大”，造成整個(gè)金融界的信用危機(jī)。金融界還有一種常用的術(shù)語，即所謂“杠桿作用”（leverage）。杠桿作用愿意為以小力產(chǎn)生大力，此處指以小錢控制大錢。這也屬于“放大”類型。例如LTCM基金不僅大量利用銀行貸款造成極高的“運(yùn)用資金與資本之比”，而且還利用期貨交易到交割時(shí)才需付款的規(guī)定，大做買空賣空的無本交易，使其利用“杠桿作用”投資所涉及的資金高達(dá)10000億美元的天文數(shù)字。一旦出問題，這種突發(fā)事件的震撼力是驚人的。
金融突發(fā)事件之復(fù)雜性
金融突發(fā)事件要比自然界的或技術(shù)的突發(fā)事件復(fù)雜得多，其復(fù)雜性表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。
多因素性對金融突發(fā)事件而言，除了金融諸因素外，還涉及到政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、社會(huì)、心理等多種因素。LTCM事件的起因本為經(jīng)濟(jì)因素--俄羅斯政府宣布推遲償還短期債券，而俄羅斯經(jīng)濟(jì)在世界經(jīng)濟(jì)中所占分額甚少，之所以能掀起如此巨大風(fēng)波，是因?yàn)樾睦硪蛩氐摹胺糯蟆弊饔茫和顿Y者突然感受到第二類債券的高風(fēng)險(xiǎn)，競相拋售，才造成波及全球的金融風(fēng)暴。可見心理因素不容忽視，必須將其計(jì)及。
非線性影響金融突發(fā)事件的不僅有多種因素，而且各個(gè)因素之間一般具有錯(cuò)綜復(fù)雜的相互作用，即為非線性的關(guān)系。例如，大戶的動(dòng)作會(huì)影響到市場及散戶的行為。用數(shù)學(xué)語言說就是：多種因素共同作用所產(chǎn)生的結(jié)果，并不等于各個(gè)因素分別作用時(shí)結(jié)果的線性疊加。突發(fā)事件的理論模型必須包含非線性項(xiàng)，這種非線性理論處理起來要比線性理論復(fù)雜得多。
不確定性金融現(xiàn)象一般都帶有不確定性，而突發(fā)事件尤甚。如何處理這種不確定性是研究突發(fā)事件的關(guān)鍵之一。例如，1998年8月間俄羅斯經(jīng)濟(jì)已瀕臨破產(chǎn)邊緣，幾乎可以確定某種事件將會(huì)發(fā)生，但對于投資者更具有實(shí)用價(jià)值的是：到底會(huì)發(fā)生什么事件？在何時(shí)發(fā)生？這些具有較大的不確定性。
由此可知，金融突發(fā)事件的機(jī)制不像自然界或技術(shù)領(lǐng)域中的那樣界限分明，往往具有綜合性。例如，1990年日本泡沫經(jīng)濟(jì)的破滅，其機(jī)制固然是由于房地產(chǎn)等虛假價(jià)值的積累，但由此觸發(fā)的金融危機(jī)卻也包含著銀行等金融機(jī)構(gòu)連鎖債務(wù)的級聯(lián)放大效應(yīng)。預(yù)警方法
對沖基金之“對沖”，其目的就在于利用“對沖”來避險(xiǎn)（有人將hedgefund譯為“避險(xiǎn)基金”）。具有諷刺意義的是，原本設(shè)計(jì)為避險(xiǎn)的基金，竟因突發(fā)事件而造成震撼金融界的高風(fēng)險(xiǎn)。華爾街的大型債券公司和銀行都設(shè)有“風(fēng)險(xiǎn)管理部”，斯科爾斯和默頓都是LTCM基金“風(fēng)險(xiǎn)管理委員會(huì)”的成員，對突發(fā)事件作出預(yù)警是他們的職責(zé)，但在這次他們竟都未能作出預(yù)警。
突發(fā)事件是“小概率”事件，基于傳統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的預(yù)測理論完全不適用。這只要看一個(gè)簡單的例子就可以明白。在高速公路公路上駕駛汽車，想對突然發(fā)生的機(jī)械故障做出預(yù)警以防止車禍，傳統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)可能給出的信息是：每一百萬輛車在行駛過程中可能有三輛發(fā)生機(jī)械故障。這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律雖然對保險(xiǎn)公司制定保險(xiǎn)率有用，但對預(yù)警根本無用。因?yàn)椴恢滥愕能囀欠駥儆谶@百萬分之三，就算知道是屬于這百萬分之三，你也不知道何時(shí)會(huì)發(fā)生故障。筆者認(rèn)為，針對金融突發(fā)事件的上述特點(diǎn)，作預(yù)警應(yīng)采用“多因素前兆法”。前面說過，在“能量”積累型的突發(fā)事件發(fā)生之前，必定有一個(gè)事先“能量”積累的過程；對“放大”型的突發(fā)事件而言，事先必定存在某種放大機(jī)制。因此在金融突發(fā)事件爆發(fā)之前，總有蛛絲馬跡的前兆。而且“能量”的積累越多，放大的倍數(shù)越高，前兆也就越明顯。采用這種方法對汽車之機(jī)械故障作出預(yù)警，應(yīng)實(shí)時(shí)監(jiān)測其機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)溫度、噪音、振動(dòng)，以及駕駛感覺等反常變化及時(shí)作出預(yù)警。當(dāng)然，金融突發(fā)事件要比汽車機(jī)械故障復(fù)雜得多，影響的因素也多得多。為了作出預(yù)警，必須對多種因素進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測，特別應(yīng)當(dāng)“能量”的積累是否已接近其“臨界點(diǎn)”，是否已存在“一觸即發(fā)”的放大機(jī)制等危險(xiǎn)前兆。如能做到這些，金融突發(fā)事件的預(yù)警應(yīng)該是可能的。要實(shí)現(xiàn)預(yù)警，困難也很大。其一是計(jì)及多種因素的困難。計(jì)及的因素越多，模型就越復(fù)雜。而且由于非線性效應(yīng)數(shù)學(xué)處理就更為困難。計(jì)及多種因素的突發(fā)事件之?dāng)?shù)學(xué)模型，很可能超越現(xiàn)有計(jì)算機(jī)的處理能力。但計(jì)算機(jī)的發(fā)展一日千里，今天不能的，明天就有可能。是否可以先簡后繁、先易后難？不妨先計(jì)及最重要的一些因素，以后再根據(jù)計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)展逐步擴(kuò)充。其二是定量化的困難。有些因素，比如心理因素，應(yīng)如何定量化，就很值得研究。心理是大腦中的活動(dòng)，直接定量極為困難，但間接定量還是可能的。可以考慮采用“分類效用函數(shù)”來量化民眾的投資心理因素。為此，可以將投資者劃分為幾種不同的類型，如散戶和大戶，年輕的和年老的，保守型和冒險(xiǎn)型等等，以便分別處理。然后，選用他們的一種典型投資行為作為代表其投資心理的“效用函數(shù)“，加以量化。這種方法如果運(yùn)用得當(dāng)，是可以在一定程度上定量地表示投資者的心理因素的。此外，盧卡斯（R.E.Lucas）的“理性預(yù)期”也是一種處理心理因素的方法。其三是報(bào)警靈敏度的困難。過分靈敏可能給出許多“狼來了”的虛警，欠靈敏則可能造成漏報(bào)。如何適當(dāng)把握報(bào)警之“臨界值”？是否可以采用預(yù)警分級制和概率表示？
有些人根本懷疑對金融突發(fā)事件做預(yù)警的可能性。對此不妨這樣來討論：你相信不相信金融事件具有因果性？如果答案是肯定的，那么金融突發(fā)事件就不會(huì)憑空發(fā)生，就應(yīng)該有前兆可尋，預(yù)警的可能性應(yīng)該是存在的，那么金融學(xué)就不是一門科學(xué)，預(yù)警當(dāng)然也就談不上了。筆者相信因果律是普遍存在的，金融領(lǐng)域也不例外。
篇2
本文有兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的目標(biāo)：第一，對科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的重要影響作出綜合分析；第二，對新的研究與基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)行比較，從而清楚地指明數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的革命性質(zhì)。
一、從一些具體的研究談起
如眾所知，由1890年至1940年的這五十年，可以被看成數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的黃金時(shí)代：在這一時(shí)期中，弗雷格、羅素、布勞維爾和希爾伯特等，圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題進(jìn)行了系統(tǒng)和深入的研究，并發(fā)展起了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠(yuǎn)影響的數(shù)學(xué)觀，從而為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究開拓出了一個(gè)嶄新的時(shí)代，其影響也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的范圍，特別是，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)曾對維也納學(xué)派的科學(xué)哲學(xué)研究產(chǎn)生了十分重要的影響，而后者則曾在科學(xué)哲學(xué)的領(lǐng)域長期占據(jù)主導(dǎo)的地位。
然而，在四十年代以后，上述的情況發(fā)生了重要的變化。盡管邏輯主義等學(xué)派作出了極大的努力，他們的研究規(guī)劃卻都沒有能夠獲得成功，從而，在經(jīng)歷了所說的“黃金時(shí)代”以后，數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展就一度“進(jìn)入了一個(gè)悲觀的、停滯的時(shí)期”；與數(shù)學(xué)哲學(xué)的困境相對照，科學(xué)哲學(xué)則已逐步擺脫邏輯實(shí)證主義的傳統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)欣欣向榮的、新的發(fā)展時(shí)期。也正因?yàn)榇耍茖W(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展就對數(shù)學(xué)哲學(xué)家產(chǎn)生了巨大的吸引力，并對數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展產(chǎn)生了十分重要的影響。
就科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的影響而言，在最初主要是一些直接的推廣或移植。例如，作為新方向上研究工作的一個(gè)先驅(qū)，拉卡托斯就曾直接把波普爾的證偽主義科學(xué)哲學(xué)推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。盡管推廣和移植的工作是較為簡單的，但這仍然依賴于獨(dú)立的分析與深入的研究，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)與一般自然（經(jīng)驗(yàn)）科學(xué)之間顯然存在有重要的質(zhì)的區(qū)別。
為了使得由科學(xué)哲學(xué)中所吸取的觀念、概念、方法等確實(shí)有益于數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，最好的方法就是集中于相應(yīng)的研究問題，也即是希望通過以科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中某一（或某些）理論作為直接的研究背景以解決數(shù)學(xué)哲學(xué)中的某些基本問題。例如，M.Hallett的論文“數(shù)學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的發(fā)展”就以拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論，也即所謂的“科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論”作為直接的研究背景，但Hallett在這一論文中所真正關(guān)注的則是數(shù)學(xué)的方法論問題。因而，盡管其聲稱“希望能找到與科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論相類似的數(shù)學(xué)發(fā)展的方法論準(zhǔn)則”，Hallett的實(shí)際工作卻與拉卡托斯的科學(xué)哲學(xué)理論表現(xiàn)出了一定的差異。特別是，由于Hallett清楚地認(rèn)識到：“數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)之間的差異無疑是十分重要的”；“物理學(xué)可以依賴于不斷增加的事實(shí)性命題，但是數(shù)學(xué)中卻不存在這樣的對應(yīng)物。”因此，在Hallett看來，相應(yīng)的科學(xué)方法論準(zhǔn)則（即新的理論能作出某些預(yù)言，這些預(yù)言并已得到了確證），就不可能被直接推廣到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。
與上述的方法論原則相對照，Hallett提出，新的理論在解決非特設(shè)性的重要問題方面的成功可以被用作判斷數(shù)學(xué)進(jìn)步的準(zhǔn)則。Hallett并指出，這一準(zhǔn)則即是對希爾伯特在先前所已明確提出的相應(yīng)思想的一種改進(jìn)。從而，這就確實(shí)不能被看成對于科學(xué)研究綱領(lǐng)方法論的直接推廣。
在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)我們并可看到一種不斷增長的自覺性，即是關(guān)于科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中的思想或理論對于數(shù)學(xué)哲學(xué)“可應(yīng)用性”或“可推廣性”的深入思考。例如，H.Mehrtens在他的論文“庫恩的理論與數(shù)學(xué)：關(guān)于數(shù)學(xué)的‘新編年史’的討論”一文中，就明確提出了這樣的思想：在將庫恩的理論推廣應(yīng)用到數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先考慮兩個(gè)問題：第一，“在數(shù)學(xué)中是否存在有這類東西（按指革命）？”第二，如果答案是肯定的話，“這一概念對數(shù)學(xué)編年史的研究是否有確定的、富有成果的應(yīng)用？”
顯然，即使前一個(gè)問題可以說是一種直接的推廣或移植，后一問題的解答則依賴于更為深入的分析和獨(dú)立的研究，因?yàn)椋@不僅涉及到了對庫恩理論的評價(jià)，而且也直接依賴于關(guān)于應(yīng)當(dāng)如何去從事數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）研究的基本思想。
正是從這樣的立場出發(fā)，Mehrtens提出：“盡管（數(shù)學(xué)中）存在有可以稱之為‘革命’或‘危機(jī)’的現(xiàn)象，我對這兩個(gè)概念持否定的態(tài)度，因?yàn)椋鼈儾⒉荒艹蔀闅v史研究的有利工具。”
當(dāng)然，上述的結(jié)論并不意味著Mehrtens對庫恩的理論持完全否定的態(tài)度；恰恰相反，Mehrtens明確地指出，庫恩所提出的“范式”和“科學(xué)共同體”這兩個(gè)概念對于數(shù)學(xué)史（和數(shù)學(xué)哲學(xué)）的研究有著十分重要的意義。Mehrtens寫道：“圍繞著科學(xué)共同體的社會(huì)學(xué)概念具有很大的解釋力量——在我看來——它們?yōu)閿?shù)學(xué)編年史提供了關(guān)鍵的概念。”
上述的批判態(tài)度和深入分析顯然表明了一種獨(dú)立研究的態(tài)度，從而，與簡單的推廣或移植相比，這就是一種真正的進(jìn)步。作為這種進(jìn)步的又一實(shí)例，我們還可看基切爾（P.Kitcher）的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究。
一般地說，基切爾在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的工作主要就是將庫恩的科學(xué)哲學(xué)理論推廣應(yīng)用到了數(shù)學(xué)之中，特別是，基切爾不僅由庫恩的理論中吸取了很多具體的成分，更吸取了一些重要的基本思想，即如關(guān)于科學(xué)活動(dòng)社會(huì)—文化性質(zhì)的分析等。另外，基切爾所主要關(guān)注的則是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的合理性問題。例如，正是從這一立場出發(fā)，基切爾首先考察了什么是數(shù)學(xué)變化的基本單位。基切爾寫道：“一個(gè)首要的任務(wù)，就是應(yīng)當(dāng)以關(guān)于數(shù)學(xué)變化單位的更為精確的描述去取代關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)知識狀況’的模糊說法。這一問題與關(guān)注科學(xué)知識增長的哲學(xué)家們所面臨的問題在形式上是互相平行的。我認(rèn)為，在這兩種情形中，我們都應(yīng)借助于一個(gè)多元體，也即由多種不同成分所組成的實(shí)踐（practice）的變化，來理解知識的增長。”
在基切爾看來，后者事實(shí)上也就是庫恩的“范式”概念的主要涵義。然而，基切爾在此并沒有逐一地去尋找“范式”（或“專業(yè)質(zhì)基”）的各個(gè)成分（如“符號的一般化”、“模型”、“價(jià)值觀”、“范例”等）在數(shù)學(xué)中的對應(yīng)物，而是對“數(shù)學(xué)實(shí)踐（活動(dòng)）”的具體內(nèi)容作出了自己的獨(dú)立分析。基切爾提出，“我以為我們應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化，并把數(shù)學(xué)實(shí)踐看成是由以下五個(gè)成分所組成的：語言，所接受的命題，所接受的推理，被認(rèn)為是重要的問題，和元數(shù)學(xué)觀念。”顯然，這即是對庫恩基本思想的創(chuàng)造性應(yīng)用。
其次，基切爾又具體地指明了若干個(gè)這樣的條件，在滿足這些條件的情況下，數(shù)學(xué)實(shí)踐的變化可被看成是合理的。從而，這也就十分清楚地表明了在基切爾與庫恩之間所存在的一個(gè)重要區(qū)別：盡管前者從庫恩那里吸取了不少有益的思想，但他所采取的是理性主義、而并非是像庫恩那樣的非理性主義立場。這一轉(zhuǎn)變當(dāng)然也是批判性的立場和獨(dú)立思考的直接結(jié)果。
二、新方向上研究的共同特征
盡管在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家有著不同的研究背景和工作重點(diǎn)，在觀念上也可能具有一定的分歧和差異；但是，從整體上說，這些工作又有著明顯的共同點(diǎn)，后者事實(shí)上更為清楚地表明了來自科學(xué)哲學(xué)的重要影響。
1.對于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性的肯定
所謂數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性，就其原始的意義而言，即是對數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)同一性（analogy，或similarity）的確認(rèn)。這一認(rèn)識事實(shí)上構(gòu)成新方向上所有工作的共同出發(fā)點(diǎn)。
關(guān)于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)性的斷言顯然正是對于傳統(tǒng)觀念的直接否定，即數(shù)學(xué)知識不應(yīng)被看成無可懷疑的絕對真理，數(shù)學(xué)的發(fā)展也并非數(shù)學(xué)真理在數(shù)量上的簡單積累。從而，這也就如Echeverria等人所指出的，它將“數(shù)學(xué)從柏拉圖所置于的寶座上拉下來了。”
事實(shí)上，人們曾從各種不同的角度對數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的同一性進(jìn)行了論證。諸如奎因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）的“功能的同一性”，拉卡托斯的“方法論的同一性”，基切爾的“認(rèn)識論的同一性”，古德曼（N.Goodman）和托瑪茲克（T.Tymoczko）的“本體論的同一性”，A.Ibarra和T.Mormann的“結(jié)構(gòu)的同一性”，等等。另外，在筆者看來，對于經(jīng)驗(yàn)性的肯定事實(shí)上也可被看成關(guān)于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化觀念（這是在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家所普遍接受的）的一個(gè)直接結(jié)論。這就是說，如果數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣，最終都應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，并構(gòu)成了整個(gè)人類文化的一個(gè)有機(jī)組成成分，那么，數(shù)學(xué)的發(fā)展無疑就是一個(gè)包含有猜想與反駁、錯(cuò)誤與嘗試的復(fù)雜過程，而且，“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵與改變最終是由我們的實(shí)際利益與其它科學(xué)的認(rèn)識論目標(biāo)所決定的。”
其次，如果說數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性集中地反映了數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)的同一性，那么，對于數(shù)學(xué)擬經(jīng)驗(yàn)性（quasi-empirical）的強(qiáng)調(diào)則就突出地表明了數(shù)學(xué)的特殊性。
具體地說，我們在此所涉及的主要是這樣一個(gè)問題：除去在實(shí)際活動(dòng)中的成功應(yīng)用外，就數(shù)學(xué)理論而言，是否還存在其它的判斷標(biāo)準(zhǔn)？另外，擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀的核心就在于明確肯定了數(shù)學(xué)有自己特殊的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)，這就是新的研究工作對于數(shù)學(xué)自身的意義，即如其是否有利于已有問題的解決或方法的改進(jìn)等。顯然，后者事實(shí)上也就是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者真實(shí)態(tài)度的一個(gè)直接反映。例如，美國著名數(shù)學(xué)家麥克萊恩（S.MacLane）就曾這樣寫道：“數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的進(jìn)步包括兩個(gè)互補(bǔ)的方面：重要問題的解決以及對于所獲得結(jié)果的理解。”
由此可見，我們就應(yīng)同時(shí)肯定數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性和擬經(jīng)驗(yàn)性。顯然，就本文的論題而言，這事實(shí)上也就表明了：為了在數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究中取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，我們不僅應(yīng)當(dāng)保持頭腦的開放性，也即應(yīng)當(dāng)努力從科學(xué)哲學(xué)中吸取更多有益的思想、概念和問題，同時(shí)也應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)的特殊性，即在一定程度上保持?jǐn)?shù)學(xué)哲學(xué)的相對獨(dú)立性。
2.對于數(shù)學(xué)方法論的高度重視
理性主義與非理性主義的長期爭論無疑是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn)；與此相對照，理性主義的立場在數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中卻似乎沒有受到嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，但是，后者并不意味著現(xiàn)已存在某種為人們所普遍接受的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展合理性的理論，恰恰相反，后一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)還有待于長期的努力。
然而，在這一方面確已取得了一定的進(jìn)步，特別是，相對于早期的簡單“移植”而言，現(xiàn)今人們普遍地更加重視對那些源自科學(xué)哲學(xué)的概念、觀點(diǎn)和理論的分析和批判。例如，就庫恩的影響而言，人們現(xiàn)已認(rèn)識到，對于數(shù)學(xué)的社會(huì)—文化性質(zhì)的確認(rèn)，并不意味著我們必須采取相對主義或非理性主義的立場；另外，在肯定數(shù)學(xué)歷史發(fā)展合理性的同時(shí)，人們也認(rèn)識到了這種發(fā)展并不能簡單地被納入某一特定的模式。事實(shí)上，就如格拉斯（E.Glas）所指出的：“理性”本身也是一個(gè)歷史的概念：“‘理性’在一定程度上是社會(huì)化建構(gòu)的，……即包括有一個(gè)社會(huì)協(xié)商的過程。”從而，在此所需要的就是一種辯證的綜合。例如，正是從這樣的立場出發(fā)，格拉斯提出，我們應(yīng)對庫恩和拉卡托斯的理論進(jìn)行整合：“拉卡托斯的方法論立場至少應(yīng)當(dāng)用像庫恩那樣的社會(huì)和歷史的觀點(diǎn)予以補(bǔ)充和平衡。”
值得指出的是，這種整合的立場事實(shí)上也就是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的一個(gè)重要特點(diǎn)，特別是，這即是科學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域中所謂的“新歷史主義學(xué)派”所采取的一個(gè)基本立場：他們對先前的各種理論（包括理性主義與非理性主義）普遍地采取了批評的立場，并希望能通過對立理論的整合發(fā)展出關(guān)于科學(xué)發(fā)展合理性的新理論。從而，在這一方面我們也就可以看到科學(xué)哲學(xué)對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的重要影響。
艾斯帕瑞（W.Aspray）和基切爾這樣寫道：“……數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注與那些研究人類知識其它領(lǐng)域（特別是，自然科學(xué)）同一類型的問題。例如，哲學(xué)家們應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問題：數(shù)學(xué)知識是如何增長的？什么是數(shù)學(xué)進(jìn)步？是什么使得某一數(shù)學(xué)觀點(diǎn)（或理論）優(yōu)于其它的觀點(diǎn)（或理論）？什么是數(shù)學(xué)解釋？”特別是，“數(shù)學(xué)在其發(fā)展中是否遵循任何方法論的原則？”事實(shí)上，在艾斯帕瑞和基切爾看來，如何對數(shù)學(xué)方法論作出恰當(dāng)?shù)恼f明就構(gòu)成了在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的核心問題。顯然，這一立場也是與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于科學(xué)方法論的高度重視完全一致的。
3.對于數(shù)學(xué)史的強(qiáng)調(diào)
如眾所知，對于科學(xué)史的突出強(qiáng)調(diào)也是科學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的一個(gè)重要特征。正如克倫瓦（M.Crowe）所指出的：“在庫恩以前，科學(xué)哲學(xué)長期為邏輯實(shí)證主義所支配，后者認(rèn)為科學(xué)史是與他們的研究毫不相關(guān)的；但是，這種形勢現(xiàn)在已經(jīng)有了改變……科學(xué)哲學(xué)家們現(xiàn)已認(rèn)識到了歷史研究的重要性。”這就是說，“如果沒有給予科學(xué)史應(yīng)有的重視，科學(xué)性質(zhì)的分析就是不可能的。”科學(xué)哲學(xué)的上述變化對在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家也產(chǎn)生了極大的影響。例如，在以上所提及的各篇論文和著作中，歷史案例的分析都占據(jù)了十分重要的位置。可以說歷史方法事實(shí)上已成為數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)代研究的基本方法之一。
作為一種自覺的努力，我們在此還可特別提及以下的四部論文集：（1）由艾斯帕瑞和基切爾所編輯的HistoryandPhilsophyofModernMathematics（1988）；（2）由J.Echeverria等人所編輯的TheSpaceofMathematics:Philosophical,EpistemologicalandHistoricalExploration（1992）；（3）由吉利斯所編輯的RevolutioninMathematics（1992）；（4）由H.Breger和E.Grosholz編輯的TheGrowthofMathematicalKnowledge（即將出版）。
這些編輯者的一個(gè)共同特點(diǎn)是，他們不僅認(rèn)為數(shù)學(xué)方法論的任一理論都應(yīng)用歷史的案例加以檢驗(yàn)，而且更大力提倡數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)哲學(xué)家的密切合作，并認(rèn)為雙方都可以從這種合作中得益匪淺。例如，Breger和Grosholz在他們的序言中這樣寫道：“這一論文集源自編輯者的這樣一個(gè)信念，即數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要論題可以由哲學(xué)家與歷史學(xué)家的有組織對話得到啟示。……我們希望歷史的材料能在數(shù)學(xué)哲學(xué)家那里獲得更為深入和系統(tǒng)的應(yīng)用；同樣地，我們也希望哲學(xué)家由歷史所激發(fā)的思考能給歷史學(xué)家提供新的問題和思想。”顯然，這種態(tài)度與傳統(tǒng)的把數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史絕對地分割開來的作法是截然相反的。
最后，我們在此還可提及所謂的“奠基于數(shù)學(xué)史之上的數(shù)學(xué)哲學(xué)”。具體地說，相關(guān)的數(shù)學(xué)哲學(xué)家在此所希望的就是能發(fā)展出關(guān)于數(shù)學(xué)知識的這樣一種理論，它能正確地反映數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，即“現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識是由初始的狀態(tài)經(jīng)由一系列的合理轉(zhuǎn)變得以形成的”（基切爾語）。顯然，按照這樣的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要性就得到了進(jìn)一步的強(qiáng)化：正是前者為數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究提供了基本的素材和最終的檢驗(yàn)。這也就是說，“數(shù)學(xué)史對于數(shù)學(xué)哲學(xué)來說，不僅不是無關(guān)的，并事實(shí)上占有核心的地位。”
4.實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”
應(yīng)當(dāng)指出，對于數(shù)學(xué)史的高度重視不僅直接涉及到了數(shù)學(xué)方法論的研究，而且也標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)研究立場的重要轉(zhuǎn)變。在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家們幾乎一致地認(rèn)為，實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)哲學(xué)理論研究的出發(fā)點(diǎn)和最終依據(jù)。“哲學(xué)沒有任何理由可以繼續(xù)無視實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)。事實(shí)上，正是這種實(shí)踐應(yīng)當(dāng)為數(shù)學(xué)哲學(xué)提供問題及其解決所需要的素材。”
當(dāng)然，上述的轉(zhuǎn)變直接反映了實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的心聲。這也就如麥克萊恩所指出的：“數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在對于這一領(lǐng)域（按指數(shù)學(xué)）中所實(shí)際發(fā)生的一切的仔細(xì)觀察之上。”
最后，值得指出的是，艾斯帕瑞和基切爾并曾從這樣的角度對數(shù)學(xué)方法論研究的意義進(jìn)行了分析。他們這樣寫道：“如果我們具有了這樣的原則，歷史學(xué)家就可以此為依據(jù)對實(shí)際歷史與理想狀況之間的差距作出研究，從而發(fā)現(xiàn)這樣的有趣情況，在其間由于某些外部力量造成了對于方法論的偏離。另外，數(shù)學(xué)家們則可能會(huì)發(fā)現(xiàn)以下的研究具有一定的啟示意義，即他們所選擇的研究領(lǐng)域是如何由過去的數(shù)學(xué)演變而生成的，某些方法論的原則又如何在核心概念的更新中始終發(fā)揮了特別重要的作用。并非言過其實(shí)的是，這些答案……—還可能對數(shù)學(xué)家關(guān)于各種研究途徑合理性及某些觀念意義的爭論起到一定的啟發(fā)作用。”顯然，這一認(rèn)識與現(xiàn)代科學(xué)哲學(xué)中對于方法論的強(qiáng)調(diào)是完全一致的。
三、數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命
從整體上說，與先前的基礎(chǔ)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)相比，新方向上的研究無論就基本的數(shù)學(xué)觀，或是就研究問題、研究方法和基本的研究立場而言，都已發(fā)生了十分重要的變化。我們就可以說，數(shù)學(xué)哲學(xué)已經(jīng)歷了一場深刻的革命。
1.研究立場的轉(zhuǎn)移，即由與實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的嚴(yán)重分離轉(zhuǎn)移到了與它的密切結(jié)合。
由于深深地沉溺于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的疑慮或不安，因此，邏輯主義等學(xué)派在基礎(chǔ)研究中普遍地采取了“批判和改造”的立場，即都認(rèn)為應(yīng)當(dāng)對已有的數(shù)學(xué)理論和方法進(jìn)行嚴(yán)格的批判或?qū)彶椋⑼ㄟ^改造或重建以徹底解決數(shù)學(xué)的可靠性問題。從而，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是一種規(guī)范性的研究，而也正因?yàn)榇耍A(chǔ)研究在整體上就暴露出了嚴(yán)重脫離實(shí)際數(shù)學(xué)活動(dòng)的弊病。
與此相對照，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家普遍采取了相反的立場，即是認(rèn)為數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)當(dāng)成為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者的“活的哲學(xué)”，也即應(yīng)當(dāng)“真實(shí)地反映當(dāng)我們使用、講授、發(fā)現(xiàn)或發(fā)明數(shù)學(xué)時(shí)所作的事”（赫斯語）。顯然，基本立場的上述轉(zhuǎn)移事實(shí)上也就意味著數(shù)學(xué)哲學(xué)性質(zhì)的重要改變：這已不再是實(shí)際數(shù)學(xué)工作者所必須遵循的某些先驗(yàn)的、絕對的教條。
2.對于數(shù)學(xué)史的高度重視。
由于邏輯主義等學(xué)派所關(guān)注的主要是數(shù)學(xué)的邏輯重建，因此，在這些學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的真實(shí)歷史就不具有任何的重要性，或者說即是與數(shù)學(xué)的哲學(xué)分析完全不相干的，而數(shù)學(xué)哲學(xué)家所唯一應(yīng)當(dāng)重視的則就是邏輯分析的方法。
與基礎(chǔ)主義者的上述作法相對立，在新方向上工作的數(shù)學(xué)哲學(xué)家則普遍地對數(shù)學(xué)史給予了高度的重視。例如，這就正如Echeverria等人所指出的：“對于數(shù)學(xué)活動(dòng)的歷史和社會(huì)層面的關(guān)注清楚地表明了‘新’的數(shù)學(xué)哲學(xué)與傳統(tǒng)的新弗雷格主義傾向的區(qū)別，而后者在本世紀(jì)前半葉曾在這一學(xué)科中占據(jù)支配的地位。”顯然，這事實(shí)上也就可以被看成上述的基本立場的一個(gè)直接表現(xiàn)。
更為一般地說，人們并逐步確立了這樣的認(rèn)識：“沒有數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)哲學(xué)是空洞的；沒有數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)史是盲目的。”（拉卡托斯語）這不僅標(biāo)志著方法論的重要變革，而且也為深入開展數(shù)學(xué)哲學(xué)（和數(shù)學(xué)史）的研究指明了努力的方向。
3.研究問題的轉(zhuǎn)移。
由于對已有的數(shù)學(xué)理論和方法可靠性的極大憂慮構(gòu)成了邏輯主義等學(xué)派的基礎(chǔ)研究工作的共同出發(fā)點(diǎn)，因此，基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)主要地就是圍繞所謂的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”展開的。這也就是指：如何為數(shù)學(xué)奠定可靠的基礎(chǔ)，從而徹底地解決數(shù)學(xué)的可靠性問題？
與此相對照，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)家一般不再關(guān)心數(shù)學(xué)的可靠性問題，而這事實(shí)上也就是數(shù)學(xué)工作者實(shí)際態(tài)度的直接反映。這就正如斯坦納（M.Steiner）等人所指出的，這是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個(gè)明顯和無可辯駁的出發(fā)點(diǎn)，即人們具有一定的數(shù)學(xué)知識，這些數(shù)學(xué)知識并已獲得了證實(shí)，從而就是可靠的。
對于力圖為實(shí)際數(shù)學(xué)工作者建立“活的哲學(xué)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)家來說，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的核心問題無疑就在于：如何對數(shù)學(xué)（活動(dòng)）作出合理的解釋？托瑪茲克說：“數(shù)學(xué)哲學(xué)始于這樣的思考，即是如何為數(shù)學(xué)提供一般的解釋，也即提供一種能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特性并對人們?nèi)绾文軌驈氖聰?shù)學(xué)活動(dòng)作出解釋的綜合觀點(diǎn)。”顯然，這也就表明了，方法論的問題何以會(huì)在數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代研究中占據(jù)特別重要的位置。
4.動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀對于靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀的取代。
盡管邏輯主義等學(xué)派對什么是數(shù)學(xué)的最終基礎(chǔ)有著不同的看法，但是，從總體上說，他們所體現(xiàn)的又都可以說是一種靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀，因?yàn)椋麄兌枷Ｍ芡ㄟ^自己的工作為數(shù)學(xué)奠定一個(gè)“永恒的、可靠的基礎(chǔ)”，這樣，數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展也就可以被看成無可懷疑的真理在數(shù)量上的單純積累。
如果說靜態(tài)的、絕對主義的數(shù)學(xué)觀在基礎(chǔ)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)的地位，那么，由于把著眼點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了實(shí)際的數(shù)學(xué)活動(dòng)，人們現(xiàn)已不再把數(shù)學(xué)的發(fā)展看成是無可懷疑的真理在數(shù)量上的簡單積累；與此相反，作為人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，數(shù)學(xué)發(fā)展顯然是一個(gè)包含有猜測、錯(cuò)誤和嘗試、證明和反駁、檢驗(yàn)與改進(jìn)的復(fù)雜過程，并依賴于個(gè)體與群體的共同努力。從而，這種動(dòng)態(tài)的、經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀就已逐漸取代傳統(tǒng)的靜態(tài)的和絕對主義的數(shù)學(xué)觀在這一領(lǐng)域中占據(jù)了主導(dǎo)的地位。
綜上可見，相對于基礎(chǔ)主義而言，現(xiàn)代的數(shù)學(xué)哲學(xué)無論就研究問題、研究方法，或是就研究的基本立場和主要觀念而言，都已發(fā)生了質(zhì)的變化。因而，我們可以明確地?cái)嘌裕涸跀?shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)展中已經(jīng)發(fā)生了革命性的變化。由于所有這些變化都與來自科學(xué)哲學(xué)的影響有著十分緊密的聯(lián)系，因此，這也就最為清楚地表明了這種影響對于數(shù)學(xué)哲學(xué)現(xiàn)展的特殊重要性。
【參考文獻(xiàn)】
1.M.Hallett,"TowardsaTheoryofMathematicalResearchProgrammes",inTheBritishJournalforPhilosophyofScience,30[1979],p.2
2.H.Mehrtens,"T.Kuhn''''sTheoriesandMathematics:aDiscussionpaperonthe‘NewHistoriography’ofMathematics",inHistoriaMathematica,3[1976],p.301,305,312
篇3
二、“開門造車”，注重方法
在學(xué)習(xí)方法方面，女生比較注重基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)較扎實(shí)，喜歡做基礎(chǔ)題，但解綜合題的能力較差，更不愿解難題；女生上課記筆記，復(fù)習(xí)時(shí)喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽講和能力訓(xùn)練；女生注重條理化和規(guī)范化，按部就班，但適應(yīng)性和創(chuàng)新意識較差．因此，教師要指導(dǎo)女生“開門造車”，讓她們暴露學(xué)習(xí)中的問題，有針對地指導(dǎo)聽課，強(qiáng)化雙基訓(xùn)練，對綜合能力要求較高的問題，指導(dǎo)她們學(xué)會(huì)利用等價(jià)轉(zhuǎn)換、類比、化歸等數(shù)學(xué)思想，將問題轉(zhuǎn)化為若干基礎(chǔ)問題，還可以組織她們學(xué)習(xí)他人成功的經(jīng)驗(yàn)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，逐步提高能力．
三、“笨鳥先飛”，強(qiáng)化預(yù)習(xí)
女生受生理、心理等因素影響，對知識的理解、應(yīng)用能力相對要差一些，對問題的反應(yīng)速度也慢一些．因此，要提高課堂學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)能力，課前的預(yù)習(xí)至關(guān)重要．教學(xué)中，要有針對性地指導(dǎo)女生課前的預(yù)習(xí)，可以編制預(yù)習(xí)提綱，對抽象的概念、邏輯性較強(qiáng)的推理、空間想象能力及數(shù)形結(jié)合能力要求較高的內(nèi)容，要求通過預(yù)習(xí)有一定的了解，便于聽課時(shí)有的放矢，易于突破難點(diǎn)．認(rèn)真預(yù)習(xí)，還可以改變心理狀態(tài)，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)參與．因此，要求女生強(qiáng)化課前預(yù)習(xí)，“笨鳥先飛”．
四、“固本扶元”，落實(shí)“雙基”
女生數(shù)學(xué)能力差，主要表現(xiàn)在對基本技能的理解、掌握和應(yīng)用上．只有在鞏固基礎(chǔ)知識和掌握基本技能的前提下，才能提高女生的綜合能力．因此，教師要加強(qiáng)對舊知識的復(fù)習(xí)和基本技能的訓(xùn)練，結(jié)合講授新課組織復(fù)習(xí)；也可以通過基礎(chǔ)知識的訓(xùn)練，使學(xué)生對已學(xué)的知識進(jìn)行鞏固和提高，使他們具備學(xué)習(xí)新知識所必需的基本能力，從而對新知識的學(xué)習(xí)和掌握起到促進(jìn)作用．
五、“揚(yáng)長補(bǔ)短”，增加自信
篇4
這是一種進(jìn)行綜合、概括的思維形式。如上例，教師亦可以用幾種不同的敘述方法提出幾個(gè)問題，讓學(xué)生歸納出16—10的算式來。此外，還可以通過一些異中有同的習(xí)題來訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括思維能力。如：
①甲乙兩人接到加工54只零件任務(wù)，甲每天加工10只，乙每天加工8只，幾天后完成任務(wù)？
②一件工程，甲獨(dú)做10天完成，乙獨(dú)做15天完成，兩人合作幾天完成？
像這些形異質(zhì)同的問題，要引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出：工作總量÷工作效率=工作時(shí)間。只有這樣，學(xué)生才能以不變應(yīng)萬變，解一題會(huì)多題，可以起到減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的作用。
3.遞進(jìn)型
這是一種屬于邏輯判斷、推理的思維形式。例如，教師在講授“已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。”一類題時(shí)，叮以引導(dǎo)學(xué)生用已掌握的“已知一個(gè)數(shù)幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)”的解題規(guī)律去進(jìn)行邏輯推理，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)新出現(xiàn)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律。教師不要越俎代皰，否則吃力不討好，反而妨礙了學(xué)生思維能力的提高。
4.逆反型
這是一種敢于和善于突破習(xí)慣性思維束縛的反向思維形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可供訓(xùn)練的材料比比皆是，如加減、乘除、通分約分、正反比例等，問題是教師如何善于運(yùn)用它。如教驗(yàn)算時(shí)，16-10=6，學(xué)生習(xí)慣地用16-6=10來驗(yàn)算，這時(shí)教師可啟發(fā)學(xué)生用6＋10=16來驗(yàn)算。經(jīng)過訓(xùn)練，學(xué)生便可知道用加法驗(yàn)算減法、用減法驗(yàn)算加法、用乘法驗(yàn)算除法、用除法驗(yàn)算乘法了。
5.激化型
這是一種跳躍性、活潑性、轉(zhuǎn)移性很強(qiáng)的思維形式。教師可通過速問速答來訓(xùn)練練學(xué)生。如問：3個(gè)5相加是多少？學(xué)生答：5＋5＋5=15或5×3=15。教師又問：3個(gè)5相乘是多少？學(xué)生答：5×5×5=125。緊接著問：3與5相乘是多少？學(xué)上答：3×5=15，或5×3=15。通過這樣的速問速答的訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維越來越活躍，越來越靈活，越來越準(zhǔn)確。
6.類比型
這是一種對并列事物相似性的個(gè)同實(shí)質(zhì)進(jìn)行識別的思維形式。這項(xiàng)訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。如：
①金湖糧店運(yùn)來大米6噸。比運(yùn)來的面粉少1/4噸、運(yùn)來面粉多少噸？
②金湖糧店運(yùn)來大米6噸，比運(yùn)來的面粉少1/4，運(yùn)來面粉多少噸？
以上兩題，雖然相似，實(shí)質(zhì)不同，一字之差，解法全異，可以點(diǎn)撥學(xué)生自己辨析。通過訓(xùn)練，學(xué)生今后碰到類似的問題便會(huì)仔細(xì)推敲，這樣就大大地提高了解題的準(zhǔn)確性。
7.轉(zhuǎn)化型
這是解決問題遇到障礙受阻時(shí)把問題由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，使問題變得更簡單、更清楚，以利解決的思維形式。在教學(xué)中，通過該項(xiàng)訓(xùn)練，可以大幅度地提高學(xué)生解題能力。如：某一賣魚者規(guī)定，凡買魚的人必須買筐中魚的一半再加半條。照這樣賣法，4人買了后，筐中魚盡，問筐中原有魚多少條？該題對一些沒有受過轉(zhuǎn)化思維訓(xùn)練的學(xué)生來說，會(huì)感到一籌莫展。即使基礎(chǔ)較好的學(xué)生也只能復(fù)雜的方程。
但經(jīng)過轉(zhuǎn)化思維訓(xùn)練后，學(xué)生就變得聰明起來了，他們知道把買魚人轉(zhuǎn)換成1人，顯然魚1條；然后轉(zhuǎn)換成2人，則魚有3條；再3人，則7條；再4人，則15條。
8.系統(tǒng)型
篇5
通常認(rèn)為數(shù)學(xué)思想包括方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和公理化思想等。這些都是對數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通過概括而獲得的認(rèn)識成果。既然是認(rèn)識就會(huì)有不同的見解，不同的看法。實(shí)際上也確實(shí)如此，例如，有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教材可以用集合思想作主線來編寫，有人認(rèn)為以函數(shù)思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容更有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果，還有人認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容應(yīng)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想來處理等等。盡管看法各異，但筆者認(rèn)為，只要是在充分分析、歸納概括數(shù)學(xué)材料的基礎(chǔ)上來論述數(shù)學(xué)思想，那么所得的結(jié)論總是可能做到并行不悖、互為補(bǔ)充的，總是能在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中起到積極的促進(jìn)作用的。
關(guān)于這個(gè)概念的外延，從量的方面講有宏觀、中觀和微觀之分。
屬于宏觀的，有數(shù)學(xué)觀(數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本能和特征、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系)，數(shù)學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識論、方法論價(jià)值等；屬于中觀的，有關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)部各個(gè)部門之間的分流的原因與結(jié)果，各個(gè)分支發(fā)展過程中積淀下來的內(nèi)容上的對立與統(tǒng)一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀結(jié)構(gòu)的，則包含著對各個(gè)分支及各種體系結(jié)構(gòu)定內(nèi)容和方法的認(rèn)識，包括對所創(chuàng)立的新概念、新模型、新方法和新理論的認(rèn)識。
從質(zhì)的方面說，還可分成表層認(rèn)識與深層認(rèn)識、片面認(rèn)識與完全認(rèn)識、局部認(rèn)識與全面認(rèn)識、孤立認(rèn)識與整體認(rèn)識、靜態(tài)認(rèn)識與動(dòng)態(tài)認(rèn)識、唯心認(rèn)識與唯物認(rèn)識、謬誤認(rèn)識和正確認(rèn)識等。
二、數(shù)學(xué)思想的特性和作用
數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類對數(shù)學(xué)及其研究對象，對數(shù)學(xué)知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性的認(rèn)識。它表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)對象的開拓之中，表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)模型的分析與概括之中，還表現(xiàn)在新的數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數(shù)學(xué)思想凝聚成數(shù)學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)成數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)。在這個(gè)系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思想起著統(tǒng)帥的作用。
(二)數(shù)學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數(shù)學(xué)思想，是從眾多的具體的個(gè)性中抽取出來且對個(gè)性具有普遍指導(dǎo)意義的共性。它比某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高。現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的運(yùn)動(dòng)和變化、相輔相成、對立統(tǒng)一等“事實(shí)”，都可作為數(shù)學(xué)思想進(jìn)行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀和方法論。
(三)數(shù)學(xué)思想富有創(chuàng)造性
借助于分析與歸納、類比與聯(lián)想、猜想與驗(yàn)證等手段，可以使本來較抽象的結(jié)構(gòu)獲得相對直觀的形象的解釋，能使一些看似無處著手的問題轉(zhuǎn)化成極具規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結(jié)構(gòu)變成或映射成另一種關(guān)系結(jié)構(gòu)，又可反演回來，于是復(fù)雜問題被簡單化了，不能解的問題的解找到了。如將著名的哥尼斯堡七橋問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題，便是典型的一例。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們在作這些探討時(shí)是很難的，是零零碎碎的，有時(shí)為了一個(gè)模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見，體會(huì)到創(chuàng)造的艱辛，發(fā)展頑強(qiáng)奮戰(zhàn)的個(gè)性，培養(yǎng)創(chuàng)造的精神。
三、數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”。根據(jù)這一要求，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須大力加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數(shù)學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構(gòu)成體系來看，整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)匯成了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條“河流”。一條是由具體的知識點(diǎn)構(gòu)成的易于被發(fā)現(xiàn)的“明河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價(jià)值的“暗河流”，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數(shù)學(xué)思想作靈魂，各種具體的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)才不再成為孤立的、零散的東西。因?yàn)閿?shù)學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(diǎn)(塊)凝結(jié)成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)，有了它，數(shù)學(xué)概念和命題才能活起來，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個(gè)有機(jī)的整體。可見，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的內(nèi)在形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動(dòng)力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數(shù)學(xué)思想這一主線，便能高屋建瓴，提挈教材進(jìn)行再創(chuàng)造，才能使教學(xué)見效快，收益大。
(二)數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想
筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)分三個(gè)層次進(jìn)行，這便是宏觀設(shè)計(jì)、微觀設(shè)計(jì)和情境設(shè)計(jì)。無論哪個(gè)層次上的設(shè)計(jì)，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認(rèn)識的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中去。這種設(shè)計(jì)不能只是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造。這就是說，一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)是歷史上數(shù)學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過程的模擬和簡縮。例如初中階段的函數(shù)概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡縮，也應(yīng)當(dāng)是滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想、使用現(xiàn)代手段實(shí)現(xiàn)的新的認(rèn)識過程。又如高中階段的函數(shù)概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的概括和延伸，這就需要搞清楚應(yīng)概括怎樣的共性，如何準(zhǔn)確地提出新問題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問題，都需要進(jìn)行預(yù)測和創(chuàng)造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數(shù)學(xué)思想作為指導(dǎo)。有了深刻的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能做出智慧熠爍的創(chuàng)新設(shè)計(jì)來，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造性的思維活動(dòng)來。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能適應(yīng)瞬息萬變的技術(shù)革命的要求。靠一貫如此設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)培養(yǎng)出來的人才，方能在21世紀(jì)的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數(shù)學(xué)思想性高的教學(xué)設(shè)計(jì)，是高質(zhì)量進(jìn)行教學(xué)的基本保證。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對的是幾十個(gè)學(xué)生，這幾十個(gè)智慧的頭腦會(huì)提出各種各樣的問題。隨著新技術(shù)手段的現(xiàn)代化，學(xué)生知識面的拓寬，他們提出的許多問題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問題，教師只有達(dá)到一定的思想深度，才能保證準(zhǔn)確辨別各種各樣問題的癥結(jié)，給出中肯的分析；才能恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用類比聯(lián)想，給出生動(dòng)的陳述，把抽象的問題形象化，復(fù)雜的問題簡單化；才能敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思想火花，找到閃光點(diǎn)并及時(shí)加以提煉升華，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行創(chuàng)造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，真正成為教學(xué)過程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設(shè)計(jì)，真正變成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程。
篇6
例2(湖北荊門市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,若用x，y表示矩形的長和寬(x＞y)，則下列關(guān)系式中不正確的是()
(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x＋y=144．
解析觀察拼圖3可發(fā)現(xiàn):大正方形的邊長是矩形的長和寬之和；小正方形的邊長是矩形的長和寬之差.由大正方形的面積是144可知其邊長是12,即x+y=12①；由小正方形的邊長是4可知其邊長是2,即x-y=2②,因此選項(xiàng)A和B的關(guān)系式均正確.解①、②得x=7,y=5.因此：xy=35,x＋y=74.所以答案為選擇D.
點(diǎn)評例1、例2的拼圖試題在教材中是具有相應(yīng)原型的，這里改編成中考試題可謂老樹發(fā)新枝。事實(shí)上學(xué)生若能認(rèn)真觀察圖形的本身特點(diǎn)進(jìn)而找到相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確解答并不是件難事。
2與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用.
例3(陜西省)如圖4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關(guān)系是．
解析此題中所求三個(gè)正方形的面積S1、S2、S3之間的關(guān)系實(shí)質(zhì)是求梯形ABCD的兩個(gè)腰長及上底邊邊長
三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來建立橋梁
作用.如圖5，分別過點(diǎn)
A、B做AEDC,BFDC,
垂足分別為E、F.設(shè)
梯形ABCD的高為h,
AB=a,DE=x,則DC=2a,FC=a-x.由于∠ADC+∠BCD=90°，可證得AED∽CFB，有h2=ax-x.S1=AD2=h2+x2=ax,S2=a2,S3=BC2=h2+(a－x)2=a2－ax.因此:S1+S3=S2.
例4(江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如圖6所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖7所示的方案二．（兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）
（1）請說明方案一不可行的理由；
（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．
解析(1)因?yàn)樯刃蜛BC的弧長＝×16×2π＝8π，因此圓的半徑應(yīng)為4cm．由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實(shí)際需要正方形紙片的對角線長為cm，由于，所以方案一不可行．
(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，則①,②,由①②，可解得，．故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．
點(diǎn)評將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識點(diǎn)較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的基本功，具有綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識的能力。
3與“動(dòng)點(diǎn)問題”相結(jié)合,注重考察學(xué)生對不變因素的探究能力.
例5(湖北武漢市)正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖8，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF＝CF．
(1)如圖9，若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PEPB且PE交CD于點(diǎn)E.
①求證：DF＝EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合），PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）
解析(1)①如圖11過點(diǎn)P做PHBC,垂足為點(diǎn)H,連接PD.此時(shí)四邊形PFCH為正方形.容易證出APB≌APD,推得∠BPC=∠DPC，進(jìn)一步可得∠BPH=∠DPF；由∠BPH+∠HPE=90°,∠EPF+∠HPE=90°，得∠BPH=∠EPF.因?yàn)镻EDC,可證得DF=FE.
②由EF+CE=PC得:DF=EF=PC－EC.因?yàn)镻F∥AD,有,將DF=PC－EC代入得:PC=PA+CE.
(2)連接PB、PD,做PFDC,PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長線上取一點(diǎn)E,使得PEPB.此時(shí)有結(jié)論①DF=EF成立.而結(jié)論②不成立,PC、PA、EC存在PA=PC+EC關(guān)系.證明與②類似,略.
點(diǎn)評動(dòng)點(diǎn)問題是中考熱點(diǎn)問題之一，它要求學(xué)生善于抓住運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律性和不變因素，把握運(yùn)動(dòng)與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無論動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上如何運(yùn)動(dòng),∠BPE是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.
4與對稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合,注重考察學(xué)生變換的數(shù)學(xué)思想.
例6（重慶市）如圖13，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合.展開后，折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，.連接GF.下列結(jié)論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③SAGD=SOGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正確結(jié)論的序號是.
解析由題意可知AED和FED關(guān)于ED所在的直線對稱,有AE=EF,AG=GF,∠ADE=∠FDE=∠ADB=22.5°.則∠AGD=180°－∠ADE－∠DAG=112.5°.由于易求得∠AGE=∠AEG=67.5°,則AE=AG.因而,AE=EF=FG=AG,四邊形AEFG是菱形.設(shè)AE=k,容易證得EFB和OGF均是等腰直角三角形，則EB=k,OG=k.因此EB=2OG.所以正確的結(jié)論是①、④、⑤，其余結(jié)論顯然不成立。
例7（黑龍江齊齊哈爾市）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M,N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖14），易證BM+DN=MN．
（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖15），線段BM,ND和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖16的位置時(shí)，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
解析(1)如圖17，把AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90°，得到ABE，則有DN=BE,∠EAM=∠MAN=45°.進(jìn)而可證得：AEM≌AMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.
(2)線段BM,ND和MN之間存在MN=DN－MB.
點(diǎn)評平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應(yīng)的邊、角均相等.巧妙的運(yùn)用變換的基本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢.
5與函數(shù)圖象相結(jié)合,注重考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.
例8（湖南長沙市）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）從M（1，0）出發(fā)，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點(diǎn)組成的正方形邊線（如圖18）按一定方向運(yùn)動(dòng)。圖19是P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s（個(gè)單位）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間（秒）之間的函數(shù)圖象，圖20是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s之間的函數(shù)圖象的一部分.
（1）s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：；
（2）與圖20相對應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是：；P點(diǎn)出發(fā)秒首次到達(dá)點(diǎn)B；
（3）寫出當(dāng)3≤s≤8時(shí)，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖16中補(bǔ)全函數(shù)圖象.
解析（1）圖19是正比例函數(shù)圖象，易求得s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=(t≥0)
（2）從圖20的函數(shù)圖象可以看出，動(dòng)點(diǎn)P的縱y在運(yùn)動(dòng)時(shí)隨時(shí)間t的增大開始時(shí)逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點(diǎn)在正方形的運(yùn)動(dòng)路徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達(dá)點(diǎn)B需要時(shí)間為10秒.
(3)結(jié)合圖18和圖20，分析可得，第1秒之前，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)D處運(yùn)動(dòng)；第1至3秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D向點(diǎn)A處運(yùn)動(dòng)；第3至5秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B處運(yùn)動(dòng)；第5至7秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C處運(yùn)動(dòng)；第7至8秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)M處運(yùn)動(dòng).時(shí)間段不同，函數(shù)關(guān)系不同，因此列分段函數(shù)為：當(dāng)3≤s＜5，y=4－s；當(dāng)5≤s＜7，y=－1；當(dāng)7≤s≤8，y=s－8．補(bǔ)全的函數(shù)圖象如圖21.
點(diǎn)評函數(shù)圖象問題是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)，在中考試卷中也往往作為具有一定區(qū)分度的題目出現(xiàn)。例8是一個(gè)分段函數(shù)問題，其關(guān)鍵是依據(jù)函數(shù)圖象弄清楚點(diǎn)P在正方形ABCD上的哪一段運(yùn)動(dòng),坐標(biāo)與時(shí)間、路程如何變化.
6與實(shí)際問題相結(jié)合,注重考察學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力.
例9（湖北荊門市）某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖21所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖22所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
(1)判斷圖22中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最省？
篇7
一．關(guān)于研究性學(xué)習(xí)
（一）研究性學(xué)習(xí)
研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生在老師指導(dǎo)下，在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活情境中，通過學(xué)生自主探究式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)，在攝取已有知識或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過同化、組合和探究，獲得新的知識、能力和態(tài)度，發(fā)展創(chuàng)新素質(zhì)的一種學(xué)習(xí)方式。研究性學(xué)習(xí)與社會(huì)實(shí)踐、社區(qū)服務(wù)、勞動(dòng)技術(shù)教育共同構(gòu)成“綜合實(shí)踐活動(dòng)”，作為必修課程列入《全日制普通高級中學(xué)課程計(jì)劃。
實(shí)施以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育，關(guān)鍵是改變教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。設(shè)置研究性學(xué)習(xí)的目的在于改變學(xué)生以單純地接受教師傳授知識為主的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，提供多渠道獲取知識、并將學(xué)到的知識加以綜合應(yīng)用于實(shí)踐的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。當(dāng)前，受傳統(tǒng)學(xué)科教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、時(shí)間和教學(xué)方式的局限，在學(xué)科教學(xué)中普遍地實(shí)施研究性學(xué)習(xí)尚有一定的困難。因此，將研究性學(xué)習(xí)作為一項(xiàng)特別設(shè)立的教學(xué)活動(dòng)作為必修課納入《全日制普通高級中學(xué)課程計(jì)劃(試驗(yàn)修訂稿)》，這將會(huì)逐步推進(jìn)研究性學(xué)習(xí)的開展，并從制度上保障這一活動(dòng)的深化，滿足學(xué)生在開放性的現(xiàn)實(shí)情境中主動(dòng)探索研究、獲得親身體驗(yàn)、培養(yǎng)解決實(shí)際問題能力的需要。
（二）研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)
研究性學(xué)習(xí)具有開放性、探究性和實(shí)踐性的特點(diǎn)，是師生共同探索新知的學(xué)習(xí)過程，是師生圍繞著解決問題共同完成研究內(nèi)容的確定、方法的選擇以及為解決問題相互合作和交流的過程。
1．開放性
研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)容不是特定的知識體系，而是來源于學(xué)生的學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活，立足于研究、解決學(xué)生關(guān)注的一些社會(huì)問題或其他問題，涉及的范圍很廣泛。它可能是某學(xué)科的，也可能是多學(xué)科綜合、交叉的;可能偏重于實(shí)踐方法，也可能偏重于理論研究方面。
在同一主題下，由于個(gè)人興趣、經(jīng)驗(yàn)和研究活動(dòng)的需要不同，研究視角的確定、研究目標(biāo)的定位、切人口的選擇、研究過程的設(shè)計(jì)、研究方法、手段的運(yùn)用以及結(jié)果的表達(dá)等可以各不相同，具有很大的靈活性，為學(xué)習(xí)者、指導(dǎo)者發(fā)揮個(gè)性特長和才能提供了廣闊的空間，從而形成一個(gè)開放的學(xué)習(xí)過程。
研究性學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在確定課題后，通過媒體、網(wǎng)絡(luò)、書刊等渠道，收集信息，加以篩選，開展社會(huì)調(diào)研，選用合理的研究方法，得出自己的結(jié)論，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識、科學(xué)精神和實(shí)踐能力，它的最大特點(diǎn)是教學(xué)的開放性。
（1）教學(xué)內(nèi)容是開放的。天文地理、古今中外，只要是學(xué)生感興趣的題目，并有一定的可行性，都可作為研究課題。
（2）教學(xué)空間是開放的。強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)活動(dòng)、體驗(yàn)的作用。學(xué)習(xí)地點(diǎn)不再限于教室、實(shí)驗(yàn)室和圖書館，要走出校門進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐；實(shí)地勘察取證、走訪專家、收集信息等等。
（3）學(xué)習(xí)方法、思維方式是開放的。針對不同目標(biāo)，選擇與之適應(yīng)的學(xué)習(xí)形式，如問題探討、課題設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)操作、社會(huì)調(diào)查等。要綜合運(yùn)用多門學(xué)科知識，分析問題、解決問題的能力增強(qiáng)了，思維方式從平面到立體，從單一到多元，從靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)，從被動(dòng)發(fā)展到主動(dòng)，從封閉到開放。
（4）收集信息的渠道是開放的。不是單純從課本和參考書獲取信息，而是從講座、因特網(wǎng)、媒體、人際交流等各種渠道收集信息。
（5）師生關(guān)系是開放的。學(xué)生在研究中始終處于主動(dòng)的地位，教師扮演著知道者、合作者、服務(wù)者的角色。提倡師生的辯論，鼓勵(lì)學(xué)生敢于否定。
2．探究性
在研究性學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)的內(nèi)容是在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生自主確定的研究課題:學(xué)習(xí)的方式不是被動(dòng)地記憶、理解教師傳授的知識，而是敏銳地發(fā)現(xiàn)問題，主動(dòng)地提出問題，積極地尋求解決問題的方法，探求結(jié)論的自主學(xué)習(xí)的過程。因此，研究性學(xué)習(xí)的課題，不宜由教師指定某個(gè)材料讓學(xué)生理解、記憶，而應(yīng)引導(dǎo)、歸納、呈現(xiàn)一些需要學(xué)習(xí)、探究的問題。這個(gè)問題可以由展示一個(gè)案例、介紹某些背景或創(chuàng)設(shè)一種情景引出，也可以直接提出。可以自教師提出，也可以引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出。要鼓勵(lì)學(xué)生自主探究解決問題的方法并自己得出結(jié)論。
3．實(shí)踐性
研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)理論與社會(huì)、科學(xué)和生活實(shí)際的聯(lián)系，特別關(guān)注環(huán)境問題、現(xiàn)代科技對當(dāng)代生活的影響以及社會(huì)發(fā)展密切相關(guān)的重大問題。要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，親身參與社會(huì)實(shí)踐性活動(dòng)。同時(shí)研究性學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)為學(xué)生參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)提供條件和可能。
（三）研究性學(xué)習(xí)的目標(biāo)
研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)對所學(xué)知識、技能的實(shí)際運(yùn)用，注重學(xué)習(xí)的過程和學(xué)生的實(shí)踐與體驗(yàn)。需要注重以下幾項(xiàng)具體目標(biāo):
1．獲取親身參與研究探索的體驗(yàn)
研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過自主參與類似于科學(xué)研究的學(xué)習(xí)活動(dòng)，獲得親身體驗(yàn)，逐步形成善于質(zhì)疑、樂于探究、勤于動(dòng)手、努力求知的積極態(tài)度，產(chǎn)生積極情感，激發(fā)他們探索、創(chuàng)新的欲望。
2．培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力
研究位學(xué)習(xí)通常圍繞一個(gè)需要解決的實(shí)際問題展開。在學(xué)習(xí)的過程中，通過引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)和提出問題，設(shè)計(jì)解決問題的方案，收集和分析資料，調(diào)查研究，得出結(jié)論并進(jìn)行成果交流活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)和掌握一些科學(xué)的研究方法，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。
3．培養(yǎng)收集、分析和利用信息的能力
研究性學(xué)習(xí)是一個(gè)開放的學(xué)習(xí)過程。在學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生圍繞研究主題主動(dòng)收集、加工處理和利用信息的能力是非常重要的。通過研究性學(xué)習(xí)，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)利用多種有效手段、通過多種途徑獲取信息，學(xué)會(huì)整理與歸納信息，學(xué)會(huì)判斷和識別信息的價(jià)值，并恰當(dāng)?shù)睦眯畔ⅲ耘囵B(yǎng)收集、分析和利用信息的能力。
4．學(xué)會(huì)分享與合作
合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)。研究位學(xué)習(xí)的開展將努力創(chuàng)設(shè)有利于人際溝通與合作的教育環(huán)境，使學(xué)生學(xué)會(huì)交流和分享研究的信息、創(chuàng)意及成果，發(fā)展樂于合作的團(tuán)隊(duì)精神。
5．培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德
在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生要認(rèn)真、踏實(shí)的探究，實(shí)事求是地獲得結(jié)論，尊重他人想法和成果，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和不斷追求的進(jìn)取精神，磨練不怕吃苦、勇于克服困難的意志品質(zhì)。
6．培養(yǎng)對社會(huì)的責(zé)任心和使命感
在研究性學(xué)習(xí)的過程中，通過社會(huì)實(shí)踐和調(diào)查研究，學(xué)生要深入了解科學(xué)對于自然、社會(huì)與人類的意義與價(jià)值，學(xué)會(huì)關(guān)心國家和社會(huì)的進(jìn)步，學(xué)會(huì)關(guān)注人類與環(huán)境和諧發(fā)展，形成積極的人生態(tài)度。
二、高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)
（一）數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)有機(jī)組成部分，是在基礎(chǔ)性、拓展性課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)的和現(xiàn)實(shí)的問題的一種有意義的主動(dòng)學(xué)習(xí)，是以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦主動(dòng)探索實(shí)踐和相互交流為主要學(xué)習(xí)方式的學(xué)習(xí)研究活動(dòng)。它能營造一個(gè)使學(xué)生勇于探索爭論和相互學(xué)習(xí)鼓勵(lì)的良好氛圍，給學(xué)生提供自主探索、合作學(xué)習(xí)、獨(dú)立獲取知識的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)更加關(guān)注學(xué)習(xí)過程。
用于數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的材料應(yīng)是建立在學(xué)生現(xiàn)有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，能夠激起學(xué)生解決問題的欲望，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法和應(yīng)用價(jià)值，有利于營造廣闊的思維活動(dòng)空間，使學(xué)生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料。
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的材料不僅僅是教師自己提供的，而且教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過思考、調(diào)查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情景提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提煉成研究性學(xué)習(xí)的材料。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)W(xué)生給予幫助，起著組織和引導(dǎo)的作用。
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評價(jià)不僅僅關(guān)心學(xué)習(xí)的結(jié)果，而且更重要的是關(guān)注學(xué)生參與學(xué)習(xí)的程度、思維的深度與廣度，學(xué)生獲得了哪些發(fā)展，并且特別注意學(xué)生有哪些創(chuàng)造性的見解，同時(shí)對學(xué)生的情感變化也應(yīng)予以注意。為了使評價(jià)能夠真實(shí)可靠，起到促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的目的，因此要充分尊重學(xué)生自己對自己的評價(jià)以及學(xué)生之間的相互評價(jià)。既要有定量的評價(jià)也要有定性的評價(jià)。
（二）數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題的選擇
數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題主要是指對某些數(shù)學(xué)問題的深入探討，或者從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。要充分體現(xiàn)學(xué)生的自主活動(dòng)和合作活動(dòng)。研究性學(xué)習(xí)課題應(yīng)以所學(xué)的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，并且密切結(jié)合生活和生產(chǎn)實(shí)際。新高中數(shù)學(xué)新教材將按《新大綱》的要求編入以下課題，供參考選用，當(dāng)然教學(xué)時(shí)也可由師生自擬課題。提倡教師和學(xué)生自己提出問題。
新高中數(shù)學(xué)新教材研究性學(xué)習(xí)參考課題有六個(gè)：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用，向量在物理中的應(yīng)用，線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)；楊輝三角，定積分在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用。其教學(xué)目標(biāo)是：（1）學(xué)會(huì)提出問題和明確探究方向；（2）體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程；（3）培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力；（4）以研究報(bào)告或小論文等形式反映研究成果，學(xué)會(huì)交流。
（三）數(shù)學(xué)開放題與研究性學(xué)習(xí)
研究性學(xué)習(xí)的開展需要有合適的載體，即使是學(xué)生提出的問題也要加以整理歸類。作為研究性學(xué)習(xí)的載體應(yīng)有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，有利于學(xué)生創(chuàng)造潛能的發(fā)揮。實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)開放題用于研究性學(xué)習(xí)是合適的。
自70年代日本、美國在中小學(xué)教學(xué)中較為普遍地使用數(shù)學(xué)開放題以來，數(shù)學(xué)開放題已逐漸被數(shù)學(xué)教育界認(rèn)為是最富有教育價(jià)值的一種數(shù)學(xué)問題，因?yàn)閿?shù)學(xué)開放題能夠激起學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，而強(qiáng)烈的求知欲望濃厚的學(xué)習(xí)興趣是創(chuàng)新能力發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力。80年代介紹到我國后，在國內(nèi)引起了廣泛的關(guān)注，各類刊物發(fā)表了大量的介紹、探討開放題的理論文章或進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)方面的文章，并形成了一個(gè)教育界討論研究的亮點(diǎn)。
高考命題專家也敏銳地覺察到開放題在考查學(xué)生創(chuàng)新能力方面的獨(dú)特作用，近幾年在全國和各地的高考試題中連續(xù)出現(xiàn)具有開放性的題目。例如高考數(shù)學(xué)題中，1993年的存在性問題，1994年的信息遷移題，1995年的結(jié)論探索性問題，1996的主觀試題客觀化，1997年填空題選擇化，1998的條件開放題，1999年的結(jié)論和條件探索開放。
數(shù)學(xué)開放題的常見題型，按命題要素的發(fā)散傾向分為條件開放型、方法開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型；按解題目標(biāo)的操作摸式分為規(guī)律探索型、量化設(shè)計(jì)型、分類討論型、數(shù)學(xué)建模型、問題探求型、情景研究型；按信息過程的訓(xùn)練價(jià)值分為信息遷移型、知識鞏固型、知識發(fā)散型；按問題答案的機(jī)構(gòu)類型分為有限可列型、有限混沌型、無限離散型、無限連續(xù)型。
數(shù)學(xué)開放題體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法，解答過程是探究的過程，數(shù)學(xué)開放題體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的形成過程，體現(xiàn)解答對象的實(shí)際狀態(tài)，數(shù)學(xué)開放題有利于為學(xué)生個(gè)別探索和準(zhǔn)確認(rèn)識自己提供時(shí)空，便于因材施教，可以用來培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功感，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美感。因此數(shù)學(xué)開放題用于學(xué)生研究性學(xué)習(xí)應(yīng)是十分有意義的。
（四）數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中開放題的編制方法
無論是改造陳題，還是自創(chuàng)新題，編制數(shù)學(xué)開放題都要圍繞使用開放題的目的進(jìn)行，開放題應(yīng)當(dāng)隨著使用目的和對象的變化而改變，應(yīng)作為常規(guī)問題的補(bǔ)充，在研究型課程中適合學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的開放題應(yīng)具備起點(diǎn)低、入口寬、可拓展性強(qiáng)的特點(diǎn)。
用于研究性學(xué)習(xí)的開放題盡量能有利于解題者充分利用自己已有的數(shù)學(xué)知識和能力解決問題。編制的開放題應(yīng)體現(xiàn)某一完整的數(shù)學(xué)思想方法，具有鮮明的數(shù)學(xué)特色，幫助解題者理解什么是數(shù)學(xué)，為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以及怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。開放題的編制不僅是教師的任務(wù)，它的編制本身也可以成為學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的一項(xiàng)內(nèi)容。
數(shù)學(xué)開放題的編制方法：
1.以一定的知識結(jié)構(gòu)為依托，從知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)尋找編制問題的切入點(diǎn)。能力是以知識為基礎(chǔ)的，但掌握知識并不一定具備能力，以一定的知識為背景，編制出開放題，面對實(shí)際問題情景，學(xué)生可以分析問題情景，根據(jù)自己的理解構(gòu)造具體的數(shù)學(xué)問題，然后嘗試求解形成的數(shù)學(xué)問題并完成解答.
2.以某一數(shù)學(xué)定理或公設(shè)為依據(jù)，編制開放題。數(shù)學(xué)中的定理或公設(shè)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要依據(jù)，中學(xué)生的學(xué)習(xí)特別是研究性學(xué)習(xí)常常是已有的定理并不需要學(xué)生掌握，或者是學(xué)生暫時(shí)還不知道，因此我們可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯栴}情景，讓學(xué)生進(jìn)行探究，通過自己的努力去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，體驗(yàn)研究的樂趣。
3.從封閉題出發(fā)引申出開放題。我們平時(shí)所用習(xí)題多是具有完備的條件和確定的答案，把它稱之為封閉題，在原有封閉性問題基礎(chǔ)上，使學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，發(fā)散開去，能夠啟發(fā)學(xué)生有獨(dú)創(chuàng)性的理解，就有可能形成開放題。在研究性學(xué)習(xí)中首先呈現(xiàn)給學(xué)生封閉題，解答完之后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，如探究更一般的結(jié)論，探究更多的情形，或探究該結(jié)論成立的其它條件等。
4．為體現(xiàn)或重現(xiàn)某一數(shù)學(xué)研究方法編制開放題。數(shù)學(xué)家的研究方法蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的某些研究，做小科學(xué)家，點(diǎn)燃埋藏在學(xué)生心靈深處的智慧火種。以此為著眼點(diǎn)編制開放題，其教育價(jià)值是不言而喻的。
5．以實(shí)際問題為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值編制開放題。在實(shí)際問題中，條件往往不能完全確定，即條件的不確定性是自然形成的或是實(shí)際需要，其不確定性是合理的。如包裝的外型，花圃的圖案，工程的圖紙這些是需要設(shè)計(jì)的，而由于考慮的角度不同，設(shè)計(jì)者的知識背景、價(jià)值判斷不同，得出的方案也會(huì)不同。
以實(shí)際問題為背景，編制出設(shè)計(jì)類型的開放題，用于研究性學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。第國際數(shù)學(xué)教育心理會(huì)議的公開課問題:“在一塊矩形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，要使花壇的面積為矩形面積的一半，請給出你的設(shè)計(jì)。”是一道公認(rèn)的開放題，花圃的圖案形狀沒有規(guī)定性的要求，解題者可以進(jìn)行豐富的想象，充分展示幾何圖形的應(yīng)用，這種以實(shí)際問題為背景編制的開放題往往有趣而富有吸引力。
將數(shù)學(xué)開放題作為數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的一種載體，首先必須有適合的問題，如何編制能夠用于研究性學(xué)習(xí)的開放題，這是值得研究的。在研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中，有充滿活力和創(chuàng)造力的學(xué)生的參與，必將促進(jìn)對這一問題認(rèn)識的深化和提高。
目前，“研究性學(xué)習(xí)”仍屬于初創(chuàng)、實(shí)驗(yàn)階段，還存在許多方面的問題，同時(shí)也給我們廣大教師提出了新的挑戰(zhàn)，讓我們共同走進(jìn)“研究性學(xué)習(xí)”吧！
參考文獻(xiàn)：
1、李建平、普通高中如何實(shí)施研究性學(xué)習(xí)、中國教育報(bào)，2001，5，31
2、李建平、研究，從這里起步、中國教育報(bào)，2001，3，23
篇8
一、從與概念有關(guān)的趣事引入
興趣可以喚起某種動(dòng)機(jī)，興趣可以培養(yǎng)人的意志，改變?nèi)说膽B(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。因此我們在備課時(shí)要充分挖掘知識的趣味因素，找一些有關(guān)本節(jié)概念的，易于理解的趣題作引例，牢牢抓住學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)其積極思維，使學(xué)生既對概念感興趣，又大致了解這個(gè)概念的知識用途。
舉例說明：介紹“點(diǎn)的軌跡”。老師事先準(zhǔn)備好一段麻繩和一個(gè)彩色小球，將彩球綁在麻繩的一端。教師從一進(jìn)教室可以邊走邊演示——彩色小球不停地旋轉(zhuǎn)。這樣一來，學(xué)生注意力一下子被吸引，并且表現(xiàn)出極大興趣。老師在講桌前站定后，便立即停止演示，隨后要求學(xué)生解釋剛才的現(xiàn)象。學(xué)生的思維被調(diào)動(dòng)起來。在對學(xué)生的解釋作出評價(jià)后，引出課題“點(diǎn)的軌道”然后引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活中常見的“點(diǎn)的軌道”現(xiàn)象給下定義。這樣，一個(gè)抽象的概念就在有趣的實(shí)驗(yàn)中得到充分的展示，學(xué)生對于點(diǎn)的軌跡也有了形象的理解。從實(shí)物引入概念，反映了概念的物質(zhì)性、現(xiàn)實(shí)性，符合認(rèn)識規(guī)律，給學(xué)生留下的印象比較深刻持久。
二、問題引入
波利亞說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟。先提出一個(gè)典型問題，讓學(xué)生動(dòng)腦思考，在問題的解決中引入概念，使得學(xué)生對概念的理解更加深入。
舉例說明：按比例分配的概念。在學(xué)習(xí)按比例分配時(shí)，老師可以提出這樣的問題：“同學(xué)們，今天老師帶了12個(gè)乒乓球作為禮物送給3個(gè)同學(xué)，應(yīng)該如何分配？”“平均分。”“假如把這12個(gè)乒乓球作為獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)給在運(yùn)動(dòng)會(huì)中獲得一二三等獎(jiǎng)的同學(xué)，又該如何分配呢？”在學(xué)生積極思考后，老師可以說：“其實(shí)，在我們的日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)等各項(xiàng)工作中，都會(huì)遇到很多不能平均分配的問題。例如，我們喝的酸奶中的水、牛奶、糖的成分會(huì)一樣多嗎？”由此就可以引出按照比例分配的概念，這樣使得學(xué)生在思考的過程中加深對概念的理解！
三、舊知引入
中國古典小說，在每章節(jié)末說，“要知后事如何？且聽下回分解”。在每回開頭“上回講到------且說-------。”短短的幾句話，承先啟后，銜接自然，使人看了上章想看下章，恨不得一口氣把這本書讀完。這種古老的說書技巧，也可以用來引入概念，使新舊概念自然街按，連為一體。
舉例說明：幾何概念的貫穿。在學(xué)習(xí)幾何知識時(shí)，按照一條線----二條線（平行與垂直）------三條線（三角形）-----四條線（四邊形）-----多于四條線（多邊形）-----圓這樣的結(jié)構(gòu)，且用數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系作支柱，隨著知識的增加，新知識不斷納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。比如還可以在已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念的基礎(chǔ)上引入“矩形”、“菱形”、“正方形”等等。利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，以定義的方式給出，讓學(xué)生主動(dòng)地與自己的頭腦中原有的知識相互聯(lián)系、相互作用，理解它的意義，從而獲得新概念。
四、聯(lián)系實(shí)際引入
新課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“數(shù)學(xué)教育應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，將數(shù)學(xué)與學(xué)生生活、學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，學(xué)習(xí)有活力的、活生生的數(shù)學(xué)”。那么，用生活中的實(shí)際例子來引入數(shù)學(xué)概念，聯(lián)系生活實(shí)際講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，把數(shù)學(xué)問題生活化，更有利于學(xué)生掌握和理解概念。
舉例說明：比例的意義與性質(zhì)。老師說：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比，在我們?nèi)梭w上有許多有趣的比。例如：拳頭滾動(dòng)一周的長度與腳的長度的比是1：1，身高和胸圍長度比大約是2：1。這些有趣的比作用非常大，比如你到商店去買襪子，只要將襪底在你的拳頭上繞一周，就會(huì)知道這雙襪子是否適合你穿。而這些奧秘是用比例知識來計(jì)算的，今天我們就來研究比例的意義和性質(zhì)。”老師選取一些生動(dòng)形象的實(shí)際例子來引入數(shù)學(xué)概念，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，又符合學(xué)生由感性到理性的認(rèn)識規(guī)律。
五、通過類比引入
根據(jù)新舊知識的連結(jié)點(diǎn)、相似點(diǎn)，采用類比的方法引入概念。數(shù)學(xué)有著嚴(yán)密的科學(xué)體系，數(shù)學(xué)知識的連貫性很強(qiáng)，多數(shù)概念都產(chǎn)生于或者發(fā)展與相應(yīng)的原有知識的基礎(chǔ)上，所以用類比引入新概念有利于學(xué)生在思維中將一定的知識和技能從已知的對象遷移到未知的對象上去，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)能力。
舉例說明：（1）類比“方程”和“不等式”：方程：含有未知數(shù)的等式；不等式：表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式不相等的算式。（2）類比“分?jǐn)?shù)”和“分式”：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分母表示把一個(gè)物體平均分成幾份,分子表示取了其中的幾份；分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式。這種方法導(dǎo)入自然，使學(xué)生能從類推中促進(jìn)知識的遷移，發(fā)現(xiàn)新知識，從而掌握新知識。
參考文獻(xiàn)
篇9
數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，這就決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的難度。所以，在課堂教學(xué)中開發(fā)學(xué)生大腦智力因數(shù)、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維更要求師生間有充分的交流與合作，因而，師生互動(dòng)也表現(xiàn)得更加突出。據(jù)我所知，多數(shù)數(shù)學(xué)老師在實(shí)踐中的互動(dòng)形式主要有：1.多提問，一堂課不間斷的提問，力求照顧到全體學(xué)生；2..多討論，老師講完一個(gè)問題后，讓學(xué)生分組討論，然后再指派或讓學(xué)生推舉代表發(fā)言。這兩種形式確實(shí)具有易掌控、易操作、有利于按時(shí)完成教學(xué)任務(wù)等優(yōu)點(diǎn)。但我認(rèn)為這并不是真正意義上的“互動(dòng)”。真正的“互動(dòng)”應(yīng)具備下列幾個(gè)要件：
一、師生互動(dòng)，首先要強(qiáng)調(diào)師生的平等。
師生平等，老師不是居高臨下的“說教者”，而是作為引導(dǎo)者，引導(dǎo)學(xué)生自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)。我們知道，教育作為人類重要的社會(huì)活動(dòng)，其本質(zhì)是人與人的交往。教學(xué)過程中的師生互動(dòng)，既體現(xiàn)了一般的人際之間的關(guān)系，又在教育的情景中“生產(chǎn)”著教育，推動(dòng)教育的發(fā)展。根據(jù)交往理論，交往是主體間的對話，主體間對話是在自主的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，而自主的前提是平等的參與。因?yàn)橹挥衅降葏⑴c，交往雙方才可能向?qū)Ψ匠ㄩ_精神，彼此接納，無拘無束地交流互動(dòng)。因此，實(shí)現(xiàn)真正意義上的師生互動(dòng)，首先應(yīng)是師生完全平等地參與到教學(xué)活動(dòng)中來。
應(yīng)該說，通過各種學(xué)習(xí)，尤其是課改理論的學(xué)習(xí)，我們的許多教師都逐步地樹立起了這種平等的意識。但是在實(shí)際問題當(dāng)中，師生之間不平等的情況仍然存在。教師聞道在先，術(shù)業(yè)專攻，是先知先覺，很容易在學(xué)生面前就有一種優(yōu)越感。年齡比學(xué)生大，見識比學(xué)生多，認(rèn)識比學(xué)生深刻，有時(shí)就很難傾聽學(xué)生那些還不那么成熟、幼稚，甚至錯(cuò)誤的意見。尤其是遇到一些不那么馴服聽話的孩子，師道的尊嚴(yán)就很難不表現(xiàn)出來。因此，師生平等地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，其實(shí)是比較難于做到的。
怎樣才有師生間真正的平等，這當(dāng)然需要教師們繼續(xù)學(xué)習(xí)，深切領(lǐng)悟，努力實(shí)踐。但師生間的平等并不是說到就可以做到的。如果我們的教師仍然是傳統(tǒng)的角色，采用傳統(tǒng)的方式教學(xué)，學(xué)生們?nèi)匀皇侵R的容器，那么，把師生平等的要求提千百遍，恐怕也是實(shí)現(xiàn)不了的。很難設(shè)想，一個(gè)高高在上的、充滿師道尊嚴(yán)意識的教師，會(huì)同學(xué)生一道，平等地參與到教學(xué)活動(dòng)中來。要知道，歷史上師道尊嚴(yán)并不是憑空產(chǎn)生的，它其實(shí)是維持傳統(tǒng)教學(xué)的客觀需要。這里必須指出的是，平等的地位，只能產(chǎn)生于平等的角色。只有當(dāng)教師的角色轉(zhuǎn)變了，才有可能在教學(xué)過程中，真正做到師生平等地參與。轉(zhuǎn)變教育觀念，改變學(xué)習(xí)方式，師生平等地參與到教學(xué)活動(dòng)中來，實(shí)現(xiàn)新課程的培養(yǎng)目標(biāo)，是這次課程改革實(shí)施過程中要完成的主要任務(wù)，這也正是綱要中提出師生積極互動(dòng)的深切含義。為什么我們要強(qiáng)調(diào)綱要提出的師生互動(dòng)絕不僅僅是一種教學(xué)方式或方法，其理由就在于此。
二、師生互動(dòng)，還應(yīng)該徹底改變師生的課堂角色，變“教”為“導(dǎo)”，變“接受”為“自學(xué)”。
課堂教學(xué)應(yīng)該是師生間共同協(xié)作的過程，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主陣地，也是師生互動(dòng)的直接體現(xiàn)，要求教師從已經(jīng)習(xí)慣了的傳統(tǒng)角色中走出來，從傳統(tǒng)教學(xué)中的知識傳授者，轉(zhuǎn)變成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與者、組織者、引導(dǎo)者。現(xiàn)代建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由每個(gè)學(xué)生依據(jù)自身已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地加以建構(gòu)；同時(shí)，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去論及自己的思想，與同學(xué)進(jìn)行充分的交流，學(xué)會(huì)如何去聆聽別人的意見并作出適當(dāng)?shù)脑u價(jià)，有利于促進(jìn)學(xué)生的自我意識和自我反省。從而，數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中教師的作用就不應(yīng)被看成“知識的授予者”，而應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)者、啟發(fā)者、質(zhì)疑者和示范者，充分發(fā)揮“導(dǎo)向”作用，真正體現(xiàn)“學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)”的教育思想。所以課堂教學(xué)過程的師生合作主要體現(xiàn)在如何充分發(fā)揮教師的“導(dǎo)學(xué)”和學(xué)生的“自學(xué)”上。
舉個(gè)例子，在初中幾何中，講圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖時(shí)，教師的“導(dǎo)學(xué)”可以從實(shí)驗(yàn)入手，實(shí)際操作或演示就可很快得出結(jié)論：圓錐側(cè)面展開圖是扇形，此扇形的弧長是圓錐的底面圓周長，扇形的半徑是圓錐的母線長。這種演示“導(dǎo)學(xué)”既直觀又能引起學(xué)生注意，學(xué)生非常容易接受這個(gè)知識點(diǎn)。在上述老師提示后，學(xué)生自己閱讀，找出本節(jié)的重點(diǎn)，新知點(diǎn)和難點(diǎn)，先自己利用已學(xué)知識嘗試解決，攻克疑難問題。這是學(xué)生“自學(xué)”的過程，在老師做了演示之后，再讓學(xué)生閱讀，自行解決課本中的例題和練習(xí)。有了“導(dǎo)學(xué)”的認(rèn)識，學(xué)生對本節(jié)課的知識點(diǎn)就相當(dāng)明確，“自學(xué)”的過程實(shí)際上是在運(yùn)用舊知識進(jìn)行求證的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維得以進(jìn)一步鍛煉的過程。所以，改變課堂教學(xué)的“傳遞式”課型，還課堂為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)陣地是師生雙邊活動(dòng)得以體現(xiàn)，師生互動(dòng)能否充分實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵。
總之，教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與者，平等地參與學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，必然導(dǎo)致新的、平等的師生關(guān)系的確立。我們教師要有充分的、清醒的認(rèn)識，從而自覺地、主動(dòng)地、積極地去實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)變。與此同時(shí)，我們也應(yīng)看到，這次課改，從課程的設(shè)置，教材的編寫，教學(xué)要求等許多方面，都為我們教師這種角色轉(zhuǎn)變，提供了很多有利的條件（其實(shí)不轉(zhuǎn)變角色已不能適應(yīng)新課程實(shí)施的要求了）。我們應(yīng)充分利用這些有利條件，在課改實(shí)驗(yàn)中，盡快完成這種轉(zhuǎn)變，以適應(yīng)新課程實(shí)施的要求。
三、創(chuàng)設(shè)問題情景，在教學(xué)過程中體現(xiàn)師生的合作與交流是“師生互動(dòng)”的直接表現(xiàn)
在教學(xué)過程中，師生之間的交流應(yīng)是“隨機(jī)”發(fā)生，而不一定要人為地設(shè)計(jì)出某個(gè)時(shí)間段老師講，某個(gè)時(shí)間段學(xué)生討論，也不一定是老師問學(xué)生答。即在課堂教學(xué)中，盡量創(chuàng)設(shè)寬松平等的教學(xué)環(huán)境，在教學(xué)語言上盡量用“激勵(lì)式”、“誘導(dǎo)式”語言點(diǎn)燃學(xué)生的思維火花，盡量創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生回答，提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維能力。例如，在教學(xué)“完全平方公式”時(shí)，可以這樣來進(jìn)行:
1.提出問題:(a+b)2=a2+b2成立嗎?
(顯然學(xué)生的回答有:成立、不成立、不一定成立等等)
2.引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算:
①(a+b)(a+b)=
②(m+n)(m+n)=
③(x+y)(x+y)=
④(c-d)(c-d)=
3.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)①算式的左邊就是完全平方式(a+b)2
②算式的結(jié)果形式是a2±2ab+b2
4.進(jìn)一步提出：能直接寫出結(jié)果嗎(a+1)2=?
這樣學(xué)生也就一下子明白了這個(gè)規(guī)律可以作為公式…
通過教師的誘導(dǎo)，學(xué)生的參與，使學(xué)生既認(rèn)識了完全平方公式的形成，對該公式的掌握也一定有很大的幫助，這種探索精神也勢必激勵(lì)學(xué)生去習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)能力。再如講授一元一次不等式的解法:
例1解不等式4(1+x)<x+13
解：去括號，得
4+4x<x+13
移項(xiàng)，得
4x-x<13-4
合并同類項(xiàng)，得
3x<9
不等式兩邊都除3，得x<3
“無問題”教學(xué)可以是照本宣科，學(xué)生很快便會(huì)“依葫蘆畫瓢”，不知“所以然”，當(dāng)然就難以有應(yīng)變思維了。“創(chuàng)設(shè)問題”教學(xué)，教師設(shè)計(jì)以下問題讓學(xué)生思考:
①不等式的結(jié)果(解集)的形式是怎樣的?
②結(jié)果(解集)的形式與原題的形式有哪些差異?
③如何消除這些差異?
學(xué)生有了問題，自然注意力集中，思維活躍……
在學(xué)習(xí)新內(nèi)容時(shí)，如果都能誘導(dǎo)分析，讓學(xué)生開動(dòng)腦筋，那么學(xué)生不但對知識理解深入，而且有利于他們創(chuàng)造思維的培養(yǎng)。如上例，學(xué)生弄清了去括號，移項(xiàng)等……是朝著解集的形式轉(zhuǎn)化的目的后，對于解不等式，也就能很清楚知道“第一步是去分母”了。這也就是我們所希望的創(chuàng)造思維能力所起的作用。
古人常說，功夫在詩外。教學(xué)也是如此，為了提高學(xué)術(shù)功底，我們必須在課外大量地讀書，認(rèn)真地思考；為了改善教學(xué)技巧，我們必須在備課的時(shí)候仔細(xì)推敲、精益求精；為了在課堂上達(dá)到“師生互動(dòng)”的效果，我們在課外就應(yīng)該花更多的時(shí)間和學(xué)生交流，放下架子和學(xué)生真正成為朋友。學(xué)術(shù)功底是根基，必須扎實(shí)牢靠，并不斷更新；教學(xué)技巧是手段，必須生動(dòng)活潑，直觀形象；師生互動(dòng)是平臺，必須師生雙方融洽和諧，平等對話。如果我們把學(xué)術(shù)功底、教學(xué)技巧和師生互動(dòng)三者結(jié)合起來，在實(shí)踐中不斷完善，逐步達(dá)到爐火純青的地步，那么我們的教學(xué)就是完美的，我們的教育就是成功的。
四、師生互動(dòng)，還應(yīng)該建立在師生間相互理解的基礎(chǔ)上。
教學(xué)過程中，師生互動(dòng)，看到的是一種雙邊（或多邊）交往活動(dòng)，教師提問，學(xué)生回答，教師指點(diǎn)，學(xué)生思考；學(xué)生提問，教師回答；共同探討問題，互相交流，互相傾聽、感悟、期待。這些活動(dòng)的實(shí)質(zhì)，是師生間相互的溝通，實(shí)現(xiàn)這種溝通，理解是基礎(chǔ)。
有人把理解稱為交往溝通的“生態(tài)條件”，這是不無道理的，因?yàn)槿伺c人之間的溝通，都是在相互理解的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。研究表明，學(xué)習(xí)活動(dòng)中，智力因素和情感因素是同時(shí)發(fā)生、交互作用的。它們共同組成學(xué)生學(xué)習(xí)心理的兩個(gè)不同方面，從不同角度對學(xué)習(xí)活動(dòng)施以重大影響。如果沒有情感因素的參與，學(xué)習(xí)活動(dòng)既不能發(fā)生也難以持久。情感因素在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的作用，在許多情況下超過智力因素的作用。因此，新課程實(shí)施中，情感因素和過程被提到一個(gè)新的高度來認(rèn)識。發(fā)展學(xué)生豐富的情感，是這次課程改革的目標(biāo)之一。可以這么說，增進(jìn)相互理解的過程，其實(shí)也是豐富、發(fā)展交往雙方情感因素的過程。
教學(xué)實(shí)踐顯示，教學(xué)活動(dòng)中最活躍的因素是師生間的關(guān)糸。師生之間、同學(xué)之間的友好關(guān)系是建立在互相切磋、相互幫助的基礎(chǔ)之上的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)有意識地提出一些學(xué)生感興趣的、并有一定深度的課題，組織學(xué)生開展討論，在師生互相切磋、共同研究中來增進(jìn)師生、同學(xué)之間的情誼，培養(yǎng)積極的情感。我們看到，許多優(yōu)秀的教師，他們的成功，很大程度上，是與學(xué)生建立起了一種非常融洽的關(guān)系，相互理解，彼此信任，情感相通，配合默契。教學(xué)活動(dòng)中，通過師生、生生、個(gè)體與群體的互動(dòng)，合作學(xué)習(xí)，真誠溝通。老師的一言一行，甚至一個(gè)眼神，一絲微笑，學(xué)生都心領(lǐng)神會(huì)。而學(xué)生的一舉一動(dòng)，甚至面部表情的些許變化，老師也能心明如鏡，知之甚深，真可謂心有靈犀一點(diǎn)通。這里的靈犀就是我們的老師在長期的教學(xué)活動(dòng)中，與學(xué)生建立起來的相互理解。
五、創(chuàng)設(shè)有利于師生互動(dòng)的教學(xué)方式及組織形式。
教學(xué)過程中要實(shí)現(xiàn)師生積極互動(dòng)，要求師生間有盡可能充分的交往活動(dòng)。目前，中學(xué)教學(xué)班的班額還普遍偏大（一般50多60人，有的甚至達(dá)70多人），要實(shí)現(xiàn)充分交往活動(dòng)是有很大難度的。因此，必須積極探索在現(xiàn)實(shí)條件下，有利于師生在教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)積極互動(dòng)的教學(xué)方式及組織形式。
在教學(xué)過程中，由于教師采用的教學(xué)方法不同，一般存在以下三種主要課型：
1、以講授法為主的課型；
2、以討論法為主的課型；
3、以探究——研討為主的課型。
第2、3兩種課型所形成的交流方式比較好，在新課程實(shí)施過程中，有許多課都采用了這兩種課型。這兩種課型極有利于形成師生、生生、個(gè)體與群體的互動(dòng)。
與這兩種課型適應(yīng)的教學(xué)組織形式有多種，但以小組為單位開展學(xué)習(xí)研究活動(dòng)有更多的優(yōu)越性。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，這種小組以4——6人為宜，全班不超過10個(gè)小組。小組內(nèi)成員輪流擔(dān)任組長，負(fù)責(zé)召集工作及充當(dāng)小組發(fā)言人。這種組織形式首先使小組內(nèi)生、生交流互動(dòng)比較充分。其次，因?yàn)槿巳硕家?dāng)組長，所以對組內(nèi)同學(xué)的意見、其他組同學(xué)的發(fā)言也都能注意地傾聽。由于代表組內(nèi)同學(xué)發(fā)言，主人公的意識也更強(qiáng)一些。每個(gè)組與老師的交流、對話也比較充分，較好地彌補(bǔ)了大班額條件下，師生、生生交往的不便，為互動(dòng)創(chuàng)設(shè)較好的條件，是目前條件下有利于師生積極互動(dòng)的一種比較好的教學(xué)組織形式。
文獻(xiàn)參考：
吳興長，《數(shù)學(xué)教學(xué)中非智力因素的培養(yǎng)》
北京教育行政學(xué)院，《教育心理學(xué)講座》
篇10
“沒有規(guī)矩，不成方圓。”小組合作也不例外。一般情況下的小組討論，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生未等其他學(xué)生發(fā)言，就把自己的意見說出來，這樣一來，那些學(xué)困生相當(dāng)于走了個(gè)形式，沒有經(jīng)過大腦思考便得到了現(xiàn)成的答案，結(jié)果，好的更好，差的更差。這時(shí)就需要教師事先作好安排，講清合作規(guī)則，使學(xué)生掌握必要的合作技能：包括如何傾聽別人的意見，在小組中如何開展討論，如何表達(dá)自己的見解，如何糾正他人的錯(cuò)誤，如何汲取他人的長處，如何歸納眾人的意見等。
因此，可在小組合作前這樣規(guī)定：討論前，小組成員先獨(dú)立思考，把想法記下來，再由小組長安排，各個(gè)成員各自說出自己的想法，其他人傾聽，然后討論，形成集體的意見后由記錄員將其整理出來。這樣，每個(gè)人都有了思考的機(jī)會(huì)和時(shí)間。
二、在合作中學(xué)會(huì)傾聽
在開始合作時(shí)，特別是低年級學(xué)生，具有個(gè)人心理優(yōu)勢，一節(jié)課注意力集中的時(shí)間過短，對于自己的發(fā)言比較認(rèn)真，不容易接納別人的意見，而對于同學(xué)的發(fā)言，卻不重視。為此，在課堂上要求學(xué)生學(xué)會(huì)三聽：一是認(rèn)真聽每位同學(xué)的發(fā)言，眼睛看著對方，要聽完整，認(rèn)真思辨，不插嘴；二是要聽別人的發(fā)言要點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生收集信息的能力；三是聽后須作思考，并做出判斷，提出自己的見解，提高學(xué)生反思、評價(jià)的能力。在這樣要求下訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反復(fù)琢磨、體會(huì)，善于傾聽同學(xué)意見，不隨意打斷別人發(fā)言，提供學(xué)生發(fā)表不同見解的空間，以達(dá)到相互啟迪、幫助的功效，學(xué)生不但養(yǎng)成了專心聽的習(xí)慣，調(diào)動(dòng)主動(dòng)參與的積極性，而且培養(yǎng)了學(xué)生相互尊重的品質(zhì)，能體會(huì)他人的情感，善于控制自己的情緒。
三、學(xué)會(huì)表達(dá)自己的觀點(diǎn)
語言表達(dá)是人與人交往的基礎(chǔ)，也是自己實(shí)際能力的一項(xiàng)重要指標(biāo)。合作學(xué)習(xí)需要每個(gè)成員清楚地表達(dá)自己的想法，互相了解對方的觀點(diǎn)。教師重點(diǎn)要對不會(huì)表達(dá)的學(xué)生有意識進(jìn)行示范指導(dǎo)，而全班匯報(bào)展示成果時(shí)，讓更多學(xué)生充分表達(dá)自己的見解，讓別人聽懂你的見解，不光是優(yōu)生要會(huì)表達(dá)、善表達(dá)，那些性格內(nèi)向，不善言辭的學(xué)生也要學(xué)會(huì)表達(dá)，整體提高學(xué)生的表達(dá)技能。為此，教師要深入到小組中，調(diào)動(dòng)這些學(xué)生的參與欲望，培養(yǎng)他們敢說的勇氣，把一些基礎(chǔ)較差、思維能力弱、不善言談的學(xué)生也有表現(xiàn)自我和獲得成功的機(jī)會(huì)。
因此，在教學(xué)中要有意識地提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生多表達(dá)自己的觀點(diǎn)，給學(xué)生的討論提供時(shí)間和空間，使學(xué)生敢說、會(huì)說，培養(yǎng)學(xué)生善于傾聽、思考、判斷、選擇和補(bǔ)充別人意見的好習(xí)慣，一旦發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)給予指點(diǎn)，使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)用語言準(zhǔn)確表達(dá)出自己的想法。
四、在合作中學(xué)會(huì)討論
討論交流是合作學(xué)習(xí)解決問題的關(guān)鍵。每個(gè)成員表達(dá)了自己的想法后，意見不統(tǒng)一、理解不一致時(shí)，這就需要通過討論、爭辯，達(dá)成共識，解決問題。教師指導(dǎo)時(shí)，按一定的步驟和方法進(jìn)行，讓不同層次的學(xué)生逐步學(xué)會(huì)討論交流問題的技能。合作學(xué)習(xí)中，學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，再通過共同討論、相互啟發(fā)，從而達(dá)到合作的目的。學(xué)生討論問題后，各組由一人匯報(bào)自學(xué)或獨(dú)立思考的內(nèi)容，其他成員必須認(rèn)真聽，并且有自己的補(bǔ)充和見解。最后，還應(yīng)將各自遇到的問題提供給全組成員討論，對達(dá)成共識和未能解決的問題分別歸納整理，得出正確的結(jié)論。通過這樣的討論，可以培養(yǎng)學(xué)生的思考、分析、判斷和表達(dá)能力。
五、在合作中學(xué)會(huì)組織
篇11
要從知識的形成過程出發(fā)，要貼近學(xué)生生活，要帶有激勵(lì)性和挑戰(zhàn)性。只有這樣，才能引發(fā)學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知過程和情感過程統(tǒng)一起來。
2.自主探究，建構(gòu)新知
“以學(xué)生的發(fā)展為本”是新課程理念的最高境界，要發(fā)展學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生能力，教師在教學(xué)過程中，始終把學(xué)生放在主體的位置，教師所做的備課、組織教學(xué)、教學(xué)目標(biāo)的確定、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)、教學(xué)方法的選用等等工作，都從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，要在課堂上最大限度地盡量地使學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦，極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，養(yǎng)成良好的自學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)刻苦鉆研精神。促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與、主動(dòng)探索、主動(dòng)思考、主動(dòng)實(shí)踐。如果創(chuàng)設(shè)的情境達(dá)到了前面的要求，那么學(xué)生會(huì)自然地產(chǎn)生一種探究的欲望。教師只要適當(dāng)?shù)亟M織引導(dǎo)，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自主地嘗試、操作、觀察、動(dòng)手、動(dòng)腦，完成探究活動(dòng)。因?yàn)閷W(xué)生是信息加工的主體，是意義的主動(dòng)建構(gòu)者，教師是學(xué)生意義建構(gòu)的幫助者、促進(jìn)者。
3.合作交流，完善認(rèn)知
篇12
|首頁|最新|語文|數(shù)學(xué)|英語|政治|物理|化學(xué)|歷史|地理|生物|音樂|體育|美術(shù)|科學(xué)|計(jì)算機(jī)|公文|
論文搜索：[熱門]素質(zhì)教育寫作總結(jié)說課計(jì)劃心得體會(huì)教案操行評語
首頁>>數(shù)學(xué)論文>>談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在素質(zhì)教育中的地位作用及其課堂教學(xué)
-
【加入收藏夾】【搜索相關(guān)的文章】【關(guān)閉窗口】
基礎(chǔ)教育由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，目前任務(wù)仍十分繁重。深化素質(zhì)教育，作為學(xué)校教育的各門學(xué)科，都應(yīng)當(dāng)緊緊圍繞素質(zhì)教育內(nèi)容對學(xué)生加以培育，以適應(yīng)跨世紀(jì)社會(huì)發(fā)展的需要。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科自然不能例外。從當(dāng)前實(shí)際出發(fā)，充分認(rèn)識小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在素質(zhì)教育中的地位作用，圍繞素質(zhì)教育提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率顯得尤為重要。
一、小學(xué)數(shù)學(xué)教育在素質(zhì)教育中的地位和作用
九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)大綱（試用）指出：“要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，對學(xué)生進(jìn)行學(xué)用的教育，愛祖國、愛社會(huì)主義、愛科學(xué)的教育，辯證唯物主義觀點(diǎn)的啟蒙教育。培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和獨(dú)立思考、克服困難的精神。”這就是說，小學(xué)數(shù)學(xué)，不只是傳授知識、培養(yǎng)能力和發(fā)展智力，還要體現(xiàn)社會(huì)主義教育性質(zhì)，體現(xiàn)素質(zhì)教育的目的。
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在素質(zhì)教育中的功能作用主要體現(xiàn)在以下幾方面：
1.培養(yǎng)邏輯思維能力。邏輯思維能力是指正確、合理思考的能力。即對事物進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力，采用科學(xué)的邏輯方法，準(zhǔn)確而有條理地表達(dá)自己思維過程的能力。邏輯思維能力不僅是學(xué)好數(shù)學(xué)必須具備的能力，也是學(xué)好其他學(xué)科，處理日常生活問題所必須的能力。數(shù)學(xué)是用數(shù)量關(guān)系（包括空間形式）反映客觀世界的一門學(xué)科，邏輯性很強(qiáng)、很嚴(yán)密，因此，在培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力方面小學(xué)數(shù)學(xué)具有優(yōu)越的條件和負(fù)有一定的責(zé)任。
2.開發(fā)非智力因素。人們形形、紛繁復(fù)雜的心理活動(dòng)，可以一分為二，即智力因素與非智力因素。智力因素由觀察力、記憶力、想象力、思維力與注意力五種基本因素組成；非智力因素包括的心理因素很多，從小學(xué)生搞好學(xué)習(xí)的角度說，它主要是由動(dòng)機(jī)、興趣、情感、意志和性格五種基本因素組成。非智力因素對學(xué)生的素質(zhì)發(fā)展起主導(dǎo)的作用。從心理活動(dòng)的穩(wěn)定性來看，研究與事實(shí)表明，人的智力因素是比較穩(wěn)定的，不會(huì)有多大的波動(dòng)。而非智力因素則不然，它很不穩(wěn)定，波動(dòng)性非常大。正因?yàn)槿绱耍谛W(xué)素質(zhì)教育中，開發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的非智力因素顯得尤為重要。而數(shù)學(xué)是一門集知識性、審美性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。知識性主要體現(xiàn)在解決實(shí)際問題上，它激發(fā)學(xué)生的求知欲，從而產(chǎn)生良好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；審美性，如數(shù)學(xué)語言與解題方法的簡潔美，幾何圖形的數(shù)字排列的對稱美，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與分式的統(tǒng)一美等等，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性；邏輯性則要求對學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的技能技巧訓(xùn)練，如仔細(xì)審題、認(rèn)真計(jì)算、書寫整潔、格式規(guī)范、自覺檢驗(yàn)、按時(shí)完成、正視錯(cuò)誤、主動(dòng)改正、不怕挫折等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、克服困難的學(xué)習(xí)精神和處理問題的韌勁。
3.啟蒙辯證唯物主義的觀點(diǎn)。在漫長的數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程中，人類積累了一整套數(shù)學(xué)的科學(xué)思維規(guī)律和處理問題的方法。這些規(guī)律和方法無不充滿辯證唯物主義思想。結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育例子很多。如通過學(xué)生實(shí)際操作、實(shí)例引進(jìn)數(shù)學(xué)知識或?qū)嶋H應(yīng)用，對學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐第一的觀點(diǎn)教育；通過多與少、加與減、已知與未知、精確與近似、直與曲……對學(xué)生進(jìn)行矛盾對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)教育；通過概念與概念之間、性質(zhì)與性質(zhì)之間，概念、性質(zhì)與法則之間，和數(shù)與式、數(shù)與形，數(shù)、形、式與應(yīng)用題之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系，對學(xué)生進(jìn)行對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系和發(fā)展觀點(diǎn)的教育；通過四則運(yùn)算、解答應(yīng)用題和幾何形體計(jì)算公式推導(dǎo)過程，對學(xué)生進(jìn)行矛盾轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)的教育。
4.進(jìn)行愛祖國、愛社會(huì)主義教育。我國是數(shù)學(xué)的故鄉(xiāng)之一，中華民族有光輝燦爛的數(shù)學(xué)史。小學(xué)數(shù)學(xué)課本中收入了許多生動(dòng)的素材，教師結(jié)合有關(guān)教學(xué)內(nèi)容，介紹我國數(shù)學(xué)家的杰出成就，介紹現(xiàn)代中國人對數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大貢獻(xiàn)，介紹我國數(shù)學(xué)家尤其是解放以來許多數(shù)學(xué)家為祖國建設(shè)事業(yè)奮斗的事跡，從而激發(fā)學(xué)生愛祖國、愛社會(huì)主義的熱情，培養(yǎng)學(xué)生立志獻(xiàn)身祖國建設(shè)事業(yè)而刻苦學(xué)習(xí)的精神。
5.培養(yǎng)科學(xué)文化素質(zhì)。九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容和教材，使學(xué)生具有進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計(jì)算能力；獲得有關(guān)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例基礎(chǔ)知識，常見的一些數(shù)量關(guān)系和解答應(yīng)用題的方法，用字母表示數(shù)、簡易方程、量與計(jì)量，簡單幾何圖形、珠算、統(tǒng)計(jì)的一些初步知識；發(fā)展學(xué)生初步的空間觀念，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法解決一些簡單的實(shí)際問題。
二、圍繞素質(zhì)教育提高小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率
實(shí)施素質(zhì)教育關(guān)鍵在課堂。數(shù)學(xué)課堂是實(shí)施素質(zhì)教育的主陣地。只有緊緊地圍繞素質(zhì)教育的目標(biāo)和要求，增強(qiáng)素質(zhì)教育的意識性、使命感和責(zé)任感，改進(jìn)陳舊的課堂教學(xué)方法、方式，才能提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的效率。
長期以來，受傳統(tǒng)的教學(xué)觀念的影響，重視應(yīng)試教育，忽視素質(zhì)教育，課堂教育過分地夸大教師的主導(dǎo)作用，忽視了學(xué)生的主體作用，課堂上該學(xué)生操作的老師代替了，該學(xué)生思考的老師講解了，老師包攬了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，嚴(yán)重扭曲了教學(xué)行為，抑制學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，束縛學(xué)生才能的發(fā)展。教學(xué)既要發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，“兩主”不可偏廢。從某種程度上來說，課堂教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的主體作用的發(fā)揮上來發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、表述，指點(diǎn)學(xué)習(xí)方法，控制與調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)。具體地講：
1.培養(yǎng)興趣。興趣是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的首要條件，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣是老師的首要任務(wù)。數(shù)學(xué)教學(xué)不單純是一個(gè)認(rèn)識過程，還是一種情感過程。美國著名的心理學(xué)家布盧姆曾指出：情感并不一定伴隨認(rèn)識效果自然而然地產(chǎn)生和發(fā)展，它需要教育者專門地評價(jià)和培養(yǎng)。這就是說，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣要老師來培養(yǎng)。數(shù)學(xué)課堂教育，培養(yǎng)學(xué)生興趣應(yīng)從以下幾方面入手。首先，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)和諧、愉悅的課堂氣氛。教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，創(chuàng)設(shè)求知情境，激發(fā)學(xué)生愛學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)動(dòng)力。其次，講究課堂授課藝術(shù)。教師通過授課的藝術(shù)性、形象性、鮮明性、趣味性，揭示數(shù)學(xué)教材的本身魅力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生生動(dòng)、活潑地進(jìn)行學(xué)習(xí)。第三，面向全體學(xué)生，建立良好的師生關(guān)系。教師要幫助后進(jìn)生克服心理障礙，使他們有信心學(xué)得好，提高克服困難的勇氣。第四，加強(qiáng)師生情感交流。教師以敏銳的洞察力，了解學(xué)生的情緒表現(xiàn)，迅速及時(shí)地用手勢、眼神、語言等手段交流情感，注意捕捉后進(jìn)生回答中的合理因素，發(fā)展他們思維的“閃光點(diǎn)”，有計(jì)劃地設(shè)置一些后進(jìn)生能夠回答的問題，維護(hù)他們的自尊心，激發(fā)他們的求知欲和學(xué)習(xí)熱情。
篇13
但是我們知道，純粹的“探究”或“講授”都不能產(chǎn)生良好的效果，還是將二者有機(jī)結(jié)合好。講授法是我們所熟悉的，只要我們多思考、多研究，在講授法中融入學(xué)生探究，少講一點(diǎn)，留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生去探究，并想法使學(xué)生探究與教師講解二者很好地結(jié)合起來，就能產(chǎn)生良好的效果。
學(xué)生學(xué)會(huì)探究，自己能獲得一部會(huì)知識了，不正達(dá)到了“教是為了不教”的目標(biāo)了嗎？
教師講得少了，自己的負(fù)擔(dān)減輕了，上課也輕松了。
我們要養(yǎng)成一種習(xí)慣，那就是只要我們上課感覺很累，我們就得反思，是不是自己講得太多了，學(xué)生參與的時(shí)間太少了，這節(jié)課的某些環(huán)節(jié)是否能夠改進(jìn)一下，改成學(xué)生活動(dòng)，讓學(xué)生去探究。思想一變，方法自然會(huì)有。教學(xué)需要我們做個(gè)有心人。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》為數(shù)學(xué)教學(xué)樹立了新理念、提出了新要求，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)正在發(fā)生巨大的變化。作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)深刻地反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)歷程，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不足，并在今后的教學(xué)實(shí)踐中去探索和理解新的數(shù)學(xué)課程理念，建立起新的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀。
目前我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著一些亟待解決的問題。反映在課程上：教學(xué)內(nèi)容相對偏窄，偏深，偏舊；學(xué)生的學(xué)習(xí)方式單一、被動(dòng)，缺少自主探索、合作學(xué)習(xí)、獨(dú)立獲取知識的機(jī)會(huì)；對書本知識、運(yùn)算和推理技能關(guān)注較多，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度，情感關(guān)注較少，課程實(shí)施過程基本以教師、課堂、書本為中心，難以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。分析我們的課堂教學(xué)，可以用八個(gè)字概括：狹窄、單調(diào)、沉悶、雜亂。由此而產(chǎn)生學(xué)生知識靜化、思維滯化、能力弱化的現(xiàn)象。事實(shí)上，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是簡單的概念、法則、公式的掌握和熟練的過程，應(yīng)該更具有探索性和思考性，教師要鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法去探索問題和思考問題。
一、樹立多元化的教學(xué)目標(biāo)
“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，有思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”基于這樣的理念，數(shù)學(xué)課程從知識與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感與態(tài)度等四個(gè)方面樹立其多元化的教學(xué)目標(biāo)。
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注知識技能，也要關(guān)注情感態(tài)度，即將智力因素和非智力因素放在同等重要的位置上。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注問題解決，也要關(guān)注數(shù)學(xué)思考過程。即將結(jié)果和過程放在同等重要的位置上。
二、建立互動(dòng)型的師生關(guān)系
數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生交往、互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。教學(xué)中的師生互動(dòng)實(shí)際上是師生雙方以自己的固定經(jīng)驗(yàn)（自我概念）來了解對方的一種相互交流與溝通的方式。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師的目標(biāo)重心在于改變學(xué)生、促進(jìn)學(xué)習(xí)、形成態(tài)度、培養(yǎng)性格和促進(jìn)技能的發(fā)展，完成社會(huì)化的任務(wù)。學(xué)生的目標(biāo)在于通過規(guī)定的學(xué)習(xí)與發(fā)展過程盡可能地改變自己，接受社會(huì)化。只有縮小這種目標(biāo)上的差異，才有利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成與實(shí)現(xiàn)。
這首先要求教師轉(zhuǎn)變?nèi)N角色。由傳統(tǒng)的知識傳授者成為學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者、引導(dǎo)者和合作者；由傳統(tǒng)的教學(xué)支配者、控制者成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、促進(jìn)者和指導(dǎo)者；由傳統(tǒng)的靜態(tài)知識占有者成為動(dòng)態(tài)的研究者。
一旦課堂上師生角色得以轉(zhuǎn)換和新型師生關(guān)系得以建立，我們就能清楚地感受到課堂教學(xué)正在師生互動(dòng)中進(jìn)行和完成。師生間要建立良好的互動(dòng)型關(guān)系，就要求教師在備課時(shí)從學(xué)生知識狀況和生活實(shí)際出發(fā)，更多地考慮如何讓學(xué)生通過自己的學(xué)習(xí)來學(xué)會(huì)有關(guān)知識和技能；在課堂上尊重學(xué)生，尊重學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平，讓學(xué)生大膽提問、主動(dòng)探究，發(fā)動(dòng)學(xué)生積極地投入對問題的探討與解決之中；應(yīng)靈活變換角色，用“童眼”來看問題，懷“童心”來想問題，以“童趣”來解問題，共同參與學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，成為學(xué)生的知心朋友、學(xué)習(xí)伙伴。
其次，要求教師以新角色實(shí)踐教學(xué)。這要求教師破除師道尊嚴(yán)的舊俗，與學(xué)生建立人格上的平等關(guān)系，走下高高在上的講臺，走到學(xué)生身邊，與學(xué)生進(jìn)行平等對話與交流；要求教師與學(xué)生一起討論和探索，鼓勵(lì)他們主動(dòng)自由地思考、發(fā)問、選擇，甚至行動(dòng)，努力當(dāng)學(xué)生的顧問，做他們交換意見時(shí)的積極參與者；要求教師與學(xué)生建立情感上的朋友關(guān)系，使學(xué)生感到教師是他們的親密朋友。
三、引入生活化的學(xué)習(xí)情境
新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)課程“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)……，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。”這就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要以學(xué)生的發(fā)展為本，要把學(xué)生的個(gè)人知識、直接經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)世界作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。
例如，筆者在講授八年級“平方差公式”這節(jié)內(nèi)容時(shí)，首先是出示了一道這樣的問題作為引入：小明去市場買糖，這種糖每千克9.8元，他買了10.2千克糖，給售貨員應(yīng)該給多少錢？就在售貨員用計(jì)算器算錢時(shí)，小明一下說出了應(yīng)該給99.96元錢，售貨員大吃一驚，結(jié)果她算出來和小明說得一樣。然后筆者就問學(xué)生小明是不是很聰明，同學(xué)們都說是，筆者接著說小明為什么算得這么快，并不是比你們聰明很多，而是用的是我們今天所學(xué)得知識來算的，你們學(xué)完也會(huì)和他一樣聰明的。
學(xué)生頓時(shí)對這節(jié)課有了很大興趣，聽講也很專心，這節(jié)課達(dá)到了很好的效果。同時(shí)也達(dá)到了讓學(xué)生把所學(xué)知道用到現(xiàn)實(shí)生活中的目的。
四、選用開放性的教學(xué)內(nèi)容
新的數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不是單純的解題訓(xùn)練，現(xiàn)實(shí)的和探索性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)也要成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有機(jī)組成部分。
開放性的教學(xué)內(nèi)容首先表現(xiàn)在開放題的應(yīng)用上，以開放題為載體來促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)教學(xué)開放性、培養(yǎng)學(xué)生主體精神和創(chuàng)新能力的不足。數(shù)學(xué)開放題的類型很多，如：某中學(xué)搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的方案成軸對稱（可以用圓、正方形或其它圖形組成），如何設(shè)計(jì)？（這是一道結(jié)論開放題，有助于考查學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)新精神）
在開放題的使用中要注意，開放題中所包含的事件應(yīng)為學(xué)生所熟悉，其內(nèi)容是有趣的，是學(xué)生所愿意研究的，是通過學(xué)生現(xiàn)有的知識能夠解決的，是可行的問題；開放題應(yīng)使學(xué)生能夠獲得各種水平程度的解答，學(xué)生所做出的解答可以是互不相同的；開放題教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。
當(dāng)然，教學(xué)實(shí)踐是一個(gè)復(fù)雜的過程，理論是不可能完全應(yīng)用于實(shí)踐中的，這就需要在今后的教學(xué)實(shí)踐中，大膽嘗試，細(xì)心領(lǐng)會(huì)，發(fā)現(xiàn)問題，積極尋求解決問題的方法。
參考文獻(xiàn)：
